রিতা অপেক্ষা মিতা 7 বছরের ছোট। রিতা 22 বছর বয়সে 100m দৈর্ঘ্যের মহাকাশ যানে চড়ে মহাকাশ ভ্রমণে বের হয়। মহাকাশ যানের দ্রুতি $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C (C = আলোর দ্রুতি)। মিতার বয়স যখন 37 বছর তখন রিতা পৃথিবীতে ফিরে আসে।

ফোটন কণা যখন কোনো মুক্ত ইলেকট্রনের সাথে সংঘর্ষে লিপ্ত হয়, তখন ফোটন কণা শক্তি ও গতিশক্তি হারায় এবং এর তরঙ্গদৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পায়। ফোটন কণার তরঙ্গদৈর্ঘ্য বৃদ্ধির এই ঘটনাকে কম্পটন ক্রিয়া (Compton Effect) বলে।

কার্যঅপেক্ষক (\( \phi \)) এবং সূচন কম্পাঙ্ক (\( f_0 \)) এর মধ্যে একটি প্রত্যক্ষ সম্পর্ক বিদ্যমান। এই সম্পর্কটি প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক (\( h \)) দ্বারা প্রতিষ্ঠিত এবং এটি আলোক-তড়িৎ ক্রিয়া (photoelectric effect) এর একটি মৌলিক সূত্র। এদের সম্পর্কটি নিম্নোক্ত সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা হয়: \( \phi = h f_0 \)।

এই সমীকরণ থেকে বোঝা যায় যে, কোনো ধাতব পৃষ্ঠ থেকে একটি ইলেকট্রন নির্গত করতে প্রয়োজনীয় ন্যূনতম শক্তি (কার্যঅপেক্ষক) সেই ধাতুর জন্য প্রয়োজনীয় আলোর সর্বনিম্ন কম্পাঙ্কের (সূচন কম্পাঙ্ক) সমানুপাতিক। এর অর্থ হলো, যদি আপতিত আলোর কম্পাঙ্ক সূচন কম্পাঙ্কের চেয়ে কম হয়, তবে ফোটনের শক্তি কার্যঅপেক্ষকের চেয়ে কম হবে এবং কোনো ইলেকট্রন নির্গত হবে না, আলোর তীব্রতা যাই হোক না কেন।

মিতা গতিশীল মহাকাশযানের দৈর্ঘ্য 50 মিটার নির্ণয় করবে।

আপেক্ষিকতার বিশেষ তত্ত্ব অনুযায়ী, একটি বস্তুকে যখন কোনো পর্যবেক্ষক আপেক্ষিক গতিতে চলমান দেখেন, তখন বস্তুর গতির দিকের দৈর্ঘ্য সংকুচিত হয়। এই ঘটনাকে দৈর্ঘ্য সংকোচন (Length Contraction) বলে। বস্তুর প্রকৃত দৈর্ঘ্য \(L_0\) হলে, \(v\) দ্রুতিতে গতিশীল অবস্থায় পর্যবেক্ষক কর্তৃক পরিমাপকৃত দৈর্ঘ্য \(L\) হয় \(L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{C^2}}\), যেখানে \(C\) হলো আলোর দ্রুতি।

উদ্দীপকে উল্লিখিত রিতার মহাকাশযানের প্রকৃত দৈর্ঘ্য \(L_0 = 100\) মিটার এবং এর গতি \(v = \frac{\sqrt{3}}{2} C\)। যেহেতু মিতা এই গতিশীল মহাকাশযানকে পৃথিবীর সাপেক্ষে স্থির কাঠামো থেকে পর্যবেক্ষণ করছে, তাই মিতা মহাকাশযানের দৈর্ঘ্য সংকুচিত দেখবে। আপেক্ষিকতার সূত্রানুযায়ী, মিতার পরিমাপকৃত দৈর্ঘ্য হবে:

\[L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{C^2}}\]

\[L = 100 \sqrt{1 - \frac{(\frac{\sqrt{3}}{2} C)^2}{C^2}}\]

\[L = 100 \sqrt{1 - \frac{\frac{3}{4} C^2}{C^2}}\]

\[L = 100 \sqrt{1 - \frac{3}{4}}\]

\[L = 100 \sqrt{\frac{1}{4}}\]

\[L = 100 \times \frac{1}{2}\]

\[L = 50 \text{ মিটার}\]

