সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

সম্ভাবনা হলো একটি ঘটনা যা ঘটবে অথবা না ঘটবে, সে সম্পর্কে কোনো উক্তির প্রতি বিশ্বাসের মাত্রা। ১ ঘটনাসমূহের মধ্যে A একটি অনুকূল ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা হলে,

P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}$

= A ঘটনার উপাদান সংখ্যা /S ঘটনা জগতের মোট উপাদান সংখ্যা

যেমন : একটি মুদ্রা নিক্ষেপে হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{1}{2}$

                                       এবং টেল পাওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{1}{2}$

যখন কোনো পরীক্ষার সম্ভাব্য সকল ফলাফল আগে থেকে জানা থাকে কিন্তু পরীক্ষাটিতে কোনো একটা নির্দিষ্ট চেষ্টায় কী ফলাফল আসবে তা নিশ্চিত করে বলা যায় না, এরূপ পরীক্ষাকে দৈব পরীক্ষা বলে। এখানে, মুদ্রা নিক্ষেপ পরীক্ষা একটা দৈব পরীক্ষা।

যদি কোনো পরীক্ষার ঘটনাগুলো ঘটার সম্ভাবনা সমান হয় অর্থাৎ একটি অপরটির চেয়ে কম বা বেশি সম্ভাব্য না হয় তবে ঘটনাগুলোকে সমসম্ভাব্য বলে। যেমন- একটা নিরপেক্ষ মুদ্রা নিক্ষেপে হেড বা টেল আসার সম্ভাবনা সমান। সুতরাং, হেড আসা ও টেল আসা ঘটনা দুইটি সমসম্ভাব্য ঘটনা।

কোনো দৈব পরীক্ষার সম্ভাব্য সকল ফলাফল নিয়ে গঠিত সেটকে নমুনাক্ষেত্র বলে। যেমন, একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করলে দুইটি সম্ভাব্য ফলাফল পাওয়া যায়। যথা- হেড (H) ও টেল (T), এখন S দ্বারা এ পরীক্ষণের ফলাফলের লেটকে সূচিত করলে আমরা লিখতে পারি, S = {H, T}। সুতরাং, উক্ত পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্র, S = {H, T}।

কোনো পরীক্ষায় যদি একটা ঘটনা ঘটলে অন্যটি অথবা অন্য ঘটনাগুলো না ঘটতে পারে, তবে উক্ত ঘটনাগুলোকে পরস্পর বিচ্ছিন্ন ঘটনা বলে। যেমন- একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা নিক্ষেপ করলে হেড আসা বা টেল আসা দুইটি বিচ্ছিন্ন ঘটনা। কেননা হেড আসলে টেল আসতে পারে না, আবার টেল আসলে হেড আসতে পারে না। অর্থাৎ, হেড ও টেল এক সাথে আসতে পারে না।

নমুনাক্ষেত্রের প্রতিটি উপাদানকে নমুনা বিন্দু বলে।

একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপে নমুনাক্ষেত্র, S = {H, T} এখানে, H, T প্রত্যেকে এক একটা নমুনা বিন্দু।

একটি ছক্কা নিক্ষেপে নমুনাক্ষেত্র, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

এখানে, 1, 2, 3, 4, 5, 6 প্রত্যেকটি নমুনা বিন্দু।

কোন পরীক্ষার ফলাফল বা ফলাফলের সমাবেশকে ঘটনা বলে। উদাহরণস্বরূপ, একটা ছক্কা নিক্ষেপ পরীক্ষায় ও পাওয়া একটি ঘটনা। জোড় সংখ্যা পাওয়াও একটি ঘটনা। অন্যদিকে একটি মুদ্রা নিক্ষেপে হেড কিংবা টেল পাওয়া এক একটি ঘটনা।

