যোগাশ্রয়ী রূপান্তরের ইমেজ ও কার্ণেল কী ? মনে করুন T : V(F)$\to$U(F) একটি যোগাশ্রয়ী রূপান্তর। তাহা হইলে দেখান যে, Ker T একটি V(F) এর উপজগত ।

ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক (Matrix & Determinant)

ম্যাট্রিক্স হলো সংখ্যা, চলক বা প্রতীকের একটি সুশৃঙ্খল আয়তাকার বিন্যাস যা সারি (Row) এবং স্তম্ভ (Column) দ্বারা গঠিত। গণিত, পদার্থবিজ্ঞান, কম্পিউটার বিজ্ঞান, অর্থনীতি ও প্রকৌশলে ম্যাট্রিক্স ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা

যদি m সংখ্যক সারি এবং n সংখ্যক স্তম্ভবিশিষ্ট কোনো আয়তাকার বিন্যাস থাকে, তবে তাকে m × n মাত্রার ম্যাট্রিক্স বলা হয়।

ম্যাট্রিক্সের সাধারণ রূপ

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& ...& a_{mn}\end{array}\right]$

এখানে,

• m = সারির সংখ্যা
• n = স্তম্ভের সংখ্যা
• a_ij = i তম সারি ও j তম স্তম্ভের উপাদান

উদাহরণ

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$

এটি একটি 2 × 2 মাত্রার ম্যাট্রিক্স।

ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ

১. সারি ম্যাট্রিক্স (Row Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সে মাত্র একটি সারি থাকে তাকে সারি ম্যাট্রিক্স বলে।

$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right]$

২. স্তম্ভ ম্যাট্রিক্স (Column Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সে মাত্র একটি স্তম্ভ থাকে তাকে স্তম্ভ ম্যাট্রিক্স বলে।

$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$

৩. বর্গ ম্যাট্রিক্স (Square Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সে সারি ও স্তম্ভের সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলে।

৪. শূন্য ম্যাট্রিক্স (Zero Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সের সকল উপাদান শূন্য তাকে শূন্য ম্যাট্রিক্স বলে।

৫. কর্ণ ম্যাট্রিক্স (Diagonal Matrix)

যে বর্গ ম্যাট্রিক্সে প্রধান কর্ণ ছাড়া অন্য সব উপাদান শূন্য হয় তাকে কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলে।

৬. একক ম্যাট্রিক্স (Identity Matrix)

যে কর্ণ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের প্রতিটি উপাদান 1 হয় তাকে একক ম্যাট্রিক্স বলে।

$I=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

ম্যাট্রিক্সের সমতা

দুটি ম্যাট্রিক্স সমান হবে যদি তাদের সমমাত্রা হয় এবং অনুরূপ উপাদানগুলো সমান হয়।

ম্যাট্রিক্সের যোগ

সমমাত্রার দুটি ম্যাট্রিক্সের অনুরূপ উপাদান যোগ করে ম্যাট্রিক্সের যোগ করা হয়।

উদাহরণ

$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 5\end{array}\right]$

ফলাফল,

$\left[\begin{array}{cc}3& 3\\ 3& 9\end{array}\right]$

ম্যাট্রিক্সের গুণ

যদি প্রথম ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যার সমান হয় তবে গুণ সম্ভব।

যদি,

$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$

এবং

$B=\left[\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right]$

তবে,

$\mathrm{AB}=\left[\begin{array}{cc}ae+bg& af+bh\\ ce+dg& cf+dh\end{array}\right]$

ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ

কোনো ম্যাট্রিক্সের সারিকে স্তম্ভ এবং স্তম্ভকে সারিতে রূপান্তর করলে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সকে ট্রান্সপোজ বলে।

যদি A এর ট্রান্সপোজ হয়,

$A^T$

নির্ণায়ক (Determinant)

বর্গ ম্যাট্রিক্সের সাথে সম্পর্কিত একটি সংখ্যামানকে নির্ণায়ক বলা হয়।

2 × 2 নির্ণায়ক

$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$

উদাহরণ

$\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 4\end{array}\right|=(2\times 4)-(3\times 1)=5$

3 × 3 নির্ণায়ক

3 × 3 নির্ণায়ক সাধারণত সারুসের সূত্র বা কোফ্যাক্টর পদ্ধতিতে নির্ণয় করা হয়।

কোফ্যাক্টর (Cofactor)

কোনো উপাদানের মাইনরের সাথে উপযুক্ত চিহ্ন যুক্ত করলে কোফ্যাক্টর পাওয়া যায়।

মাইনর (Minor)

কোনো উপাদানের সারি ও স্তম্ভ বাদ দিলে যে নির্ণায়ক পাওয়া যায় তাকে ঐ উপাদানের মাইনর বলে।

ম্যাট্রিক্সের বিপরীত (Inverse Matrix)

যদি কোনো ম্যাট্রিক্স A এর জন্য এমন একটি ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় যাতে,

$A{A}^{-1}=I$

তবে,

$A^{-1}$

কে A এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলে।

2 × 2 ম্যাট্রিক্সের বিপরীত নির্ণয়

যদি,

$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$

এবং

$\mathrm{|A|}=ad-bc\ne 0$

তবে,

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$

ক্র্যামারের সূত্র (Cramer’s Rule)

নির্ণায়কের সাহায্যে সরল সমীকরণ সমাধানের একটি গুরুত্বপূর্ণ পদ্ধতি হলো ক্র্যামারের সূত্র।

মনে রাখার উপায়

• Matrix = সারি + স্তম্ভের বিন্যাস
• Determinant শুধুমাত্র বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য নির্ণয় করা যায়
• |A| = ad − bc হলো 2 × 2 নির্ণায়কের মূল সূত্র
• det(A) = 0 হলে ম্যাট্রিক্সের বিপরীত থাকে না