যদি একই সমতলে অবস্থিত দুইটি সরলরেখার মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব সর্বদা সমান হয় তবে তারা সমান্তরাল হবে।
সমান্তরাল সরলরেখা সংক্রান্ত উপপাদ্য:
চিত্রে, AB || CD এবং PQ ছেদক তাদের যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে।
(ক) ∠PEB = অনুরূপ ∠EFD
(খ) ∠AEF = একান্তর ∠EFD
(গ) ∠BEF + ∠EFD = দুই সমকোপ।
অঙ্কন: E থেকে CD এর উপর EG লম্ব ও F থেকে AB এর উপর FH লম্ব আঁকি
প্রমাণ: (ক) ধাপ ১. ∠FEH = ∠PEB [বিপ্রতীপ কোণ]
ধাপ ২. △ EFG ও △ EFH-এর
HF = EG [AB || CD ও EG CD এবং FH AB]
EF = EF [সাধারণ বাহু]
ও ∠EGF = ∠EHF [সমকোণ
△EFG △ EFH
∠HEF =∠EFG
সুতরাং ∠PEB = ∠EFD
অর্থাৎ ∠PEB = অনুরূপ ∠BFD
(খ) ধাপ ৩: ∠HEF = ∠EFG [ধাপ ২]
∠AEF = একান্তর ∠EFD
(গ) ধাপ ৪. ∠AEB = দুই সমকোণ [সরলকোণ]
∠AEF + ∠BEF = দুই সমকোণ [ ∠AEF + ∠BEF = ∠AEB]
বা, ∠EFD + ∠BEF = দুই সমকোণ [ ∠AEF = ∠EFD]
∠BEF + ∠EFD = দুই সমকোণ (প্রমাণিত)
মনে করি, AB ও CD সরলরেখার প্রত্যেকেই EF সরলরেখার সমান্তরাল।
প্রমাণ করতে হবে যে, AB ও CD পরস্পর সমান্তরাল।
অঙ্কন: PQ ছেদক আঁকি যা AB, CD ও EF কে যথাক্রমে X, Yও Z বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ:
ধাপ-১: AB ও EF পরস্পর সমান্তরাল এবং PQ এদের ছেদক।
∠AXQ= ∠PZF [একান্তর কোণ পরস্পর সমান]
ধাপ-২: আবার, CD ও EF পরস্পর সমান্তরাল এবং PQ এদের ছেদক।
∠PYD = ∠PZF. [অনুরূপ কোণ পরস্পর সমান]
ধাপ-৩: সুতরাং ∠AXQ = ∠PYD [প্রত্যেকে ∠PZF এর সমান]
কিন্তু এরা AB ও CD সরলরেখা দুইটির মধ্যে একান্তর কোণ।
AB ও CD সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল। (প্রমাণিত)
Related Question
View Allরেখা: বিন্দুর চলার পথকে রেখা বলে।
চিত্রে, AB একটি রেখা।
রশ্মি: যেকোনো একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে যেকোনো এক দিকে বিন্দুর চলার পথকে রশ্মি বলে। অর্থাৎ রেখার উপর যেকোনো একটি বিন্দু থেকে যেকোনো একদিকের অসীম পর্যন্ত বিন্দুর সেটকে রশ্মি বলে।
চিত্রের ০ বিন্দু থেকে AB সরলরেখায় OA ও OB দুইটি রশ্মি।
রেখাংশ : রেখার একটি অংশকে রেখাংশ বলে। অর্থাৎ রেখার উপর অবস্থিত দুইটি বিন্দুর অন্তবর্তী সকল বিন্দুর সেটকে ঐ বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বা সংক্ষেপে রেখাংশ বলে।
রেখা ও রেখাংশের মধ্যে দুটি পার্থক্য নিম্নরূপ:
| রেখা | রেখাংশ |
| ১. নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই। | ১. নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য আছে। |
| ২. কোনো প্রান্ত বিন্দু নেই। | দুইটি প্রান্ত বিন্দু বিদ্যমান। |
একই সমতলে দুইটি রশ্মির প্রান্তবিন্দু একই হলে কোণ তৈরি হয়। রশ্মি দুইটিকে কোণের বাহু এবং এদের সাধারণ বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বলে।
চিত্রে, OP ও OQ রশ্মিদ্বয় এদের সাধারণ প্রান্তবিন্দু ০ তে ∠POQ উৎপন্ন করেছে। ০ বিন্দুটি ∠POQ এর শীর্ষবিন্দু। OP এর যে পার্শ্বে Q আছে সেই পার্শ্বে এবং OQ এর যে পার্শ্বে ? আছে সেই পার্শ্বে অবস্থিত সকল বিন্দুর সেটকে ∠POQ এর অভ্যন্তর বলা হয়। কোণটির অভ্যন্তরে অথবা কোনো বাহুতে অবস্থিত নয় এমন সকল বিন্দুর সেটকে এর বহির্ভাগ বলা হয়।
দুইটি পরস্পর বিপরীত রশ্মি এদের সাধারণ প্রান্তবিন্দুতে যে কোণ উৎপন্ন করে, তাকে সরল কোণ বলে। পাশের চিত্রে, AB রশ্মির প্রান্তবিন্দু A থেকে AB এর বিপরীত দিকে AC রশ্মি আঁকী হয়েছে। AC ও AB রশ্মিদ্বয় এদের সাধারণ প্রান্তবিন্দু A তে BA উৎপন্ন করেছে। ∠BAC কে সরল কোণ বলেন সরল কোণের পরিমাপ দুই - সমকোণ বা 180°
কোনো কোণের বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মিদ্বয় যে কোণ তৈরি করে তা ঐ কোণের বিপ্রতীপ কোণ। চিত্রে OA ও OB পরস্পর বিপরীত রশ্মি। আবার OC ও OD. পরস্পরের বিপরীত রশ্মি। ∠BOD ও ∠AOC পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ। আবার ∠BOC ও ∠DOA একটি অপরটির বিপ্রতীপ কোণ। দুইটি সরলরেখা কোনো বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করলে, ছেদ বিন্দুতে দুই জোড়া বিপ্রতীপ কোণ উৎপন্ন হয়।
১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!
শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!
Related Question
Complete Exam
Preparation
Learn, practice, analyse and improve
