সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

দেওয়া আছে, $\cos \theta = - \frac{4}{5}$

ত্রিকোণমিতিক অভেদ ব্যবহার করে,

আমরা জানি,

$si{n}^2\theta +co{s}^2\theta =1$

বা, $si{n}^2\theta =1-co{s}^2 \theta$

$=1-{\left(-\frac{4}{5}\right)}^2=1-\frac{16}{25}=\frac{25-16}{25}=\frac{9}{25}$

$\therefore$ $\sin \theta = \pm \frac{9}{25}= \pm \frac{3}{5}$

যেহেতু $\mathrm{\pi }<\alpha <\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$ অর্থাৎ $\theta$ তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত এবং tan ও cot ব্যতীত সকল ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ঋণাত্মক।

$\therefore$ $\sin \theta =-\frac{3}{5}$

আবার,

$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }= \frac{-{\displaystyle \frac{3}{5}}}{- {\displaystyle \frac{4}{5}}}= \frac{3}{5}\times \frac{5}{4}= \frac{3}{4}$

$\therefore$ $\tan \theta = \frac{3}{4}$ এবং $\sin \theta =-\frac{3}{5}$

দেওয়া আছে, $\sin A= \frac{2}{\sqrt{5}}$

আমরা জানি, $si{n}^{2}A+co{s}^{2}A=1$

বা, $co{s}^{2}A=1-si{n}^{2}A=1- {\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}^2=1-\frac{4}{5}=\frac{5-4}{5}=\frac{1}{5}$

$\therefore$ $\cos A =\pm \sqrt{\frac{1}{5}}= \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

যেহেতু $\frac{\mathrm{\pi }}{2}<A<\mathrm{\pi }$ অর্থাৎ A দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করে এবং sin ও cosec ব্যতীত সকল ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ঋণাত্মক।

$\therefore$ $\cos A =-\frac{1}{\sqrt{5}}$

আবার,

$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}= \frac{{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}}{-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}}= - \frac{2}{\sqrt{5}}\times \frac{\sqrt{5}}{1} = - 2$

$\therefore$ $\cos A=- \frac{1}{5}$ এবং  tan A = - 2 .

দেওয়া আছে,

$\cos A=\frac{1}{2}$

ত্রিকোণমিতিক অভেদের সাহায্যে

আমরা জানি, $si{n}^{2}A+co{s}^{2}A=1$

বা, ${\sin }^{2}A=1-{\cos }^{2}A=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=1-\frac{1}{4}=\frac{4-1}{4} =\frac{3}{4}$

$\therefore$ $\sin A= \pm \sqrt{\frac{3}{4}}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

sin A ও cos A একই চিহ্ন বিশিষ্ট ফলে $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ [$\because$cos A ধনাত্মক]

আবার আমরা জানি, $\tan A= \frac{\sin A}{\cos A} =\frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}= \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{1}= \sqrt{3}$

$\therefore$ $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}, \tan A =\sqrt{3}$

দেওয়া আছে, $\tan A =-\frac{5}{12}$

ত্রিকোণমিতিক অভেদ অনুযায়ী,

আমরা জানি, $se{c}^{2}A-ta{n}^{2}A=1$

বা, $se{c}^{2}A=1+ta{n}^{2}A=1+{\left(-\frac{5}{12}\right)}^2=1+\frac{25}{144}=\frac{144+25}{144}=\frac{169}{144}$

$\therefore$ $sec A=\pm \sqrt{\frac{169}{144}}=\pm \frac{13}{12}$

$\therefore$ $cos A=\frac{1}{socA}=\frac{1}{\pm {\displaystyle \frac{13}{12}}}=\pm \frac{13}{12}$

কিন্তু tan A ও cos A বিপরীত চিহ্ন যুক্ত হওয়ায় cos A ধনাত্মক

$\therefore$ $\cos A=\frac{12}{13}$

আবার, আমরা জানি, $si{n}^{2}A+co{s}^{2}A=1$

বা, $si{n}^{2}A=1-co{s}^{2}A=1-{\left(\frac{12}{13}\right)}^2=1-\frac{144}{169}=\frac{169-144}{169}=\frac{25}{169}$

