রেফারির সৃষ্ট শব্দের কম্পাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

উদ্দীপকের তথ্যানুসারে, প্রতিফলিত শব্দের পর রীতা ও মিতা উভয়েই সমান জোরালো শব্দ শুনতে পাবে না। শব্দের জোরালোতা মূলত শব্দের তীব্রতার উপর নির্ভর করে, যা লব্ধি তরঙ্গের বিস্তারের বর্গের সমানুপাতিক। আপতিত ও প্রতিফলিত তরঙ্গের উপরিপাতনের ফলে প্রতিটি অবস্থানে একটি লব্ধি তরঙ্গ গঠিত হয়, যার বিস্তার স্থানভেদে ভিন্ন হয়। নিচে এর গাণিতিক বিশ্লেষণ ও মতামত প্রদান করা হলো।

প্রদত্ত আপতিত তরঙ্গের সমীকরণ, \(Y_1 = 10 \sin \pi \left(200t - \frac{x}{3.4}\right)\)

এটি আদর্শ সমীকরণ \(Y = A \sin(\omega t - kx)\) এর সাথে তুলনা করে পাই:

    
• কণার সর্বোচ্চ সরণ বা বিস্তার, \(A = 10\) একক
    
• কৌণিক কম্পাঙ্ক, \(\omega = 200\pi\) rad/s
    
• তরঙ্গ সংখ্যা, \(k = \frac{\pi}{3.4}\) rad/m

সুতরাং, তরঙ্গদৈর্ঘ্য \(\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi/3.4} = 2 \times 3.4 = 6.8\) m।

দেয়াল থেকে শব্দের প্রতিফলন একটি স্থির প্রান্ত (rigid boundary) থেকে প্রতিফলনের মতো। এক্ষেত্রে প্রতিফলিত তরঙ্গের দশায় \(\pi\) (বা \(180^\circ\)) এর পরিবর্তন হয় এবং তরঙ্গটি বিপরীত দিকে (ঋণাত্মক x অক্ষ বরাবর) ধাবিত হয়। রেফারিকে মূলবিন্দু (x=0) ধরে, \(L\) দূরত্বে অবস্থিত দেয়ালে \(x=L\) বিন্দুতে আপতিত তরঙ্গ প্রতিফলিত হয়।

যদি আপতিত তরঙ্গ হয় \(Y_1 = A \sin(\omega t - kx)\), তাহলে দেয়াল থেকে \(L\) দূরত্বে প্রতিফলিত তরঙ্গটির সমীকরণ হবে \(Y_2 = A \sin(\omega t + kx - 2kL + \pi)\)।

এখানে উদ্দীপকে দেয়ালের দূরত্ব \(L = 40\) m এবং তরঙ্গ সংখ্যা \(k = \frac{\pi}{3.4}\) rad/m।

সুতরাং, \(2kL = 2 \times \frac{\pi}{3.4} \times 40 = \frac{80\pi}{3.4} = \frac{400\pi}{17}\)।

যেকোনো বিন্দু \(x\) এ আপতিত ও প্রতিফলিত তরঙ্গের উপরিপাতনের ফলে লব্ধি সরণ \(Y = Y_1 + Y_2\) হবে।

\(Y = A \sin(\omega t - kx) + A \sin(\omega t + kx - 2kL + \pi)\)

লব্ধি তরঙ্গের বিস্তার \(A_R = \left|2A \cos\left(kx - kL + \frac{\pi}{2}\right)\right|\)।

এখানে \(A = 10\) একক। তাই লব্ধি তরঙ্গের বিস্তার হবে \(A_R = \left|20 \cos\left(kx - kL + \frac{\pi}{2}\right)\right|\)।

আমরা \(kL - \frac{\pi}{2}\) এর মান নির্ণয় করি: \(kL - \frac{\pi}{2} = \frac{200\pi}{17} - \frac{\pi}{2} = \pi\left(\frac{200}{17} - \frac{1}{2}\right) = \pi\left(\frac{400 - 17}{34}\right) = \frac{383\pi}{34}\)।

অতএব, লব্ধি তরঙ্গের বিস্তারের সাধারণ সমীকরণ, \(A_R = \left|20 \cos\left(kx - \frac{383\pi}{34}\right)\right|\)।

রীতার অবস্থানে লব্ধি তরঙ্গের বিস্তার:

রীতার অবস্থান রেফারি থেকে \(x_R = 13.6\) m দূরে।

এখানে, \(kx_R = \frac{\pi}{3.4} \times 13.6 = 4\pi\)।

রীতার অবস্থানে লব্ধি তরঙ্গের বিস্তার হবে:

\[A_{R,Rita} = \left|20 \cos\left(4\pi - \frac{383\pi}{34}\right)\right|\] \[A_{R,Rita} = \left|20 \cos\left(\frac{136\pi - 383\pi}{34}\right)\right|\] \[A_{R,Rita} = \left|20 \cos\left(\frac{-247\pi}{34}\right)\right|\]

যেহেতু \(\cos(-\theta) = \cos\theta\),

\[A_{R,Rita} = 20 \cos\left(\frac{247\pi}{34}\right)\]

আমরা জানি, \(\frac{247}{34} = 7 + \frac{9}{34}\)।

\[A_{R,Rita} = 20 \cos\left(7\pi + \frac{9\pi}{34}\right)\]

যেহেতু \(\cos(n\pi + \theta) = (-1)^n \cos\theta\), তাই \(\cos(7\pi + \frac{9\pi}{34}) = -\cos\left(\frac{9\pi}{34}\right)\)।

\[A_{R,Rita} = 20 \left|-\cos\left(\frac{9\pi}{34}\right)\right| = 20 \cos\left(\frac{9\pi}{34}\right)\]

\(\frac{9\pi}{34}\) কে ডিগ্রিতে রূপান্তর করলে: \(\frac{9 \times 180^\circ}{34} \approx 47.65^\circ\)।

\[A_{R,Rita} = 20 \cos(47.65^\circ) \approx 20 \times 0.6736 \approx 13.472 \text{ একক}\]

মিতার অবস্থানে লব্ধি তরঙ্গের বিস্তার:

মিতার অবস্থান রেফারি থেকে \(x_M = 18.7\) m দূরে।

এখানে, \(kx_M = \frac{\pi}{3.4} \times 18.7 = 5.5\pi\)।

মিতার অবস্থানে লব্ধি তরঙ্গের বিস্তার হবে:

\[A_{R,Mita} = \left|20 \cos\left(5.5\pi - \frac{383\pi}{34}\right)\right|\] \[A_{R,Mita} = \left|20 \cos\left(\frac{187\pi - 383\pi}{34}\right)\right|\] \[A_{R,Mita} = \left|20 \cos\left(\frac{-196\pi}{34}\right)\right|\] \[A_{R,Mita} = 20 \cos\left(\frac{196\pi}{34}\right) = 20 \cos\left(\frac{98\pi}{17}\right)\]

আমরা জানি, \(\frac{98}{17} = 6 - \frac{4}{17}\)।

\[A_{R,Mita} = 20 \cos\left(6\pi - \frac{4\pi}{17}\right)\]

যেহেতু \(\cos(2n\pi - \theta) = \cos\theta\), তাই \(\cos\left(6\pi - \frac{4\pi}{17}\right) = \cos\left(\frac{4\pi}{17}\right)\)।

\[A_{R,Mita} = 20 \cos\left(\frac{4\pi}{17}\right)\]

\(\frac{4\pi}{17}\) কে ডিগ্রিতে রূপান্তর করলে: \(\frac{4 \times 180^\circ}{17} \approx 42.35^\circ\)।

\[A_{R,Mita} = 20 \cos(42.35^\circ) \approx 20 \times 0.7388 \approx 14.776 \text{ একক}\]

উপরোক্ত গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, প্রতিফলিত শব্দের পর রীতার অবস্থানে লব্ধি তরঙ্গের বিস্তার \(A_{R,Rita} \approx 13.472\) একক এবং মিতার অবস্থানে লব্ধি তরঙ্গের বিস্তার \(A_{R,Mita} \approx 14.776\) একক। যেহেতু রীতা ও মিতার অবস্থানে লব্ধি তরঙ্গের বিস্তার ভিন্ন (\(A_{R,Rita} \neq A_{R,Mita}\)), তাই তারা উভয়েই প্রতিফলনের পর সমান জোরালো শব্দ শুনতে পাবে না। শব্দের তীব্রতা (তথা জোরালোতা) বিস্তারের বর্গের সমানুপাতিক। এখানে মিতার অবস্থানে লব্ধি বিস্তার রীতার চেয়ে বেশি হওয়ায় মিতা রীতার চেয়ে কিছুটা জোরালো শব্দ শুনতে পাবে।