ধরি, নমুনাক্ষেত্র S এর মধ্যে A ও B দুটি বিচ্ছিন্ন ঘটনা।

নমুনাক্ষেত্রে মোট ফলাফল সংখ্যা = n

A ঘটনার অনুকূল ফলাফল সংখ্যা = $n_a$

B ঘটনার অনুকূল ফলাফল সংখ্যা = $n_b$

A ঘটনার সম্ভাবনা, $P\left(A\right)=\frac{n_a}{n}$

B ঘটনার সম্ভাবনা, $P\left(B\right)=\frac{n_b}{n}$

যেহেতু A ও B পরস্পর বিচ্ছিন্ন ঘটনা।

সুতরাং, $A\cup B$ এর অনুকূল ফলাফল সংখ্যা = $n_a+n_b$

$P(A\cup B)=\frac{n_a+n_b}{n}=\frac{n_a}{n}+\frac{n_b}{n}$

$\therefore$ $P(A\cup B)$ = P(A)+P(B). (প্রমানিত)

কোন পরীক্ষায় একটা ঘটনার স্বপক্ষের ফলাফল হলো ঘটনার অনুকূল ফলাফল। যেমন: একটি ছক্কা নিক্ষেপে জোড় সংখ্যা পাওয়ার অনুকূল ফলাফল 1 টি । একটি মুদ্রা নিক্ষেপে হেড পাওয়ার অনুকূল ফলাফল 1 টি।

একটি ছক্কা নিক্ষেপে নমুনা বিন্দু 1, 2, 3, 4, 5 ও 6 এবং একটি মুদ্রা নিক্ষেপে নমান বিন্দু : H ও T.

$\therefore$ এক্ষেত্রে একটি ছক্কা ও একটি মুদ্রা নিক্ষেপে নমুনাক্ষেত্র,

S = {1H, 1T, 2H, 2T, 3H, 3T, 4H, 4T, 5H, 5T, 6H, 6T) = 12টি

$\therefore$ মোট নমুনা বিন্দু 12টি।

আমরা জানি, একটি ছক্কা n বার নিক্ষেপে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা 6ⁿ এবং একটি মুদ্রা n বার নিক্ষেপে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা 2ⁿ.

$\therefore$ একটি ছক্কা ও দুইটি মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপে নমুনা বিন্দুর সংখ্যা ,

$6^n \times 2^n =6^1\times 2^2 = 6 \times 4 = 24$ টি

নির্ণেয় নমুনা বিন্দু 24টি।

তিনটি এক টাকার নিরপেক্ষ মুদ্রা নিক্ষেপে নমুনা বিন্দু $=2^n=2^3=8$ টি

আবার, পাঁচ টাকার চারটি মুদ্রা নিক্ষেপে নমুনা বিন্দু $=2^n=2^4=16$ টি

$\therefore$ এক টাকার মুদ্রা নিক্ষেপে নমুনা বিন্দু 8 টি ও পাঁচ টাকার মুদ্রা নিক্ষেপে নমুনা বিন্দু 16টি।

একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা দুইবার ও একটি নিরপেক্ষ ছক্কার গুটি একবার নিক্ষেপ করা হলে নমুনাক্ষেত্রটি, S= {HH1, HH2, HH3, HH4, HH5, HH6, HTI, HT2, HT3, HT4, HTS, HT6, TH1, TH2, ΤΗ3, ΤΗ4, TH5, TH6, TTI, TT2, TT3, TT4, TT5, TT6} নমুনাক্ষেত্রে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 24টি।

দুইটি হেড ও একটি ছয় উঠার অনুকূল ফলাফল 1 টি । যথা : HH6 নির্ণেয় সম্ভাবনা $= \frac{1}{24} .$

থলেতে কালো মার্বেল = 8টি

লাল মার্বেল = 6টি

সাদা মার্বেল = 10টি

$\therefore$থলেতে মোট মার্বেল = (8+6+10) টি = 24টি

$\therefore$ 24টি মার্বেল হতে ।টি মার্বেল নির্বাচন করা যাবে 24টি উপায়ে।

সুতরাং, 24টি উপায়ে মার্বেলটি নির্বাচন করা যাবে।

থলেতে মোট বলের সংখ্যা 15টি। দৈবভাবে একটা বল নেয়া হলে 15টি বলের যেকোনো একটি আসতে পারে। সুতরাং সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল = 15।