$\therefore$ $\sin A =\pm \frac{25}{169}= \pm \frac{5}{13}$

কিন্তু tan A ও cos A বিপরীত চিহ্ন যুক্ত হওয়ায় cos A ও  sin A ও বিপরীত চিহ্ন যুক্ত হবে ফলে sin A = $-\frac{5}{13}$

$\therefore$ $\sin A =-\frac{5}{13}$ ও $\cos A=\frac{12}{13}$

দেওয়া আছে, $\cos ec A = \frac{a}{b}$

বা, $\cos e{c}^2 A = \frac{a^2}{b^2}$  [বর্গ করে]

বা, $1 + co{t}^2 A = \frac{a^2}{b^2}$ [$\cos e{c}^2\theta = 1 + co{t}^2 \theta$]

বা, $\frac{1}{ta{n}^{2}A}=\frac{a^2}{b^2}-1$

বা, $\frac{1}{ta{n}^{2}A}=\frac{a^2-b^2}{b^2}$

বা, $ta{n}^{2}A =\frac{b^2}{a^2-b^2}$

বা, tan $A=\frac{\pm b}{\sqrt{a^2-b^2}}$ [বর্গমূল করে]

$\therefore$ $\tan A=\frac{\pm b}{\sqrt{a^2-b^2}}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $\cos \theta - \sin \theta = \sqrt{2} \sin \theta$

বা, $(cos \theta -sin \theta {)}^2= {\left(\sqrt{2 }\sin \theta \right)}^2$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা, $co{s}^2\theta -2cos\theta sin \theta +si{n}^2\theta =2si{n}^2\theta$

বা, $co{s}^2\theta -2cos \theta \sin \theta +si{n}^2\theta -2si{n}^2\theta =0$ [পক্ষান্তর করে]

বা, $co{s}^2\theta -si{n}^2\theta =2cos \theta sin \theta$ [পুনরায় পক্ষান্তর করে]

বা, $(\cos \theta + \sin \theta ) (\cos \theta - \sin \theta ) = 2\cos \theta \sin \theta$

বা, $(\cos \theta +\sin \theta ). \sqrt{2} \sin \theta = 2\cos \theta \sin \theta$

বা, $\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta$ [ উভয়পক্ষকে $\sqrt{2}\sin \theta$ দ্বারা ভাগ করো ]

সুতরাং $\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $\tan \theta = \frac{x}{y}$

প্রদত্ত রাশি $=\frac{x \sin \theta + y \cos \theta }{x \sin \theta - y \cos \theta }$

$=\frac{{\displaystyle \frac{x \sin \theta }{\cos \theta }} + {\displaystyle \frac{y \cos \theta }{\cos \theta }}}{{\displaystyle \frac{x \sin \theta }{\cos \theta }} - {\displaystyle \frac{y \cos \theta }{\cos \theta }}}$ [লব ও হরকে cos $\theta$ দ্বারা ভাগ করে]

$= \frac{x \tan \theta +y}{x \tan \theta -y} =\frac{x \times {\displaystyle \frac{x}{y}}+ y}{x \times {\displaystyle \frac{x}{y}} - y}$ [$\tan \theta$ এর মান বসিয়ে]

$=\frac{{\displaystyle \frac{x^2}{y}}+y}{{\displaystyle \frac{x^2}{y}}-y} =\frac{{\displaystyle \frac{x^2+y^2}{y}}}{{\displaystyle \frac{x^2-y^2}{y}}}=\frac{x^2+y^2}{y}\times \frac{y}{x^2-y^2}=\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$

নির্ণেয় মান : $\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$

দেওয়া আছে, tan $\theta$ + sec $\theta$ = x

বা,  $\frac{\sin \theta }{\cos \theta } + \frac{1}{\cos \theta }= x$

বা, $\frac{1 + \sin \theta }{\cos \theta }= x$

বা, $\frac{{\left(1+\sin \theta \right)}^2}{co{s}^2\theta } = x^2$

বা, $\frac{{\left(1+\sin \theta \right)}^2}{1- {\sin }^2 \theta } = x^2$

বা,  $\frac{\left(1+\sin \theta \right) \left(1+sin \theta \right)}{\left(1+sin \theta \right) \left(1-sin \theta \right)}=x^2$

