সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

বিন্দু একটি ধারণা মাত্র। এর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা কোনোটিই নেই। বিন্দুকে আমরা একটি ডট (.) চিহ্ন দ্বারা প্রকাশ করি। একে অবস্থানের প্রতিরূপ বলা যায়। সুতরাং বিন্দুর কোনো মাত্রা নেই। তাই বিন্দু শূন্য মাত্রিক।

রেখার বৈশিষ্ট্য হলো:
(i) রেখার শুধু দৈর্ঘ্য আছে তবে নির্দিষ্ট নয়।
(ii) রেখার প্রস্থ ও উচ্চতা নেই।
(iii) রেখা এক মাত্রিক।
(iv) রেখার কোনো প্রান্তবিন্দু নেই।

বস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা প্রত্যেকটিকে ঐ বস্তুর মাত্রা বলে। যেমন, রেখা এক মাত্রিক, তল দ্বিমাত্রিক এবং ঘনবস্তু ত্রিমাত্রিক।

কোনো তলের উপরস্থ যেকোনো দুইটি বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা সম্পূর্ণরূপে ঐ তলের উপর অবস্থিত হলে, ঐ তলকে সমতল বলা হয়। যেমন, পুকুরের পানি স্থির থাকলে ঐ পানির উপরিভাগ একটি সমতল।

কোনো তলের উপর অবস্থিত যেকোনো দুইটি বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা সম্পূর্ণরূপে ঐ তলের উপর অবস্থিত না হলে ঐ তলকে বক্রতল বলে। যেমন, গোলকের পৃষ্ঠতল একটি বক্রতল।

গণিত শাস্ত্রের যে শাখার সাহায্যে ঘনবস্তু এবং তল, রেখা ও বিন্দুর ধর্ম জানা যায়, তাকে ঘন জ্যামিতি বলা হয়। কখনও কখনও একে জাগতিক জ্যামিতি বা ত্রিমাত্রিক জ্যামিতি বলে। প্রকৃতপক্ষে প্রত্যেক বস্তু ঘন জ্যামিতির আলোচনাধিন। ঘন জ্যামিতির প্রত্যেক বস্তু ত্রিমাত্রিক।

একাধিক সরলরেখা একই সমতলে অবস্থিত হলে, বা তাদের সকলের মধ্য দিয়ে একটি সমতল অঙ্কন সম্ভব হলে ঐ সরলরেখাগুলোকে একতলীয় রেখা বলা হয়। যেমন, চিত্রে, AB ও CD এক তলীয় রেখা কিন্তু EF তাদের সাথে একতলীয় নয়।

নৈকতলীয় রেখা : একাধিক সরলরেখা একই সমতলে অবস্থিত না হলে বা তাদের মধ্য দিয়ে একটি সমতল অঙ্কন করা সম্ভব না হলে এগুলোকে নৈকতলীয় সরলরেখা বলা হয়। চিত্রে AB ও EF নৈকতলীয় রেখা। দুইটি পেনসিলকে একটির উপর আর একটি দিয়ে যোগ বা গুণচিহ্ন আকৃতির একটি বস্তু তৈরি করলেই দুইটি নৈকতলীয় সরলরেখা উৎপন্ন হবে।

দুইটি সমতল যদি পরস্পর ছেদ না করে অর্থাৎ যদি তাদের কোনো সাধারণ রেখা না থাকে তবে ঐ তলদ্বয়কে সমান্তরাল তল বলা হয়। চিত্রে ABCD ও তার বিপরীত পাশে থাকা EFGH সমতল দুইটি পরস্পরের সমান্তরাল তল।

কোনো সরলরেখা একটি সমতলের উপরস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ সমতলের উপর অঙ্কিত যেকোনো রেখার উপর লম্ব হলে, উক্ত সরলরেখাকে ঐ সমতলের উপর লম্ব বলা হয়। OP রেখা QR সমতলের উপর লম্ব, কারণ OP রেখা QR সমতলে থাকা AB, CD, EF প্রতিটি রেখার ওপরেই লম্ব।

কোনো সরলরেখা একটি সমতলের সাথে সমান্তরাল বা লম্ব না হলে, ঐ সরলরেখাকে সমতলের তির্যক রেখা বলা হয়। উপরের চিত্রে MN, ST এর তির্যক রেখা।

