শিশিরাঙ্ক কী

স্থির ভরের কোনো গ্রহ সম্প্রসারিত হলে কোনো বস্তুর মুক্তিবেগ হ্রাস পাবে, অর্থাৎ মুক্তিবেগ পরিবর্তিত হবে।

আমরা জানি, গ্রহের পৃষ্ঠ থেকে কোনো বস্তুর মুক্তিবেগের সমীকরণ হলো \(v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}\); যেখানে \(G\) হলো মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, \(M\) হলো গ্রহের ভর এবং \(R\) হলো গ্রহের ব্যাসার্ধ। সমীকরণ অনুযায়ী, গ্রহের ভর \(M\) স্থির থাকলে মুক্তিবেগ গ্রহের ব্যাসার্ধের বর্গমূলের ব্যস্তানুপাতিক (অর্থাৎ, \(v_e \propto \frac{1}{\sqrt{R}}\))। ফলে স্থির ভরের কোনো গ্রহ সম্প্রসারিত হলে এর ব্যাসার্ধ \(R\) বৃদ্ধি পায়, যার দরুন গ্রহটির পৃষ্ঠ থেকে বস্তুর মুক্তিবেগের মান হ্রাস পায় বা পরিবর্তিত হয়।

উদ্দীপকের প্রথম তারটির দৈর্ঘ্য বিকৃতি ঘটাতে সম্পন্ন কৃত কাজের পরিমাণ হলো \(5 \times 10^{-4} \text{ J}\)।

উদ্দীপক হতে প্রাপ্ত তথ্যসমূহ:
প্রথম তারের উপর প্রযুক্ত বল, \(F = 10 \text{ N}\)
দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি, \(l = 0.1 \text{ mm} = 0.1 \times 10^{-3} \text{ m} = 10^{-4} \text{ m}\)

আমরা জানি, কোনো তারের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধিতে সম্পন্ন কৃত কাজ,
\(W = \frac{1}{2} F l\)

এখন, মান বসিয়ে পাই,
\(W = \frac{1}{2} \times 10 \text{ N} \times 10^{-4} \text{ m}\)
\(\Rightarrow W = 5 \times 10^{-4} \text{ J}\)

অতএব, উদ্দীপকের প্রথম তারের দৈর্ঘ্য বিকৃতিতে কৃত কাজের পরিমাণ \(5 \times 10^{-4} \text{ J}\)।

উদ্দীপকের তথ্য অনুযায়ী, তার দুটির উপাদান একই হওয়ায় এদের ইয়ং-এর গুণাঙ্ক সমান থাকবে। একই দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি বজায় রাখতে দ্বিগুণ ব্যাসার্ধের দ্বিতীয় তারটিতে \(40\text{ N}\) বল প্রয়োগ করতে হবে, অর্থাৎ বলের পরিবর্তনের পরিমাণ হবে \(30\text{ N}\)। নিচে গাণিতিক বিশ্লেষণ উপস্থাপন করা হলো:

গাণিতিক বিশ্লেষণ:

আমরা জানি, ইয়ং-এর গুণাঙ্ক, \(Y = \frac{FL}{Al} = \frac{FL}{\pi r^2 l}\)

প্রথম তারের ক্ষেত্রে:
প্রযুক্ত বল, \(F_1 = 10\text{ N}\)
আদি দৈর্ঘ্য = \(L\)
ব্যাসার্ধ = \(r_1\)
দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি = \(l\)

দ্বিতীয় তারের ক্ষেত্রে:
প্রযুক্ত বল = \(F_2\)
আদি দৈর্ঘ্য = \(L\)
ব্যাসার্ধ, \(r_2 = 2r_1\)
দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি = \(l\)

যেহেতু উভয় তার একই উপাদানের (স্টীল) তৈরি, তাই উভয় তারের ইয়ং-এর গুণাঙ্ক (\(Y\)) সমান।

অতএব,
\(\frac{F_1 L}{\pi r_1^2 l} = \frac{F_2 L}{\pi r_2^2 l}\)
বা, \(\frac{F_1}{r_1^2} = \frac{F_2}{r_2^2}\)
বা, \(F_2 = F_1 \times \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2\)
বা, \(F_2 = 10 \times \left(\frac{2r_1}{r_1}\right)^2\)
বা, \(F_2 = 10 \times 4 = 40\text{ N}\)

সুতরাং, বলের পরিবর্তনের পরিমাণ, \(\Delta F = F_2 - F_1 = 40\text{ N} - 10\text{ N} = 30\text{ N}\)

উদ্দীপক অনুসারে, দ্বিতীয় তারের ব্যাসার্ধ প্রথম তারের দ্বিগুণ হওয়ায় এর প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল (\(A = \pi r^2\)) চার গুণ বৃদ্ধি পায়। উপাদান, আদি দৈর্ঘ্য এবং দৈর্ঘ্যের প্রসারণ অপরিবর্তিত রাখতে ক্ষেত্রফল বাড়ার সাথে সাথে প্রয়োজনীয় প্রযুক্ত বলও সমানুপাতিকভাবে বৃদ্ধি পায়। ফলে সমপরিমাণ দৈর্ঘ্য বৃদ্ধির জন্য প্রয়োজনীয় বল চারগুণ অর্থাৎ \(40\text{ N}\) হয়।

অতএব, গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, দ্বিতীয় তারে সমপরিমাণ দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি ঘটাতে প্রযুক্ত বলের মান \(10\text{ N}\) থেকে বৃদ্ধি করে \(40\text{ N}\) করতে হবে, অর্থাৎ বলের পরিবর্তনের পরিমাণ হবে \(30\text{ N}\)।