বা, $\frac{1+\sin \theta }{1-\sin \theta }=x^2$

বা, $1+sin \theta =x^2 (1-sin \theta )$

বা, $1+sin \theta =x^2- x^{2}sin \theta$

বা, $x^2\sin \theta +sin \theta = x^2-1$ [পক্ষান্তর করে]

বা, $sin \theta (x^2+1)=x^2-1$

$\therefore$ $sin \theta =\frac{x^2-1}{x^2+1}$(দেখানো হলো)

আমরা পাই,

$(a\sin \theta +b\cos \theta {)}^2=a^2{\sin }^2\theta +2ab \sin \theta \cos \theta +b^2{\cos }^2\theta$

$=a^2(1-co{s}^2\theta )+2ab sin \theta cos \theta + b^2(1-si{n}^2\theta )$

$=a^2+b^2-(a^{2}co{s}^2\theta -2absin \theta cos \theta +b^{2}si{n}^2\theta )$

$=a^2+b^2-(acos \theta -bsin \theta {)}^2$

$=a^2+b^2-c^2$ [মান বসিয়ে]

বা, $asin \theta +b cos \theta =\pm \sqrt{(a^2+b^2-c^2)}$

সুতরাং $asin \theta +b cos \theta =\pm \sqrt{(a^2+b^2-c^2)}$ (প্রমাণিত)

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ছয়টি।

যথা: sine, cosine, tangent, secant, cosecant, cotangent.

চিত্রে AOB একটি সমকোণী ত্রিভুজ এর ∠ABC -সমকোণ। সূক্ষ্মকোণ ∠AOB = $\theta$ এর সাপেক্ষে OA ত্রিভুজের অতিভুজ ; AB লম্ব, OB ভূমি। সূক্ষ্মকোণ $\theta$ এর জন্য ত্রিকোণমিতিক ছয়টি অনুপাত নিম্নোক্তভাবে সংজ্ঞায়িত করা হলো :

sin $\theta$ = $\frac{OA}{OB}$ = লম্ব / অতিভুজ

cosec $\theta$ = $\frac{OA}{AB}$ = অতিভুজ / লম্ব

cos $\theta$ = $\frac{OB}{OA}$ = ভূমি/ অতিভুজ

sec $\theta$ =  $\frac{OA}{OB}$ = অতিভুজ / ভূমি

tan $\theta$ = $\frac{AB}{OB}$ = লম্ব / ভূমি

cot $\theta$ = $\frac{OB}{AB}$= ভূমি / লম্ব

ধরি, ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যেখানে অতিভুজ = AC, ভূমি = AB, লম্ব= BC এবং $\angle$BAC = $\theta$

দেওয়া আছে, tan $\theta$ = 3

বা, tan $\theta$= লম্ব / ভূমি = $\frac{3}{1}$

$\therefore$ লম্ব BC = 3 একক

এবং ভূমি AB = 1 একক

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী অতিভুজ,

$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ একক।

মনে করি, PQR একটি সমকোণী ত্রিভুজ যেখানে অতিভুজ = PR, লম্ব = PQ, ভূমি = QR এবং $\angle$PRQ = $\theta$

দেওয়া আছে, $\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{11}}$

বা, cos $\theta$ = ভূমি / অতিভুজ = $\frac{3}{\sqrt{11}}$

ভূমি QR = 3 একক এবং অতিভুজ PR = $\sqrt{11}$ একক

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,

অতিভুজ^২ = লম্ব^২ +ভূমি^২

লম্ব = √ অতিভুজ^২ - ভূমি^২

= $\sqrt{{\left(\sqrt{11}\right)}^2-3^2} =\sqrt{11-9}=\sqrt{2}$ একক

$\therefore$ $\tan \theta =$ লম্ব / ভূমি = $\frac{\sqrt{2}}{3}$

দেওয়া আছে,  $cosec\alpha =\frac{\sqrt{5}}{2}$ এবং $\frac{\mathrm{\pi }}{2}<\alpha <\mathrm{\pi }$

