লেখচিত্রে একটি গাড়ির যাত্রাকালীন প্রথম 10 মিনিটে বেগের পরিবর্তন দেখানো হয়েছে।

কোনো স্প্রিংয়ের প্রসারণ বা সংকোচনের জন্য প্রতি একক সরণে যে বলের প্রয়োজন হয়, তাকে স্প্রিং ধ্রুবক (Spring constant) বলে। এটি স্প্রিংয়ের দৃঢ়তা বা নমনীয়তার পরিমাপক।

যখন একজন সাইকেল আরোহী বায়ুপ্রবাহহীন অবস্থায় স্থির বাতাসের মধ্য দিয়ে গতিশীল হন, তখন আরোহীর সাপেক্ষে বায়ু গতিশীল হয়। এই আপেক্ষিক গতির কারণেই সাইকেল আরোহী তার বিপরীত দিক থেকে বাতাসের ঝাপটা অনুভব করেন।

এই ঘটনাটি আপেক্ষিক বেগের (Relative Velocity) নীতির উপর ভিত্তি করে ব্যাখ্যা করা যায়। সাইকেল আরোহী যত দ্রুত গতিশীল হন, বাতাসের সাথে তার আপেক্ষিক বেগ তত বেশি হয়। এই আপেক্ষিক গতির কারণে বায়ু আরোহীর গতির বিপরীতে একটি প্রতিরোধ বল (Air Resistance) প্রয়োগ করে, যা সাইকেল আরোহী বাতাসের ঝাপটা হিসেবে অনুভব করেন।

গড় বেগ হলো কোনো বস্তুর মোট সরণকে মোট সময় দিয়ে ভাগ করলে প্রাপ্ত রাশি। বেগ-সময় লেখচিত্রের ক্ষেত্রে, যেকোনো নির্দিষ্ট সময় ব্যবধানে লেখচিত্র এবং সময় অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রফল বস্তুর মোট সরণ নির্দেশ করে। সুতরাং, গাড়িটির প্রথম চার মিনিটে মোট সরণ নির্ণয় করে তাকে মোট সময় দিয়ে ভাগ করে গড় বেগ পাওয়া যাবে।

উদ্দীপকের লেখচিত্র থেকে দেখা যায়, গাড়িটির প্রথম 4 মিনিটের গতিকে দুটি অংশে ভাগ করা যায়:

    
• প্রথম 2 মিনিটে (0 থেকে 2 মিনিট): বেগ 0 m/s থেকে 10 m/s এ সুষমভাবে বৃদ্ধি পেয়েছে।
    
• পরবর্তী 2 মিনিটে (2 মিনিট থেকে 4 মিনিট): বেগ 10 m/s এ স্থির ছিল।

প্রথম 4 মিনিটে মোট সময়, \( \Delta t = 4 \text{ মিনিট} = 4 \times 60 \text{ সেকেন্ড} = 240 \text{ সেকেন্ড} \)।

প্রথম 2 মিনিটে (0 থেকে 2 মিনিট) সরণ (লেখচিত্রের OA অংশ এবং সময় অক্ষ দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল):

\( s_1 = \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা} = \frac{1}{2} \times (2 \times 60 \text{ s}) \times 10 \text{ m/s} = \frac{1}{2} \times 120 \text{ s} \times 10 \text{ m/s} = 600 \text{ m} \)

পরবর্তী 2 মিনিটে (2 থেকে 4 মিনিট) সরণ (লেখচিত্রের AB অংশের প্রথম ভাগ, যা 2 মিনিট থেকে 4 মিনিট পর্যন্ত, এবং সময় অক্ষ দ্বারা গঠিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল):

\( s_2 = \text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ} = (4-2) \text{ মিনিট} \times 10 \text{ m/s} = (2 \times 60 \text{ s}) \times 10 \text{ m/s} = 120 \text{ s} \times 10 \text{ m/s} = 1200 \text{ m} \)

প্রথম চার মিনিটে মোট সরণ, \( s = s_1 + s_2 = 600 \text{ m} + 1200 \text{ m} = 1800 \text{ m} \)।

সুতরাং, গাড়িটির গতিকালীন প্রথম চার মিনিটে গড় বেগ হবে:

\( \bar{v} = \frac{\text{মোট সরণ}}{\text{মোট সময়}} = \frac{1800 \text{ m}}{240 \text{ s}} = 7.5 \text{ m/s} \)