স্থির অবস্থায় ঝুলন্ত ওলনের সুতার সঙ্গে সমান্তরাল কোনো রেখা বা তলকে খাড়া বা উল্লম্ব তল বলে। যেমন, চিত্রে ABCD উল্লম্ব তল এবং PR উল্লম্ব রেখা।

কোনো সমতল একটি খাড়া সরলরেখার সাথে লম্ব হলে, তাকে শয়ান বা অনুভূমিক তল বলা হয়। আবার কোনো অনুভূমিক তলে অবস্থিত যেকোনো সরলরেখাকে অনুভূমিক সরলরেখা বলা হয়। যেমন, চিত্রে ABEF একটি অনুভূমিক সমতল এবং PQ একটি অনুভূমিক সরলরেখা।

কোনো চতুর্ভুজের বাহুগুলো সব একই তলে অবস্থিত হলে, তাকে সমতলীয় চতুর্ভুজ বলা হয়। আবার কোনো চর্তুভুজের বাহুগুলো সকলে একই তলে অবস্থিত না হলে, ঐ চতুর্ভুজকে নৈকতলীয় চতুর্ভুজ বলা হয়। নৈকতলীয় চতুর্ভুজের দুইটি সন্নিহিত বাহু একতলে এবং অপর দুইটি অন্য তলে অবস্থিত। সুতরাং কোনো নৈকতলীয় চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় নৈকতলীয়। যেমন, চিত্রে ABEF একটি সমতলীয় চতুর্ভুজ এবং BCFE একটি নৈকতলীয় চতুর্ভুজ।

দুইটি সমতল সরলরেখায় ছেদ করলে তাদের ছেদ রেখাস্ত যেকোনো বিন্দু থেকে ঐ সমতলদ্বয়ের প্রত্যেকের উপর ঐ ছেদ রেখার সাথে লম্ব এরূপ একটি করে রেখা অঙ্কন করলে উৎপন্ন কোণই ঐ সমতলদ্বয়ের অন্তর্গত দ্বিতল কোণ।

AB ও CD সমতলদ্বয় AC রেখায় পরস্পর ছেদ করেছে। AC রেখাস্থ O বিন্দুতে AB সমতলে OM এবং CD সমতলে ON এরূপ দুইটি সরলরেখা অঙ্কন করা হলো যেন তারা উভয়ই AC এর সঙ্গে O বিন্দুতে লম্ব হয়। তাহলে ∠MON ই AB ও CD সমতলম্বয়ের অন্তর্গত দ্বিতল কোণ সূচিত করে। দুইটি পরস্পচ্ছেদী সমতলের অন্তর্গত দ্বিতল কোণের পরিমাণ এক সমকোণ হলে ঐ সমতলদ্বয় পরস্পর লম্ব।

দুইটি সরলরেখার মধ্যে স্বতঃসিদ্ধ হলো :

ক) কোনো সমতলের উপরস্থ দুইটি বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাকে অনির্দিষ্টভাবে বর্ধিত করলেও তা সম্পূর্ণভাবে ঐ সমতলে অবস্থিত থাকবে। সুতরাং একটি সরলরেখা ও একটি সমতলের মধ্যে দুইটি সাধারণ বিন্দু থাকলে, ঐ সরলরেখা বরাবর তাদের মধ্যে অসংখ্য সাধারণ বিন্দু থাকবে।

খ) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু বা একটি সরলরেখার মধ্য দিয়ে অসংখ্য সমতল অঙ্কন করা যায়।

সরলরেখা ও সমতলের মধ্যে তিনটি সম্পর্ক হলো :

ক) কোনো সরলরেখা কোনো সমতলের সমান্তরাল হলে তাদের মধ্যে কোনো সাধারণ বিন্দু থাকবে না।

খ) কোনো সরলরেখা কোনো সমতলকে ছেদ করলে তাদের মধ্যে মাত্র একটি সাধারণ বিন্দু থাকবে।

গ) যদি কোনো সরলরেখা ও সমতলের দুইটি সাধারণ বিন্দু থাকে, তাহলে সম্পূর্ণ সরলরেখাটি সমতলে অবস্থিত হবে।