ধরি, লাল বল হওয়ার ঘটনা । থলেতে মোট এটি লাল বল আছে। এদের যেকোনো একটি আসলেই লাল বল হবে। সুতরাং লাল বলের অনুকূল ফলাফল = 4।

P(R) = লাল বলের অনুকূল ফলাফল / সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল  = $\frac{4}{15}$

ঝুড়িতে মোট বল আছে (10 + 12 + 8)টি = 30টি

এদের মধ্যে সাদা বল আছে 10 টি

$\therefore$ বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা $= \frac{10}{30}= \frac{1}{3}$

ঝুড়িতে নীল বল আছে ১২টি।

$\therefore$ বলটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা $= \frac{12}{30}=\frac{2}{5}$

$\therefore$ বলটি সাদা বা নীল হওয়ার সম্ভাবনা $= \frac{1}{3}+ \frac{2}{5}=\frac{5 + 6}{15}=\frac{11}{15}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা $\frac{11}{15}$

বাক্সে মোট মার্বেল আছে (10 + 18 + 5) টি = 33টি

বাক্সে কালো মার্বেল আছে = 5 টি

$\therefore$ মার্বেলটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা $=\frac{5}{33}$

$\therefore$ মার্বেলটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা $= 1 - \frac{5}{33}=\frac{33 - 5}{33}= \frac{28}{33}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা : $\frac{28}{33}$

থলেতে নীল বল 12টি, সাদা বল 16টি এবং কালো বল 38টি।

$\therefore$ থলেতে মোট বল = 12 + 16 + 38 = 66টি।

বলটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা $=\frac{12}{66}= \frac{2}{11}$

$\therefore$ বলটি নীল না হওয়ার সম্ভাবনা  $= 1-\frac{2}{11}=\frac{11 - 2}{11}=\frac{9}{11}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা $\frac{9}{11}$

থলেতে মোট বলের সংখ্যা = (3 + 5 + 7) টি = 15টি

দৈবভাবে একটি বল তুললে 15টি বলের যেকোনো একটি. আসতে পারে।

ধরি, সাদা বল হওয়ার ঘটনা W। থলেতে মোট 5টি সাদা বল আছে।

P(W) = সাদা বলের অনুকূল ফলাফল / সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল = $\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা $\frac{1}{3}$

ঝুড়িতে মোট বল আছে (16 + 3 + 6)টি = 25টি

দৈবভাবে একটি বল তুললে 15টি বলের যে কোনো একটি আসতে পারে। সুতরাং সম্ভাব্য সমগ্র ফলাফল 25।

ধরি, কালো বল হওয়ার ঘটনা B। ঝুড়িতে মোট 6টি কালো বল আছে। এদের যেকোনো একটি আসলেই কালো বল হবে। সুতরাং কালো বলের অনুকূল ফলাফল = 6।

P(B) = কালো বলের অনুকূল ফলাফল / সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল = $\frac{6}{25}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা $\frac{6}{25}$

থলেতে মোট বল আছে (10 + 14 + 18) টি = 42টি

এদের মধ্যে নীল বল আছে 10টি।

বলটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা $=\frac{10}{42}=\frac{5}{21}$

বলটি নীল না হওয়ার সম্ভাবনা $= 1 - \frac{5}{21}-\frac{21 - 5}{21}=\frac{16}{21}$

থলেতে মোট মার্বেল আছে  = (10 + 5 + 4 + 6) টি = 25 টি

এদের মধ্যে হলুদ মার্বেল আছে 6টি।

$\therefore$ মার্বেলটি হলুদ হওয়ার সম্ভাবনা $=\frac{6}{25}$

আবার, থলেতে কালো মার্বেল আছে 5 টি

মার্বেলটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা $=\frac{5}{25}= \frac{1}{5}$

মার্বেলটি হলুদ বা কালো হওয়ার সম্ভাবনা $=\frac{6}{25}+ \frac{1}{5}=\frac{6 + 5}{25}= \frac{11}{25}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা $\frac{11}{25}$