গাড়িটির গতিকালীন প্রথম চার মিনিটে গড় বেগ \( 7.5 \text{ m/s} \)।

বেগ-সময় লেখচিত্রের অন্তর্ভুক্ত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বস্তুর অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্দেশ করে। উদ্দীপকের লেখচিত্রে একটি গাড়ির প্রথম ১০ মিনিটের বেগের পরিবর্তন দেখানো হয়েছে। গাড়িটির ১০ মিনিটে অতিক্রান্ত দূরত্ব লেখচিত্রের অন্তর্ভুক্ত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান - উক্তিটি সম্পূর্ণ যথার্থ। নিচে এর গাণিতিক বিশ্লেষণ করা হলো:

উদ্দীপকের লেখচিত্রটিকে তিনটি অংশে ভাগ করে মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয় করা যায়:

    
• প্রথম অংশ (OA): 0 থেকে 2 মিনিট পর্যন্ত। এটি একটি ত্রিভুজাকার ক্ষেত্র।
    
• দ্বিতীয় অংশ (AB): 2 মিনিট থেকে 8 মিনিট পর্যন্ত। এটি একটি আয়তাকার ক্ষেত্র।
    
• তৃতীয় অংশ (BC): 8 মিনিট থেকে 10 মিনিট পর্যন্ত। এটি একটি ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্র।

সময়কে সেকেন্ডে রূপান্তরিত করে দূরত্ব নির্ণয় করা হবে, কারণ বেগ m/s এককে দেওয়া আছে।

১. OA অংশের জন্য অতিক্রান্ত দূরত্ব (প্রথম 0-2 মিনিট):

এটি একটি ত্রিভুজ।

ভূমি (সময়) = 2 মিনিট = \(2 \times 60 = 120\) সেকেন্ড

উচ্চতা (সর্বোচ্চ বেগ) = 10 m/s

অতিক্রান্ত দূরত্ব, \(s_1 = \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}\)

\(s_1 = \frac{1}{2} \times 120 \text{ s} \times 10 \text{ m/s}\)

\(s_1 = 600 \text{ m}\)

২. AB অংশের জন্য অতিক্রান্ত দূরত্ব (পরবর্তী 2-8 মিনিট):

এটি একটি আয়তক্ষেত্র।

দৈর্ঘ্য (সময়) = \(8 - 2 = 6\) মিনিট = \(6 \times 60 = 360\) সেকেন্ড

প্রস্থ (স্থির বেগ) = 10 m/s

অতিক্রান্ত দূরত্ব, \(s_2 = \text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ}\)

\(s_2 = 360 \text{ s} \times 10 \text{ m/s}\)

\(s_2 = 3600 \text{ m}\)

৩. BC অংশের জন্য অতিক্রান্ত দূরত্ব (পরবর্তী 8-10 মিনিট):

এটি একটি ট্রাপিজিয়াম।

সমান্তরাল বাহুদ্বয় (বেগ) = 8 মিনিটে 10 m/s এবং 10 মিনিটে 17 m/s

উচ্চতা (সময়) = \(10 - 8 = 2\) মিনিট = \(2 \times 60 = 120\) সেকেন্ড

অতিক্রান্ত দূরত্ব, \(s_3 = \frac{1}{2} \times (\text{সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল}) \times \text{উচ্চতা}\)

\(s_3 = \frac{1}{2} \times (10 \text{ m/s} + 17 \text{ m/s}) \times 120 \text{ s}\)

\(s_3 = \frac{1}{2} \times 27 \text{ m/s} \times 120 \text{ s}\)

\(s_3 = 27 \times 60 \text{ m}\)

\(s_3 = 1620 \text{ m}\)

মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব:

মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব, \(S_{মোট} = s_1 + s_2 + s_3\)

\(S_{মোট} = 600 \text{ m} + 3600 \text{ m} + 1620 \text{ m}\)

\(S_{মোট} = 5820 \text{ m}\)

অতএব, গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করে দেখা যায় যে, গাড়িটির 10 মিনিটে অতিক্রান্ত দূরত্ব 5820 মিটার, যা লেখচিত্রের অন্তর্ভুক্ত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। সুতরাং, উক্তিটি সম্পূর্ণ যথার্থ।