সমতল বা বক্রতল দ্বারা বেষ্টিত শূন্যের কিছুটা স্থান দখল করে থাকে এরূপ বস্তুকে ঘনবস্তু বলা হয়। যেমন, ইট, বই, বাক্স ইত্যাদি সমতল দ্বারা বেষ্টিত ঘনবস্তু। আবার, বল, গোলক, মারবেল ইত্যাদি বক্রতল দ্বারা বেষ্টিত ঘনবস্তু।

তিনজোড়া সমান্তরাল সমতল দ্বারা আবদ্ধ ঘনবস্তুকে সামান্তরিক ঘনবস্তু বলা হয়। এই ছয়টি সমতলের প্রত্যেকটি একটি সামান্তরিক এবং বিপরীত পৃষ্ঠগুলো সর্বতোভাবে সমান। সামান্তরিক ঘনবস্তুর ছয়টি তলে বিভক্ত বারটি ধার আছে।

যে সামান্তরিক ঘনবস্তুর পৃষ্ঠতলগুলো আয়তক্ষেত্র, তাকে আয়তাকার ঘনবস্তু বলে। আর আয়তাকার ঘনবস্তুর প্রত্যেকটি পৃষ্ঠতল বর্গক্ষেত্র হলে তাকে ঘনক বলে।

আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে a, b, c একক হলে, আয়তাকার ঘনবস্তুর সমগ্রতল বা পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2(ab + bc + ca) বৰ্গ একক

আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন = abc ঘন একক 

আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(a^2+b^2+c^2)}$ একক।

ঘনকের প্রতিটি ধার a একক হলে, ঘনকের সমগ্রতল বা পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল $= 6a^2$ বর্গ একক, ঘনকের আয়তন =$a^3$ ঘন একক ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য $\sqrt{3}$a একক।

দেওয়া আছে, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 8 মি.

                                                        প্রস্থ, b = 6 মি.

                                                   উচ্চতা, c = 2 মি.

আমরা জানি, আয়তাকার ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2(ab + bc + ca) বর্গ একক

$= 2(8 \times 6 + 6 \times 2 + 2 \times 8)$ বর্গ মি.

= 2 (48 + 12 + 16) বর্গ মি.

$= 2 \times 76$ বর্গ মি.

= 152 বর্গ মি.

সুতরাং, আয়তাকার ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 152 বর্গ মি.।

দেওয়া আছে, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য a = 3 মি. প্রস্থ, b=2 মি. ও উচ্চতা, c = 1 মি.।

আমরা জানি, আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন = abc

                                                                   = (3$\times$ 2 $\times$ 1) ঘনমি.

                                                                  = 6 ঘন মি.

$\therefore$ আয়তাকার ঘনবস্তুটির আয়তন 6 ঘন মি.।

দেওয়া আছে, ঘনকের ধার, a = 2 সে.মি.

আমরা জানি,

ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 6a^2$ বর্গ একক

                                                $= 6 \times 2^2$ বর্গ সে.মি. = 24 বর্গ সে.মি.

$\therefore$ ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 24 বর্গ সে.মি.।

দেওয়া আছে, ঘনকের ধার a = 5 সে.মি.

ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{2}$a একক

                                                $=\sqrt{2}\times 5$ সে.মি.

                                                = $5\sqrt{2}$ সে.মি.

অতএব, ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য $5\sqrt{2}$ সে.মি.।

দেওয়া আছে, দৈর্ঘ্য, a = 10 সে.মি.

প্রস্থ, b = 5 সে.মি.

পুরুত্ব, c = 2 সে.মি.

$\therefore$ ইটের কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(a^2+b^2+c^2)}$ একক

$= \sqrt{({10}^2+5^2+2^2)}$ সে.মি.

$=\sqrt{129}$ সে.মি.  = 11.36 সে.মি. (প্রায়)

$\therefore$ ইটটির কর্ণের দৈর্ঘ্য 11.36 সে.মি. (প্রায়)।

যে ঘনবস্তুর দুই প্রান্ত সর্বসম ও সমান্তরাল বহুভুজ দ্বারা আবদ্ধ এবং অন্য তলগুলো সামান্তরিক তাকে প্রিজম বলে। প্রিজমের দুই প্রান্তকে ইহার ভূমি এবং অন্য তলগুলোকে পার্শ্বতল বলে। সবগুলো পার্শ্বতল আয়তাকার হলে প্রিজমটিকে খাড়া বা সমপ্রিজম এবং অন্যক্ষেত্রে প্রিজমটিকে তীর্যক প্রিজম বলা হয়। বাস্তব ক্ষেত্রে খাড়া প্রিজমই অধিক ব্যবহৃত হয়। ভূমির তলের নামের উপর নির্ভর করে কোনো প্রিজমের নামকরণ করা হয়। যেমন, ত্রিভুজাকার প্রিজম, চর্তুভুজাকার প্রিজম, পঞ্চভুজাকার প্রিজম ইত্যাদি।