থলেতে মোট বল আছে = (5 + 4 + 6)টি = 15টি

এদের মধ্যে লাল বল আছে 5 টি।

$\therefore$ পুনঃস্থাপন না করে একটি বল পরপর তিনবার উঠানো হলে বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা $= \frac{5}{15}\times \frac{5}{15}\times \frac{5}{15}= \frac{1}{27}.$

বক্সে মোট মার্বেল আছে (10 + 12 + 8)টি = 30টি

এদের মাঝে কালো বল 8টি, প্রতিস্থাপন না করলে প্রতিবার 1 টি করে কালো বল কমবে।

বলটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা $\frac{8}{30}\times \frac{7}{29}\times \frac{6}{28}\times \frac{5}{27}$ = $\frac{2}{783}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা $\frac{2}{783}$

লটারিতে মোট টিকেট বিক্রি হয়েছে 300টি

লটারিতে ফারিয়া টিকেট কিনেছে 30টি

প্রতিস্থাপন না করে একটি করে পরপর তিনটি টিকেট তোলা হলে ,

সবগুলো (তিনটি) টিকেট ফারিয়ার হওয়ার সম্ভাবনা $\frac{30}{300}\times \frac{29}{299}\times \frac{28}{298}$ = $\frac{24360}{26730600}$ = $\frac{203}{222755}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা $\frac{203}{222755}$

মনে করি, কোনো দৈব পরীক্ষায় মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = n.

এই পরীক্ষায়, কোনো ঘটনা ঘটার অনুকূল ফলাফলের সর্বনিম্নমান = 0

ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা = $\frac{0}{n}=0$

আবার, ঐ ঘটনা ঘটার অনুকূল ফলাফলের সর্বোচ্চমান = n

ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা = $\frac{n}{n}=1$

এ কারণে কোনো ঘটনা ঘটার সম্ভাবনার মান 0 থেকে 1 এর মধ্যে সীমাবদ্ধ। (দেখানো হলো)

ধরি, কোনো নমুনাক্ষেত্র S-এর মধ্যে A একটি ঘটনা।

নমুনাক্ষেত্রের মোট ফলাফল সংখ্যা = n

A ঘটনার অনুকূল ফলাফল সংখ্যা = m

P(A)= A ঘটনার অনুকূল ফলাফল সংখ্যা / নমুনাক্ষেত্রের মোট ফলাফল সংখ্যা = $\frac{m}{n}$

A ঘটনাটি এমন হতে পারে যে,

(i) A-এর অনুকূলে কোনো ফলাফল নেই। অর্থাৎ, m = 0

(ii) নমুনাক্ষেত্রের সকল ফলাফল A-এর অনুকূলে। অর্থাৎ, m = n .

(iii) নমুনাক্ষেত্রের কিছু ফলাফল A-এর অনুকূলে। অর্থাৎ, 0 < m < n

সুতরাং, ইহা স্পষ্টত যে, m-এর মান 0 থেকে n-এর মধ্যে থাকবে।

অর্থাৎ, $0 \le m \le n$

বা, $\frac{0}{0} \le \frac{m}{n}\le \frac{n}{n}$

$\therefore$ $0 \le P\left(A\right) \le 1$ (দেখানো হলো)

একটি ছক্কা নিক্ষেপের সম্ভাব্য ফলাফর : 1, 2, 3, 4, 5, 6

$\therefore$ মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 6টি

ছক্কা নিক্ষেপে 2 এর গুণিতক সংখ্যা আসা এমন অনুকূল ফলাফল সংখ্যা = 3টি । যথা : 2, 4, 6

ছক্কা নিক্ষেপে 2 এর গুণিতক সংখ্যা আসার সম্ভাবনা $=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা $\frac{1}{2}$