$\alpha$ কেণের অবস্থান দ্বিতীয় চতুর্ভাগে।

অর্থাৎ, $cosec\alpha =\frac{\sqrt{5}}{2}= \frac{r}{y}$

$\therefore$ $y = 2 , r =\sqrt{5}$

$x=\sqrt{r^2-y^2}$

$=\sqrt{{\left(\sqrt{5}\right)}^2-2^2}=\sqrt{5-4}=\sqrt{1}=1$

দ্বিতীয় চতুর্ভাগে sec $\alpha$ এর মান ঋণাত্মক।

$sec \alpha =\frac{\mathrm{\pi }}{x} =-\frac{\sqrt{5}}{1}= -\sqrt{5}$

নির্ণেয় মান : $-\sqrt{5}$

দেওয়া আছে, $\cos \beta = \frac{2}{\sqrt{7}}$

$sin \beta =\pm \sqrt{1-{\cos }^2\beta }=\pm \sqrt{1-{\left(\frac{2}{\sqrt{7}}\right)}^2}$

$=\pm \sqrt{1 - \frac{4}{7}}=\pm \sqrt{\frac{3}{7}}=\pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

$cot \beta =\frac{cot \beta }{\sin \beta }= \frac{{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{7}}}}{\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}} =\pm \frac{2}{\sqrt{7}}\times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}= \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

নির্ণেয় মান  : $\pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

দেওয়া আছে, $\tan \theta = - \sqrt{3}$ ; যেখানে, $0<\theta <\mathrm{\pi }$

বা, $\tan \theta =-\tan \frac{\mathrm{\pi }}{3}$

বা, $\tan \theta = \tan \left(\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right) = \tan \frac{2\mathrm{\pi }}{3}$

$\therefore$ $\theta =\left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\right)$

নির্ণেয় মান : $\theta =\left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\right)$

দেওয়া আছে, $\tan \theta =\frac{3}{4}$

বা, ${\tan }^2 \theta =\frac{9}{16}$  [বর্গ করে]

বা, $\frac{1}{co{t}^2\theta }=\frac{9}{16}$

বা, $co{t}^2\theta =\frac{16}{9}$

বা, $\cos e{c}^2\theta -1=\frac{16}{9}$

বা, $\cos e{c}^2\theta =\frac{16}{9}$+1  = $\frac{16+9}{9}=\frac{25}{9}$

$\therefore$ $c\mathrm{os}ec \theta = \frac{5}{3}$

নির্ণেয় মান : $c\mathrm{os}ec \theta = \frac{5}{3}$

দেওয়া আছে, $\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{\mathrm{\pi }}{2}<\alpha <\mathrm{\pi }$

দ্বিতীয় চতুর্ভাগে, $\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{2}}$

বা, $\cos \alpha = - \cos \frac{\mathrm{\pi }}{4}$

বা, $\cos \alpha = \cos \left(\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)= \cos \left(\frac{4\mathrm{\pi }-\mathrm{\pi }}{4}\right)$

বা, $\alpha =\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$ , যা $\frac{\mathrm{\pi }}{2}<\alpha <\mathrm{\pi }$ শর্ত পূরণ করে।

নির্ণেয় মান : $\alpha =\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$

দেওয়া আছে, $\sin A = \frac{1}{3}$

বা, $si{n}^{2}A=\frac{1}{9}$ [বর্গ করে]

বা, $1-co{s}^{2}A=\frac{1}{9}$

বা, $co{s}^{2}A=1-\frac{1}{9}=\frac{9-1}{9}=\frac{8}{9}$

বা, $\cos A =\pm \sqrt{\frac{8}{9}}$ [বর্গমূল করে]

$\therefore$ $\cos A = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

নির্ণেয় মান : $\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

দেওয়া আছে, $\tan A = \frac{1}{3}$

ABC সমকোণী ত্রিভুজে ∠ABC = এক

সমকোণ, AB = 3, BC = 1

$\therefore$ $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}$

$=\sqrt{3^2+1^2}= \sqrt{9+1}=\sqrt{10}$

$\therefore$ $\sin A=\frac{BC}{AC}= \frac{1}{\sqrt{10}}$

নির্ণেয় মান : $\frac{1}{\sqrt{10}}$

বামপক্ষ = $\sqrt{\frac{1 - \sin A}{1 + \sin A}}=\sqrt{\frac{1 - \sin A}{1 + \sin A}} \times \sqrt{\frac{1 - \sin A}{1 - \sin A}}$

$=\frac{\sqrt{1 - \sin A}\times \sqrt{1 - \sin A}}{\sqrt{1 + \sin A}\times \sqrt{1 - \sin A}}$ [লব ও হরকে $\sqrt{1 - \sin A}$ দ্বারা গুণ করে]