যে প্রিজমের ভূমি সুষম বহুভুজ আকৃতির, তাকে সুষম প্রিজম বলে। আর যে প্রিজমের ভূমি সুষম বহুভুজ নয়, তাকে বিষম প্রিজম বলে।

ক) প্রিজমের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

= 2 (ভূমির ক্ষেত্রফল) + পার্শ্বতলগুলোর ক্ষেত্রফল

= 2 (ভূমির ক্ষেত্রফল) + ভূমির পরিসীমা $\times$ উচ্চতা

খ) আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল $\times$ উচ্চতা।

দেওয়া আছে, প্রিজমের ভূমির প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. এবং উচ্চতা 4 সে.মি.।

প্রিজমের ভূমির ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}\times (5{)}^2$ বর্গ সে.মি. $=\frac{25\sqrt{3}}{4}$ বর্গ সে.মি.

$\therefore$ প্রিজমটির আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল $\times$ উচ্চতা

$=\left(\frac{25\sqrt{3}}{4}\times 4\right)$ ঘন সে.মি.

$= 25\sqrt{3}$ ঘন সে.মি. = 43.301 ঘন সে.মি. (প্রায়)

$\therefore$ নির্ণেয় প্রিজমের আয়তন 43.301 ঘন সে.মি. (প্রায়)।

দেওয়া আছে, প্রিজমের ভূমির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3, 4 ও 5 মিটার এবং উচ্চতা 8 মিটার।

যেহেতু $3^2+4^2=5^2$ ইহার ভূমি একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2}\times 4\times 3 = 6$ বর্গ মিটার

প্রিজমটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = {2 $\times$ (ভূমির ক্ষেত্রফল) + ভূমির পরিসীমা $\times$ উচ্চতা) বর্গ একক

= {2 $\times$ 6 + (3 + 4 + 5) $\times$ 8} বর্গ মিটার

= (12 + 96) বর্গমিটার = 108 বর্গমিটার

অতএব, প্রিজমটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 108 বর্গমিটার।

প্রিজমের ভূমির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3, 4 ও 5 সে.মি.।

যেহেতু $3^2+4^2=5^2$ সেহেতু ইহার ভূমি একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2}\times 4\times 3 = 6$ বর্গ সে.মি.।

সুতরাং, ইহার আয়তন = 6 $\times$ 8 = 48 ঘন সে.মি.।

অতএব, প্রিজমটির আয়তন 48 ঘন সে.মি.।

বহুভুজের উপর অবস্থিত যে ঘনবস্তুর একটি শীর্ষবিন্দু থাকে এবং যার পার্শ্বতলগুলোর প্রত্যেকটি ত্রিভুজাকার তাকে পিরামিড বলে। তবে পিরামিডের ভূমি যেকোনো আকারের বহুভুজ এবং তার পার্শ্বতলগুলো যেকোনো ধরণের ত্রিভুজ হতে পারে।

যে পিরামিডের ভূমি সুষম বহুভুজ এবং পার্শ্বতলগুলো সর্বসম ত্রিভুজ তাকে সুষম পিরামিড বলে। সুষম পিরামিড খুবই দৃষ্টিনন্দন।

পিরামিডের শীর্ষবিন্দু ও ভূমির যেকোনো কৌণিক বিন্দুর সংযোজক রেখাকে পিরামিডের ধার বলে। পিরামিডের শীর্ষ হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্ব দৈর্ঘ্যকে পিরামিডের উচ্চতা বলে।

চারটি সমবাহু ত্রিভুজ, দ্বারা বেষ্টিত ঘনবস্তুকে সুষম চতুস্থলক বলে যা একটি পিরামিড। ইহার শীর্ষ হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্ব ভূমির ভরকেন্দ্রে পতিত হয়।

পিরামিড সম্পর্কিত সূত্রগুলো হলো :

