লিমনের সংগৃহীত তথ্য নিম্নরূপ :

$x_1 = 5, x_2 =- 2, x_3 = 7, x_4 = 1, x_5 = 3$

লিমন বলল,  $\sum _{i=1}^5 x{i}^2 \ne {\left(\sum _{i=1}^5 xi\right)}^2$

উদ্দীপকে লিমনের সংগৃহীত উপাত্ত \( x_i \) গুলো ব্যবহার করে প্রদত্ত রাশিমালার মান নির্ণয় করতে হবে। এক্ষেত্রে, সমষ্টির বন্টন সূত্র ব্যবহার করে রাশিমালাটিকে সরলীকরণ করে প্রতিটি \( x_i \) মানের জন্য \( x_i, x_i^2 \) এবং \( x_i^3 \) এর সমষ্টিগুলো পৃথকভাবে নির্ণয় করা যেতে পারে, যা গণনার প্রক্রিয়াকে সহজ করবে।

লিমনের সংগৃহীত তথ্য থেকে প্রাপ্ত \( x_i \) এর মানগুলো হলো: \( 5, -2, 7, 1, 3 \)।
আমাদের নির্ণয় করতে হবে \( \sum_{i=1}^{5} x_i (3x_i^2 - 5x_i - 2) \) এর মান।

প্রথমে, রাশিমালাটিকে সরলীকরণ করা যাক:

\( x_i (3x_i^2 - 5x_i - 2) = 3x_i^3 - 5x_i^2 - 2x_i \)

সুতরাং, প্রদত্ত রাশিমালাটি দাঁড়ায়:

\( \sum_{i=1}^{5} (3x_i^3 - 5x_i^2 - 2x_i) \)

সমষ্টির বন্টন সূত্র ব্যবহার করে এটিকে লেখা যায়:

\( 3\sum_{i=1}^{5} x_i^3 - 5\sum_{i=1}^{5} x_i^2 - 2\sum_{i=1}^{5} x_i \)

এখন, \( x_i, x_i^2 \) এবং \( x_i^3 \) এর মানগুলো নির্ণয় ও যোগ করে পাই:

\( \sum x_i = 5 + (-2) + 7 + 1 + 3 = 14 \)

\( \sum x_i^2 = 5^2 + (-2)^2 + 7^2 + 1^2 + 3^2 \)

\( = 25 + 4 + 49 + 1 + 9 = 88 \)

\( \sum x_i^3 = 5^3 + (-2)^3 + 7^3 + 1^3 + 3^3 \)

\( = 125 + (-8) + 343 + 1 + 27 \)

\( = 125 - 8 + 343 + 1 + 27 = 488 \)

প্রাপ্ত সমষ্টির মানগুলো মূল সরলীকৃত রাশিমালায় বসিয়ে পাই:

\( 3 \times (\sum x_i^3) - 5 \times (\sum x_i^2) - 2 \times (\sum x_i) \)

\( = 3 \times 488 - 5 \times 88 - 2 \times 14 \)

\( = 1464 - 440 - 28 \)

\( = 1024 - 28 \)

\( = 996 \)

সুতরাং, উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্য ব্যবহার করে \( \sum_{i=1}^{5} x_i (3x_i^2 - 5x_i - 2) \) এর নির্ণেয় মান হলো 996। এই গাণিতিক সমস্যাটি সমাধান করার জন্য সমষ্টির বন্টন ধর্ম ও বীজগাণিতিক সরলীকরণের সঠিক প্রয়োগ গুরুত্বপূর্ণ।

উদ্দীপকে লিমনের সংগৃহীত উপাত্তের ভিত্তিতে তার বক্তব্য \(\sum_{i=1}^{5} x_i^2 \neq \left(\sum_{i=1}^{5} x_i\right)^2\) যাচাই করতে হবে। পরিসংখ্যানের এই মৌলিক সম্পর্কটি যাচাইয়ের জন্য প্রদত্ত তথ্য ব্যবহার করে উভয় পক্ষের মান নির্ণয় করে তুলনা করতে হবে।

লিমনের সংগৃহীত তথ্যগুলো হলো: \(x_1 = 5, x_2 = -2, x_3 = 7, x_4 = 1, x_5 = 3\)।

প্রথমে, \(\sum_{i=1}^{5} x_i\) এর মান নির্ণয় করি:

\(\sum_{i=1}^{5} x_i = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5\)
\(= 5 + (-2) + 7 + 1 + 3\)
\(= 5 - 2 + 7 + 1 + 3\)
\(= 3 + 7 + 1 + 3\)
\(= 10 + 1 + 3\)
\(= 11 + 3\)
\(= 14\)

সুতরাং, \(\left(\sum_{i=1}^{5} x_i\right)^2 = (14)^2 = 196\)।

এবার, \(\sum_{i=1}^{5} x_i^2\) এর মান নির্ণয় করি:

\(x_1^2 = 5^2 = 25\)
\(x_2^2 = (-2)^2 = 4\)
\(x_3^2 = 7^2 = 49\)
\(x_4^2 = 1^2 = 1\)
\(x_5^2 = 3^2 = 9\)

\(\sum_{i=1}^{5} x_i^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2\)
\(= 25 + 4 + 49 + 1 + 9\)
\(= 29 + 49 + 1 + 9\)
\(= 78 + 1 + 9\)
\(= 79 + 9\)
\(= 88\)

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, \(\sum_{i=1}^{5} x_i^2 = 88\) এবং \(\left(\sum_{i=1}^{5} x_i\right)^2 = 196\)। যেহেতু \(88 \neq 196\), তাই লিমনের বক্তব্য \(\sum_{i=1}^{5} x_i^2 \neq \left(\sum_{i=1}^{5} x_i\right)^2\) সঠিক এবং যাচাইকৃত। সাধারণত, এই দুটি রাশি তখনই সমান হয় যখন কেবল একটি উপাত্ত বিদ্যমান থাকে বা যখন বাকি উপাত্তগুলো শূন্য হয়। লিমনের উপাত্তগুলোর ক্ষেত্রে এই অসমতা প্রযোজ্য।