একটি নিরপেক্ষ ছক্কা একবার নিক্ষেপে সম্ভাব্য ফলাফল : 1, 2, 3, 4, 5, 6

$\therefore$ মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 6 টি।

বিজোড় সংখ্যা এবং মৌলিক সংখ্যা এমন অনুকূল ফলাফল সংখ্যা 2 টি। যথা: 3, 5

বিজোড় সংখ্যা এবং মৌলিক সংখ্যা ওঠার সম্ভাবনা = $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপের সম্ভাব্য ফলাফল : 1, 2, 3, 4, 5, 6

$\therefore$ মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 6টি।

জোড় সংখ্যা আসার অনুকূল ফলাফল সংখ্যা : 3 টি। যথা : 2, 4, 6

জোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা = $\frac{3}{5}=\frac{1}{2}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা $\frac{1}{2}$

একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপের সম্ভাব্য ফলাফল : 1, 2, 3, 4, 5, 6

নমুনাক্ষেত্রে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 6টি।

ছক্কায় মৌলিক সংখ্যা আসার অনুকূল ফলাফল = 3 টি। যথা : 2, 3, 5

ছক্কায় মৌলিক সংখ্যা আসার সম্ভাবনা = $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা $\frac{1}{2}$

একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে সম্ভাব্য ফলাফল : 1, 2, 3, 4, 5, 6

মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 6 টি।

বিজোড় সংখ্যা অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = 4টি। যথা: 1, 3, 5, 6

বিজোড় সংখ্যা অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার সম্ভাবনা = $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা $\frac{2}{3}$

ছক্কা নিক্ষেপের সম্ভাব্য ফলাফল: 1, 2, 3, 4, 5, 6

মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 6 টি

ছক্কা নিক্ষেপে জোড় অথবা মৌলিক সংখ্যা = 5 টি। যথা : 2, 3, 4, 5, 6

$\therefore$ ছক্কা নিক্ষেপে জোড় অথবা মৌলিক সংখ্যা আসার সম্ভাবনা = $\frac{5}{6}$

একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফল : 1, 2, 3, 4, 5, 6

মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 6টি।

সংখ্যাটি বিজোড় অথবা 5 দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার অনুকূল ফলাফল = 3 টি। যথা: 1, 3, 5

সংখ্যাটি বিজোড় অথবা 5 দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা $\frac{1}{2}$

একটি নিরপেক্ষ ছক্কা একবার নিক্ষেপের সম্ভাব্য ফলাফল : 1, 2, 3, 4, 5, 6

$\therefore$ মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 6 টি।

ছক্কা নিক্ষেপে ও অথবা ও এর চেয়ে বড় সংখ্যা = 4টি। যথা : 3, 4, 5, 6

ছক্কা নিক্ষেপে ও অথবা 3 এর চেয়ে বড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা = $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা $\frac{2}{3}$

ছক্কা নিক্ষেপের সম্ভাব্য ফলাফল : 1, 2, 3, 4, 5, 6

$\therefore$ মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 6 টি।

ছক্কা নিক্ষেপে মৌলিক এবং জোড় সংখ্যা = 1 টি। যথা : 2

$\therefore$ ছক্কা নিক্ষেপে মৌলিক এবং জোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা =$\frac{1}{6}$

একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফল : 1, 2, 3, 4, 5, 6

∴ মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা  = 6টি।

জোড় এবং তিন এর গুণিতক সংখ্যা = 1 টি। যথা : 6

∴ জোড় এবং তিন এর গুণিতক সংখ্যা আসার সম্ভাবনা = $\frac{1}{6}$

নির্ণেয় জোড় এবং তিন এর গুণিতক সংখ্যা আসার সম্ভাবনা  $\frac{1}{6}$

একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপে সম্ভাব্য ফলাফল : 1, 2, 3, 4, 5, 6

∴ মোট নমুনাবিন্দু 6 টি

মৌলিক সংখ্যা বা ও দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা উঠার অনুকূল সম্ভাবনা 4টি।  যথা: 2, 3, 5, 6

মৌলিক সংখ্যা বা ও দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা $\frac{2}{3}$

দুইটি ছক্কা নিক্ষেপের সম্ভাব্য ফলাফল = 6 $\times$ 6 = 36টি

উপরের পিঠে একই ফলাফল আসার অনুকূল ফলাফল {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) }= ৩টি