$=\frac{{\left\{\sqrt{\left(1-\sin A\right)}\right\}}^2}{\sqrt{1-{\sin }^{2 }A}}=\frac{1-\sin A}{\sqrt{{\cos }^{2}A}}$

$=\frac{1 - \sin A}{\cos A}= \frac{1}{\cos A}-\frac{\sin A}{\cos A}= sec A - \tan A =$ডানপক্ষ

$\therefore$ $\sqrt{\frac{1 - \sin A}{1 + \sin A}}$ = $sec A - \tan A$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,   $\theta$ = 30°

প্রদত্ত রাশি = $=\frac{\tan \theta }{\sqrt{1+{\tan }^2\theta }}=\frac{\tan 30° }{\sqrt{1+{\tan }^{2}30°}}$

= $\frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}}{\sqrt{1 + {\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}^2}}= \frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}}{\sqrt{1 + {\displaystyle \frac{1}{3}}}}= \frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}}{\sqrt{{\displaystyle \frac{3 + 1}{3}}}}= \frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}}{\sqrt{{\displaystyle \frac{4}{3}}}}= \frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}}{{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}}$

$=\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{2}= \frac{1}{2}$

নির্ণেয় মান : $\frac{1}{2}$

এখানে,

$sinA+si{n}^{2}A=1$

বা,  $sinA=1-si{n}^{2}A$

বা, $sinA=co{s}^{2}A$

বা, $si{n}^{2}A=(co{s}^{2}A{)}^2$

বা, $1-co{s}^{2}A=co{s}^{4}A$

বা, $1=co{s}^{2}A+co{s}^{4}A$

$\therefore$ $co{s}^{2}A+co{s}^{4}A=1$ (দেখানো হলো)

প্রদত্ত রাশি $=si{n}^{2}15°+si{n}^{2}75°$

$=si{n}^{2}15°+ {\left\{\sin \left(90°-15°\right)\right\}}^2$

$=si{n}^{2}15°+{\left(\cos 15°\right)}^2=si{n}^{2}15°+co{s}^2 15°=1$

নির্ণেয় মান : 1.

বামপক্ষ $=cose{c}^4 \theta -cose{c}^2 \theta$

= ${\left(\cos e{c}^2\theta \right)}^2 - \cos e{c}^2 \theta$

$=(1+co{t}^2 \theta {)}^2-(1+co{t}^2 \theta )$

$=1+2co{t}^2 \theta +co{t}^4 \theta -1-co{t}^2\theta$

$=co{t}^4 \theta +co{t}^2\theta =$ ডানপক্ষ

$\therefore$$cose{c}^4 \theta -cose{c}^2\theta =co{t}^4\theta +co{t}^2\theta$

দেওয়া আছে, $\cos \theta =-\frac{1}{2}$ ; যেখানে, $\mathrm{\pi }<\theta <\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$

$\mathrm{\pi }<\theta <\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$ ব্যবধিতে $\theta$ তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করে। তৃতীয় চতুর্ভাগে cos $\theta$ ঋণাত্মক।

$\cos \theta =-\frac{1}{2}=-\cos \frac{\mathrm{\pi }}{3}= \cos \left(\mathrm{\pi }+\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right) = \cos \left(\frac{4\mathrm{\pi }}{3}\right)$

$\therefore$ $\theta =\frac{4\mathrm{\pi }}{3}$

নির্ণেয় মান : $\theta =\frac{4\mathrm{\pi }}{3}$

প্রদত্ত রাশি =  $si{n}^2\frac{\mathrm{\pi }}{6}+co{s}^2\frac{\mathrm{\pi }}{4}+ta{n}^2\frac{3\mathrm{\pi }}{4}+co{t}^2\frac{2\mathrm{\pi }}{3}$

$={\left(\sin \frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)}^2+{\left(\cos \frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)}^2+{\left\{\tan \left(\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)\right\}}^2+{\left\{cot \left(\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)\right\}}^2$

$={\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(- \tan \frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)}^2+{\left(- cot\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)}^2$

$=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+(-1{)}^2+{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2$

$= \frac{1}{4}+ \frac{1}{2}+ 1 + \frac{1}{3}=\frac{3 + 6 + 12 + 4}{12}= \frac{25}{12}$