ক) পিরামিডের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ভূমির ক্ষেত্রফল + পার্শ্বতলগুলোর ক্ষেত্রফল

কিন্তু পার্শ্বতলগুলো সর্বসম ত্রিভুজ হলে,

পিরামিডের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ভূমির ক্ষেত্রফল + $\frac{1}{2}$ (ভূমির পরিধি $\times$ হেলানো উচ্চতা)

কোনো পিরামিডের উচ্চতা h, ভূমিক্ষেত্রের অন্তবৃত্তের ব্যাসার্ধ  r এবং হেলানো উচ্চতা l হলে, l = $\sqrt{h^2+r^2}$

খ) আয়তন = $\frac{1}{3}\times$ ভূমির ক্ষেত্রফল $\times$ উচ্চতা।

দেওয়া আছে, পিরামিডের ভূমির ক্ষেত্রফল 24 বর্গ মিটার এবং পার্শ্বতলগুলোর ক্ষেত্রফল 16 বর্গমিটার।

পিরামিডটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ভূমির ক্ষেত্রফল + পার্শ্বতলগুলোর ক্ষেত্রফল

= (24 + 16) বর্গমিটার = 40 বর্গমিটার

$\therefore$ পিরামিডের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 40 বর্গ মিটার।

দেওয়া আছে, পিরামিডের বর্গাকার ভূমির দৈর্ঘ্য 3 সে.মি. এবং উচ্চতা = 10 সে.মি.

পিরামিডের আয়তন = $\frac{1}{3}$ $\times$ ভূমির ক্ষেত্রফল $\times$ উচ্চতা

$=\frac{1}{3}\times 3^2 \times 10$ ঘন সে.মি.

= 30 ঘন সে.মি.

পিরামিডটির আয়তন 30 ঘন সে.মি.।

দেওয়া আছে, সুষম চতুস্তলকের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 3 সে.মি.। প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য একই হওয়ায় সুষম চতুস্তলক চারটি সমবাহু ত্রিভুজ দ্বারা গঠিত।

সুষম চতুস্তলকের ক্ষেত্রফল = 4 $\times$ সুষম বাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

$=4\times \frac{3}{4}{a}^2$ বর্গ একক

$=4\times \frac{3}{4}\times 3^2$ বর্গ সে.মি.

= $9\sqrt{3}$  বর্গ সে.মি.

= 15.588 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

$\therefore$ ক্ষেত্রফল 15.588 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

কোনো সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন একটি বাহুকে অক্ষ ধরে তার চতুর্দিকে ত্রিভুজটিকে একবার ঘুরিয়ে আনলে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয়, তাকে সমবৃত্তভূমিক কোণক বলা হয়।

চিত্রে, OAC সমকোণী ত্রিভুজকে OA রেখার চতুর্দিকে ঘোরানোর ফলে ABC সমবৃত্তভূমিক কোণক উৎপন্ন হয়েছে। এক্ষেত্রে ত্রিভুজের শীর্ষকোণ ∠OAC = $\theta$ হলে, $\theta$ কে কোণকের অর্ধশীর্ষকোণ বলা হয়।

সমবৃত্তভূমিক কোণকের সূত্রগুলো হলো :

ক) বক্রতলের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ $\times$ ভূমির পরিধি $\times$ হেলানো উচ্চতা

$=\frac{1}{2}\times 2\mathrm{\pi }r \times l =\mathrm{\pi }rl$ বর্গ একক

খ) সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = বক্রতলের ক্ষেত্রফল + ভূমিতলের ক্ষেত্রফল

$=\mathrm{\pi }rl+\mathrm{\pi }{r}^2=\mathrm{\pi }r (r+l)$ বর্গ একক

গ) আয়তন = $\frac{1}{3}$ $\times$ ভূমির ক্ষেত্রফল $\times$ উচ্চতা

= $\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}$ ঘন একক।

চিত্রে সমবৃত্তভূমিক কোণকটি অঙ্কন করে দেখানো হলো :

এখানে, কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ, OB = r

                                      উচ্চতা, OA = h

                                   শীর্ষকোণ, ∠BAC = 2α

অর্ধশীর্ষকোণ, ∠BAO = ∠CAO = α.

এখানে, কোণকের উচ্চতা, h = 8 সে. মি.

এবং ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 6 সে. মি.