উপরের পিঠে একই সংখ্যা না আসার সম্ভাবনা = $1-\frac{6}{36}$ = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$

একটি ছক্কা নিক্ষেপের সম্ভাব্য ফলাফল: 1, 2, 3, 4, 5,6

$\therefore$ মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 6

জোড় সংখ্যা অথবা বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার অনুকূল ফলাফল 6 টি।  যথা : 1, 2, 3, 4, 5, 6

$\therefore$ জোড় সংখ্যা অথবা বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{6}{6}=1$

নির্ণেয় সম্ভাবনা 1.

ছক্কা নিক্ষেপে সম্ভাব্য ফলাফল: 1, 2, 3, 4, 5, 6

মোট নমুনা বিন্দু 6টি।

2 বা 3. দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সংখ্যা 4টি। যথা: 2, 3, 4, 6

2 বা 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার সম্ভাবনা = $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা $\frac{2}{3}$

দুটি মুদ্রা একত্রে একবার নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফল : HH, HT, ΤΗ, TT

$\therefore$ মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 4টি

উভয় মুদ্রায় H আসার অনুকূল ফলাফল = 1 টি। যথা: HH

$\therefore$ উভয় মুদ্রায় H আসার সম্ভাবনা = $\frac{1}{4}$

নির্ণেয় সম্ভারনা : $\frac{1}{4}$

দুইটি মুদ্রা নিক্ষেপের সম্ভাব্য ফলাফল : HH, HT, TH, TT

$\therefore$ মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 4টি।

দুইটি মুদ্রা নিক্ষেপে বড়জোর দুইটি টেল আসার অনুকূল ফলাফল = 4 টি। যথা : HH, HT, TH, TT

$\therefore$ P (বড়জোর দুইটি টেল আসার) = $\frac{4}{4}=1$

নির্ণেয় সম্ভাবনা 1.

একটি মুদ্রাকে দুইবার নিক্ষেণ সম্ভাব্য ফলাফল : HH, HT, TH, TT

নমুনাক্ষেত্রে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 4টি।

কমপক্ষে একটি টেল আসবে এমন অনুকূল ফলাফল = 3টি। যথা: HT, TH, TT

∴ কমপক্ষে একটি টেল আসার সম্ভাবনা = $\frac{3}{4}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা : $\frac{3}{4}$

দুটি মুদ্রা নিক্ষেপের ফলে সম্ভাব্য ফলাফল : HH, HT, TH, TT

∴ মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 4টি

কমপক্ষে একটি IH আসার অনুকূল ফলাফল = 3টি। যথা: HH, HT, TH.

∴ কমপক্ষে একটি H আসার সম্ভাবনা = $\frac{3}{4}$

একটি মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপে সম্ভাব্য ফলাফল : HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT

$\therefore$ মোট নমুনা বিন্দু = ৪ টি

কমপক্ষে একটি হেড পাওয়ার অনুকূল ফলাফল : {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH} = 7টি

$\therefore$ কমপক্ষে একটি হেড (H) পাওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{7}{8}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা : $\frac{7}{8}$

বাক্সের লটারির টিকেট এর ক্রমিক সংখ্যাগুলো হলো : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

বাক্সে মোট লটারির টিকিট = 20টি।

টিকিটের ক্রমিক সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য না হওয়ার অনুকূল ফলাফল = 18টি।

যথা: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20

টিকিটের ক্রমিক সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য না হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{18}{20}=\frac{9}{10}$

1 থেকে 30 পর্যন্ত সংখ্যাগুলো হলো: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 ।

মোট সংখ্যা = 30টি।

দৈবভাবে উঠানো সংখ্যাটি জোড় বা 6 এর গুণিতক হওয়ার অনুকূল ফলাফল = 15টি। যথা: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 ।

দৈবভাবে উঠানো সংখ্যাটি জোড় বা 6 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$