বিশেষ আপেক্ষিকতার তত্ত্ব অনুসারে, যখন দুটি প্রসঙ্গ কাঠামো (reference frame) পরস্পরের সাপেক্ষে আপেক্ষিক গতিতে থাকে, তখন তাদের মধ্যে সময় ভিন্নভাবে প্রবাহিত হয়। এই ঘটনাকে কাল দীর্ঘায়ন (Time Dilation) বলে। রিতা একটি উচ্চ দ্রুতির মহাকাশযানে ভ্রমণ করায় তার জন্য সময় মিতার চেয়ে ধীরে চলবে। গাণিতিকভাবে কাল দীর্ঘায়নের সূত্র প্রয়োগ করে তাদের বয়সের পার্থক্য নির্ণয় করা যায়।

উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত তথ্যগুলো নিম্নরূপ:

    
• রিতা যখন মহাকাশ ভ্রমণে বের হয়, তখন তার বয়স ছিল 22 বছর।
    
• রিতা অপেক্ষা মিতা 7 বছরের ছোট। সুতরাং, রিতা যখন মহাকাশ ভ্রমণে বের হয়, তখন মিতার বয়স ছিল (22 - 7) = 15 বছর।
    
• মহাকাশ যানের দ্রুতি \(v = \frac{\sqrt{3}}{2} C\) (যেখানে C আলোর দ্রুতি)।
    
• মিতা যখন 37 বছর বয়সে পৌঁছে, তখন রিতা পৃথিবীতে ফিরে আসে।

সুতরাং, রিতা মহাকাশে থাকা অবস্থায় পৃথিবীতে মিতার জন্য অতিক্রান্ত সময় (\(\Delta t\)) হলো:

\(\Delta t = \text{মিতার শেষ বয়স} - \text{মিতার শুরুর বয়স} = 37 \text{ বছর} - 15 \text{ বছর} = 22 \text{ বছর}\)

কাল দীর্ঘায়নের সূত্রানুযায়ী, মহাকাশযানে রিতার জন্য অতিক্রান্ত সময় (\(\Delta t_0\)) হবে:

\[ \Delta t_0 = \Delta t \sqrt{1 - \frac{v^2}{C^2}} \]

এখানে, \(v = \frac{\sqrt{3}}{2} C\)

\[ \frac{v^2}{C^2} = \left(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} C}{C}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} \]

সুতরাং, রিতার জন্য অতিক্রান্ত সময় (\(\Delta t_0\)) হবে:

\[ \Delta t_0 = 22 \text{ বছর} \times \sqrt{1 - \frac{3}{4}} \]

\[ \Delta t_0 = 22 \text{ বছর} \times \sqrt{\frac{1}{4}} \]

\[ \Delta t_0 = 22 \text{ বছর} \times \frac{1}{2} \]

\[ \Delta t_0 = 11 \text{ বছর} \]

অতএব, ভ্রমণ শেষে রিতার বয়স হবে:

\(\text{রিতা ফিরে আসার পর তার বয়স} = \text{রিতা যখন যাত্রা শুরু করে তার বয়স} + \text{রিতার জন্য অতিক্রান্ত সময়}\)

\(\text{রিতা ফিরে আসার পর তার বয়স} = 22 \text{ বছর} + 11 \text{ বছর} = 33 \text{ বছর}\)

ভ্রমণ শেষে মিতার বয়স 37 বছর এবং রিতার বয়স 33 বছর। যেহেতু 37 বছর \(\neq\) 33 বছর, তাই ভ্রমণ শেষে তাদের বয়স একই হবে না। কাল দীর্ঘায়নের কারণে রিতা মিতার চেয়ে 4 বছর কম বয়সী হবে।