কোণকটির আয়তন = $\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}$

$=\frac{1}{3}\times \mathrm{\pi }\times (6{)}^2\times 8$  ঘন সে.মি.

$=\frac{1}{3}\times 3.1416 \times 36 \times 8$ ঘন সে.মি.

= 301.6 ঘন সে.মি. (প্রায়)

$\therefore$ কোণকটির আয়তন 301.6 ঘন সে.মি. (প্রায়)।

দেওয়া আছে,

সমবৃত্তভূমিক কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 6 সে.মি. এবং উচ্চতা, h = 8 সে.মি.

হেলানো উচ্চতা, $l=\sqrt{(6^2+8^2)}=\sqrt{100}=10$ সে.মি.

বক্রতলের ক্ষেত্রফল = $\mathrm{\pi rl}$ বর্গ একক

$= 3.1416 \times 6 \times 10 = 188.5$ বর্গ সে.মি.

কোনো অর্ধবৃত্ত ক্ষেত্রের ব্যাসকে অক্ষ ধরে ঐ ব্যাসের চতুর্দিকে অর্ধবৃত্ত ক্ষেত্রকে একবার ঘুরিয়ে আনলে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তাকে গোলক বলে। অর্ধবৃত্তটির কেন্দ্রই গোলকের কেন্দ্র। এই ঘূর্ণনের ফলে অর্ধবৃত্ত যে তল উৎপন্ন করে তাই হলো গোলকের তল।

গোলকের ব্যাসার্ধ r হলে,

ক) গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = $4{\mathrm{\pi r}}^2$ বর্গ একক।

ঘ) আয়তন $\frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}^3$ ঘন একক।

গ) h উচ্চতায় তলচ্ছেদে উৎপন্ন বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $\sqrt{r^2-h^2}$ একক।

দেওয়া আছে, নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 4 সে.মি.

নিরেট গোলকটির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=4\mathrm{\pi }{r}^2=4\times 3.1416\times 4^2$ বর্গ সে.মি.

$=4\times 3.1416\times 16 c{m}^2=201.06$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 201.06 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

এখানে, নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 9 সে.মি.

গোলকটির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = $4{\mathrm{\pi r}}^2$ বর্গ একক

$=4\times 3.1416 \times 9^2$ বর্গ সে.মি.

$= 4 \times 3.1416 \times 81$ বর্গ সে.মি.

= 1017.8784 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় নিরেট গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 1017.8784 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

দেওয়া আছে, গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 6 সে.মি.

গোলকের আয়তন = $\frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}^3$ ঘন একক

$=\frac{4}{3}\times 3.1416 \times 6^3$ ঘন সে.মি.

= 904.7808 ঘন সে.মি.

নির্ণেয় গোলকের আয়তন 904.7808 ঘন সে.মি. (প্রায়)।

যৌগিক ঘনবস্তু : দুইটি ঘনবস্তুর সমন্বয়ে গঠিত ঘনবস্তুকে যৌগিক ঘনবস্তু বলে। যেমন, দুইটি অর্ধগোলক ও একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের সমন্বয়ে গঠিত যৌগিক ঘনবস্তুকে ক্যাপসুল বলা যেতে পারে।

চারটি যৌগিক ঘনবস্তু হলো :
ক্যাপসুল, দোচালা ঘর, পেনসিল ও বেলন।

দেওয়া আছে, ক্যাপসুলের সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য, । = 15 সে.মি. এবং ব্যাসার্ধ, r = 3 সে.মি.

সিলিন্ডার আকৃতির অংশের দৈর্ঘ্য, h = l - 2r

= 15 - (2 $\times$ 3) সে.মি.

= 9 সে.মি.

ক্যাপসুলটির আয়তন = 2 $\times$ অর্ধগোলকের আয়তন + সিলিন্ডার অংশের আয়তন

$=\left(2 \times \frac{1}{2}\times \frac{4}{3}\mathrm{\pi }{r}^3+\mathrm{\pi }{r}^{2}h\right)$ ঘন একক

$=\left(\frac{4}{3}\times 3.1416\times 3^3+3.1416\times 3^2\times 9\right)$ ঘন সে.মি.

= 367.57 ঘন সে.মি. (প্রায়)

অতএব, ক্যাপসুলটির আয়তন 367.57 ঘন সে. মি. (প্রায়)।