প্রথম 25টি স্বাভাবিক সংখ্যা: 1, 2, 3, 4, 5 ______25 = 25টি

এদের মধ্যে পূর্ণবর্গ সংখ্যা 5 টি। যথা: 1, 4, 9, 16, 25

পূর্ণবর্গ সংখ্যা আসার সম্ভাবনা = $\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা $\frac{1}{5}$

11 থেকে 20 পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো হলো : 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

মোট সংখ্যা = 10

2 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা : 12, 14, 16, 18, 20

এবং ও দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা : 12, 15, 18

∴ 2 অথবা 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা : { 12, 14, 16, 18, 20 }$\cup${12, 15, 18} = {12, 14, 15, 16, 18, 20} = 6 টি

∴ P(সংখ্যাটি 2 অথবা 3 দ্বারা বিভাজ্য)= $\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা :$\frac{3}{5}$

1 হতে 10 পর্যন্ত মোট সংখ্যা = 10

এদের মধ্যে মৌলিক সংখ্যা হলো : 2, 3, 5, 7, 4টি

সংখ্যাটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা $\frac{2}{5}$

11 থেকে 21 পর্যন্ত মোট সংখ্যা = (21-11)+1-10 + 1 = 11 টি

মৌলিক সংখ্যা: 11, 13, 17, 19 = 4টি

সংখ্যাটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{4}{11}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা $\frac{4}{11}$

প্রথম 20টি স্বাভাবিক সংখ্যা : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 = 20টি।

এদের মধ্যে পূর্ণবর্গ সংখ্যা = 1, 4, 9, 16 = 4 টি

পূর্ণবর্গ হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা : $\frac{1}{5}$

10 থেকে 21 পর্যন্ত সংখ্যাগুলো : 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21

মোট নমুনা বিন্দু = 12টি

এদের মধ্যে মৌলিক সংখ্যা 4টি। যথা: 11, 13, 17, 19

10 থেকে 21 পর্যন্ত সংখ্যা থেকে একটি সংখ্যা চয়ন করলে সংখ্যাটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা : $\frac{1}{3}$

কোনো পরীক্ষায় যে ঘটনা অবশ্যই ঘটবে একে নিশ্চিত ঘটনা বলে। নিশ্চিত ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার মান 1 হয়। যেমন, আগামীকাল সূর্য পূর্ব দিকে উঠার সম্ভাবনা 1, আজ সূর্য পশ্চিম দিকে অস্ত যাবে এর সম্ভাবনাও 1 । রাতের বেলায় সূর্য দেখা যাবে না, এর সম্ভাবনা 1 । একটা মুদ্রা নিক্ষেপ পরীক্ষায় H অথবা T আসার সম্ভানাও 1 । একটা ছক্কা নিক্ষেপ পরীক্ষায় জোড় অথবা বিজোড় সংখ্যা আসার সম্ভানাও 1 ।

কোনো পরীক্ষায় যে ঘটনা কখনো ঘটবে না অর্থাৎ ঘটতে পারে না একে অসম্ভব ঘটনা বলে। অসম্ভব ঘটনার সম্ভাবনা সব সময় শূন্য হয়। যেমন আগামীকাল সূর্য পশ্চিম দিক থেকে উঠবে অথবা পূর্বদিকে অস্ত যাবে এর সম্ভাবনা শূন্য। তেমনি রাত্রে সূর্য দেখা যাবে এর সম্ভাবনাও শূন্য। আবার একটা ছক্কা নিক্ষেপে 7 আসার সম্ভাবনাও শূন্য।

একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে অনুকূল ফলাফল: 1, 2, 3, 4, 5, 6

মোট নমুনাবিন্দুর সংখ্যা = 6 টি ।

ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা আসার অনুকূল ফলাফল 3টি। যথা : 1, 3, 5

ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা = $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

আবার, ছক্কায় 2 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার অনুকূল ফলাফল = 3 টি। যথা : 2, 4, 6

ছক্কায় 2 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার সম্ভাবনা $= \frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

এখন, P(ছক্কায় বিজোড় অথবা 2 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা) $= \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}=\frac{1 + 1}{2}= \frac{2}{2}= 1$

একটি মুদ্রা দুইবার নিক্ষেপে সম্ভাব্য ফলাফল HH, HT, TH, TT

মোট নমুনা বিন্দু = 4টি।

কমপক্ষে তিনটি H পাওয়ার অনুকূল ঘটনা = 0

কমপক্ষে তিনটি H পাওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{0}{4}=0$

সম্ভাবনা মান 0, তাই ইহা একটি অসম্ভব ঘটনা

নির্ণেয় সম্ভাবনা 0.