নির্ণেয় মান : $\frac{25}{12}$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right) = \cos \theta , f\left(\theta \right) =\frac{4}{5}$

$\therefore$ $f\left(\theta \right) =\cos \theta = \frac{4}{5}$

এখন, $f \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\theta \right)=cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\theta \right)=sin \theta = \sqrt{{\sin }^2\theta }$

$=\sqrt{1-{\cos }^2 \theta } = \sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}$

$= \sqrt{1- \frac{16}{25}}= \sqrt{\frac{25 - 16}{25}}= \frac{9}{25}= \frac{3}{5}$

নির্ণেয় মান : $\frac{3}{5}$

দেওয়া আছে, f(x) = sin x

এবং $f\left(\theta \right) = \frac{1}{3}$ বা, $\sin \theta = \frac{1}{3}$

$f \left(\frac{5\mathrm{\pi }}{2}+\theta \right)=sin \left(\frac{5\mathrm{\pi }}{2}+\theta \right)=cos \theta =\sqrt{1-{\sin }^2\theta }$

$=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}= \sqrt{1-\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{9-1}{9}}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

নির্ণেয় মান : $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

দেওয়া আছে, $\tan \theta =\frac{ 5}{12}$ এবং $\cos \theta$ ঋণাত্মক

বা, $ta{n}^2\theta =\frac{25}{144}$ [বর্গ করে]

বা, $se{c}^2\theta -1=\frac{25}{144}$

বা, $se{c}^2\theta =\frac{25}{144+1}=\frac{25+144}{144}=\frac{169}{144}=\pm \frac{13}{12}$

$\therefore$ $sec \theta =-\frac{13}{12}$

$\therefore$ $\cos \theta = \frac{1}{sec\theta }= \frac{1}{-{\displaystyle \frac{ 13}{12}}}= -\frac{ 12}{13}$

$\therefore$ $\cos \theta =-\frac{ 12}{13}$ এবং $sec \theta =-\frac{13}{12}$

দেওয়া আছে, $cot \theta + \cos ec \theta = a$

বা, $(\cos ec \theta + cot \theta ) (\cos ec \theta - cot \theta ) = a (\cos ec \theta - cot \theta )$

বা, $(\cos e{c}^2 \theta - co{t}^2 \theta ) = a (\cos ec \theta - cot \theta )$

বা, $a (\cos ec \theta - cot \theta ) = 1$

$\cos ec \theta - cot \theta = \frac{1}{a}$

নির্ণেয় মান : $\frac{1}{a}$

প্রদত্ত রাশি $= \tan \frac{7\mathrm{\pi }}{6}= \tan \left(2 \times \frac{\mathrm{\pi }}{2}+\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)= \tan \frac{\mathrm{\pi }}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

নির্ণেয় মান : $\frac{1}{\sqrt{3}}$

দেওয়া আছে, $F\left(\theta \right)=7si{n}^2\theta +3co{s}^2\theta -4$

$F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=7si{n}^2\frac{\mathrm{\pi }}{4}+3co{s}^2\frac{\mathrm{\pi }}{4}-4=7 {\left(\sin \frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)}^2+3 {\left(\cos \frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)}^2-4$

$=7\times {\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2+3 {\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2-4=7\times \frac{1}{2}+3 \times \frac{1}{2}-4$

$= \frac{7}{2}+ \frac{3}{2}- 4 =\frac{7 + 3 - 8}{2}=\frac{10 - 8}{2}= \frac{2}{2}= 1$

নির্ণেয় মান : 1.

দেওয়া আছে,  $\sin \alpha = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

বা, $\sin \alpha = - \sin \frac{\mathrm{\pi }}{3}= \sin \left(\mathrm{\pi }+\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)= \sin \frac{3\mathrm{\pi }+\mathrm{\pi }}{3}= \sin \left(\frac{4\mathrm{\pi }}{3}\right)$

$\therefore$ $\alpha =\frac{4\mathrm{\pi }}{3}$

নির্ণেয় মান : $\alpha =\frac{4\mathrm{\pi }}{3}$

দেওয়া আছে, $cot \theta = \sqrt{2}+ 1$

বা, $cot \theta = \frac{\sqrt{2}+ 1}{1}$

আমরা জানি, $cot \theta =$ ভূমি / লম্ব

ভূমি $=\sqrt{2}+ 1$ , লম্ব = 1

এবং অতিভুজ = √ লম্ব^২ + ভূমি^২

$={\sqrt{1^2+\left(\sqrt{2}+1\right)}}^2$

$=\sqrt{1 + 2 + 2\sqrt{2}+ 1} =\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$

sin $\theta$ = লম্ব / অতিভুজ = $\frac{1}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}$

