যদি U = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 4 = {1, 2, 5), B = [ 2, 4, 7} এবং C = 1 4, 5, 6} হয়, তবে নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলোর সত্যতা যাচাই কর :

দেওয়া আছে,

\(A = \{1, 2, 5\}\)

\(B = \{2, 4, 7\}\)

বামপক্ষ,

\(A \cap B = \{1, 2, 5\} \cap \{2, 4, 7\}\)

\(A \cap B = \{2\}\)

ডানপক্ষ,

\(B \cap A = \{2, 4, 7\} \cap \{1, 2, 5\}\)

\(B \cap A = \{2\}\)

যেহেতু, \(A \cap B = \{2\}\) এবং \(B \cap A = \{2\}\),

সুতরাং, \(A \cap B = B \cap A\) সম্পর্কটি সত্য।

দেওয়া আছে,

সার্বিক সেট, \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\)

A সেট, \(A = \{1, 2, 5\}\)

B সেট, \(B = \{2, 4, 7\}\)

আমাদের সম্পর্কটি যাচাই করতে হবে: \((A \cap B)' = A'B'\)

বামপক্ষ (LHS) নির্ণয় করি:

প্রথমে \(A \cap B\) নির্ণয় করি:

\(A \cap B = \{1, 2, 5\} \cap \{2, 4, 7\} = \{2\}\)

এবার \((A \cap B)'\) নির্ণয় করি:

\((A \cap B)' = U - (A \cap B)\)

\((A \cap B)' = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} - \{2\}\)

\((A \cap B)' = \{1, 3, 4, 5, 6, 7\}\)  .........(i)

ডানপক্ষ (RHS) নির্ণয় করি:

প্রথমে \(A'\) নির্ণয় করি:

\(A' = U - A\)

\(A' = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} - \{1, 2, 5\}\)

\(A' = \{3, 4, 6, 7\}\)

এবার \(B'\) নির্ণয় করি:

\(B' = U - B\)

\(B' = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} - \{2, 4, 7\}\)

\(B' = \{1, 3, 5, 6\}\)

প্রশ্নানুসারে, ডানপক্ষ হল \(A'B'\)। সেটের ক্ষেত্রে, দুটি সেট পাশাপাশি লেখা থাকলে সাধারণত তাদের ছেদ (Intersection) বোঝানো হয়, যদি না অন্য কোনো অপারেটর উল্লেখ থাকে। তাই \(A'B'\) কে \(A' \cap B'\) হিসাবে বিবেচনা করা হলো।

\(A' \cap B' = \{3, 4, 6, 7\} \cap \{1, 3, 5, 6\}\)

\(A' \cap B' = \{3, 6\}\) ...........(ii)

এখন, (i) ও (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,

বামপক্ষ \((A \cap B)' = \{1, 3, 4, 5, 6, 7\}\)

এবং ডানপক্ষ \(A' \cap B' = \{3, 6\}\)

যেহেতু বামপক্ষ \(\ne\) ডানপক্ষ (অর্থাৎ, \((A \cap B)' \ne A' \cap B'\)),

সুতরাং, প্রদত্ত সম্পর্কটি অসত্য।

এই সমস্যাটি সেট তত্ত্বের মৌলিক ধারণা এবং পূরক সেট (Complement of a set) ও সেটের ছেদ (Intersection of sets) নির্ণয়ের উপর ভিত্তি করে তৈরি। দুটি সেট A ও B-এর ছেদ \(A \cap B\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়, যা A এবং B উভয় সেটের সাধারণ উপাদান নিয়ে গঠিত। একটি সেটের পূরক সেট বলতে সার্বিক সেট U থেকে ঐ সেটের উপাদানগুলো বাদ দিলে যা অবশিষ্ট থাকে, তাকে বোঝায়। ডি মরগানের সূত্র (De Morgan's Laws) অনুসারে, \((A \cap B)' = A' \cup B'\) এবং \((A \cup B)' = A' \cap B'\)। প্রদত্ত প্রশ্নটিতে \((A \cap B)'\) এর মান \(A'B'\) এর সমান কি না তা যাচাই করতে বলা হয়েছে। সাধারণত, \(A'B'\) দ্বারা \(A' \cap B'\) বোঝানো হয়, যা ডি মরগানের প্রথম সূত্রের বিপরীত। গণনার মাধ্যমে দেখা গেল, এই সম্পর্কটি বর্তমান তথ্যের উপর ভিত্তি করে অসত্য।

দেওয়া আছে,

সার্বিক সেট, \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\)

সেট \(A = \{1, 2, 5\}\)

সেট \(C = \{4, 5, 6\}\)

প্রথমে, \(A\) এবং \(C\) সেটের পূরক সেট (\(A'\) এবং \(C'\)) নির্ণয় করি:

\(A' = U - A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} - \{1, 2, 5\} = \{3, 4, 6, 7\}\)

\(C' = U - C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} - \{4, 5, 6\} = \{1, 2, 3, 7\}\)

এবার বাম পক্ষ \((A \cup C)'\) নির্ণয় করি:

প্রথমে, \(A \cup C = \{1, 2, 5\} \cup \{4, 5, 6\} = \{1, 2, 4, 5, 6\}\)

সুতরাং, \((A \cup C)' = U - (A \cup C) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} - \{1, 2, 4, 5, 6\} = \{3, 7\}\)

এবার ডান পক্ষ \(A' \cap C'\) নির্ণয় করি:

\(A' \cap C' = \{3, 4, 6, 7\} \cap \{1, 2, 3, 7\} = \{3, 7\}\)

যেহেতু, বাম পক্ষ \((A \cup C)' = \{3, 7\}\) এবং ডান পক্ষ \(A' \cap C' = \{3, 7\}\)

সুতরাং, বাম পক্ষ = ডান পক্ষ।

অতএব, সম্পর্কটি সত্য। (যাচাই করা হলো)