নির্ণেয় sin $\theta$ এর মান : $\frac{1}{\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}}$

দেওয়া আছে, cosec A = -  $\frac{5}{3}$

বা, $\cos e{c}^2 A = \left(-\frac{5}{3}\right)$ [বর্গ করে]

বা, $\cos e{c}^{2}A=\frac{25}{9}$

বা, $\cos e{c}^2 A-1=\frac{25}{9}-1$

বা, $co{t}^2 A=\frac{25-9}{9}=\frac{16}{9}$

বা, cot A = $=\pm \sqrt{\frac{16}{9}}$ = $\pm \frac{4}{3}$

$\therefore$ cot A= $\frac{4}{3}$

নির্ণেয় মান : $\frac{4}{3}$

দেওয়া আছে, p = sin $\theta$ এবং q = cos $\theta$

এখন, p = q হলে,

$\sin \theta = \cos \theta$

বা, $\frac{\sin \theta }{\cos \theta }= 1$

বা, $\tan \theta = 1$

বা, $\tan \theta = \tan \frac{\mathrm{\pi }}{4}, \tan \left(\mathrm{\pi }+ \frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)= \tan \frac{\mathrm{\pi }}{4}, \frac{5\mathrm{\pi }}{4}$

$\therefore$ $\theta = \frac{\mathrm{\pi }}{4}, \frac{5\mathrm{\pi }}{4}$

নির্ণেয় মান :  $\theta = \frac{\mathrm{\pi }}{4}, \frac{5\mathrm{\pi }}{4}$

দেওয়া আছে, $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$, যেখানে $\frac{\mathrm{\pi }}{2}\le A<\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$

বা, $\sin A = \sin \frac{\mathrm{\pi }}{3} = \sin \left(\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)= \sin \frac{\mathrm{\pi }}{3}= \sin \frac{2\mathrm{\pi }}{3}$

$\therefore A= \frac{2\mathrm{\pi }}{3}$

নির্ণেয় মান : $A= \frac{2\mathrm{\pi }}{3}$

দেওয়া আছে, $\theta =\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{12}=\frac{{\left({180}^{°}\right)}^2}{12}$ = 2700°

প্রদত্ত রাশি $=\tan \theta \tan 5 \theta . \tan 7\theta \tan 11\theta$

$=(tan2700°) \left\{\tan (5\times 2700°)\right\}$ $\left\{tan\right(7\times 2700°\left)\right\} \left\{\tan (11\times 2700°)\right\}$

$= \tan (90°\times 30+ 0°) \tan (90°\times 150 + 0°)$  $\tan (90° \times 210 + 0°) \tan (90° \times 330 + 0°)$

$=0 \times 0 \times 0 \times 0 = 0$

দেওয়া আছে, $3cosec \theta - 4sec \theta = 0$

বা, $3cosec \theta = 4sec \theta$

বা, $\frac{3}{4}=\frac{soc \theta }{\cos ec \theta }$

বা, $\frac{{\displaystyle \frac{1}{ \cos \theta }}}{{\displaystyle \frac{1}{\sin \theta }}}= \frac{3}{4}$

বা, $\frac{1}{\cos \theta }\times \sin \theta = \frac{3}{4}$

বা, $\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{3}{4}$

$\therefore$ $\tan \theta = \frac{3}{4}$

নির্ণেয় মান :  $\frac{3}{4}$

দেওয়া আছে, $P = \tan \theta + sec \theta$

আমরা জানি, $se{c}^2\theta -ta{n}^2\theta =1$

বা, $(sec \theta +tan \theta )(sec \theta -tan \theta )=1$

বা, $P(sec \theta - \tan \theta ) = 1$

বা, $- (\tan \theta - sec \theta ) = \frac{1}{p}$

$\therefore$ $\tan \theta - sec \theta =- \frac{1}{p}$

নির্ণেয় মান : $- \frac{1}{p}$