একটি ছক্কা নিক্ষেপে সম্ভাব্য ফলাফল : 1, 2, 3, 4, 5, 6

6 অপেক্ষা বড় সংখ্যা পাওয়ার অনুকূল ফলাফল = 0

সম্ভাবনা = $\frac{0}{6}=0$

সম্ভাবনার মান 0, তাই ইহাই একটি অসম্ভব ঘটনা

নির্ণেয় সম্ভাবনা 0.

ঝুড়িতে সাদা বল আছে 10 টি

              লাল বল আছে 20টি

              মোট বল আছে 30টি

পরপর তিনটি বল তুলে নেওয়া হলে অন্তত একটি রংয়ের বল পুনরাবৃত্তি হবে। অর্থাৎ তিনটি বল ভিন্ন বর্ণের হওয়া অসম্ভব ঘটনা।

যেহেতু অসম্ভব ঘটনার মান 0 ।

$\therefore$ সবগুলো বল ভিন্ন বর্ণের হওয়ার সম্ভাবনা 0 ।

ঝুড়িতে লাল বল আছে = 10টি

          কালো বল আছে= 12টি

            নীল বল আছে = 8টি

            মোট বল আছে= 30টি

বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{0}{30}$ [ঝুড়িতে কোন সাদা বল নেই]

সম্ভাবনার মান 0 এবং ঝুড়িতে সাদা বল না থাকায় ইহা অসম্ভব ঘটনা।

নির্ণেয় সম্ভাবনা 0।

একটি মুদ্রা নিক্ষেপে সম্ভাব্য ফলাফল : H, T

$\therefore$ নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 2

H বা T আসার অনুকূল ফলাফল: H, T = 2টি

$\therefore$ সম্ভাবনা = $\frac{2}{2}=1$

নির্ণেয় সম্ভানা 1

50 থেকে 60 পর্যন্ত সংখ্যাগুলো 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60 = 11 টি

50 থেকে 60 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে পূর্ণবর্গ সংখ্যা = 0 টি

∴ সম্ভাবনা = $\frac{0}{11}=0$

নির্ণেয় সম্ভাবনা 0।

দুইটি মুদ্রা নিক্ষেপে সম্ভাব্য ফলাফল {HH, HT, TH, TT} = 4টি

কমপক্ষে 1 টি H বা কমপক্ষে 1 টি T থাকার অনুকূল ফলাফল = {HH, HT, TH} $\cup${HT, TH, TT} = {HH, HT, TH, TT} = 4টি

$\therefore$ সম্ভাবনা = $\frac{4}{4}$= 1

নির্ণেয় সম্ভাবনা 1.

তথ্যভিত্তিক সম্ভাবনা হলো একটি ধারণা, যেখানে তথ্যের ওপর ভিত্তি করে ভবিষ্যৎ ফলাফল বা ঘটনা সম্পর্কে পূর্বাভাস দেওয়া হয়। যা গাণিতিক ও যৌক্তিক পদ্ধতি এবং যা নির্দিষ্ট ডেটার ওপর ভিত্তি করে সম্ভাবনার মান নির্ধারণ করে। যেমন, আবহাওয়ার পূর্বাভাস, ব্যবসায়িক সিদ্ধান্ত, মেডিক্যাল রিসার্চ ইত্যাদি।

যেহেতু জুলাই মাস 31দিন এবং জুলাই মাসে 21 দিন বৃষ্টি হয়েছে। তাহলে যেকোনো একদিন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা $\frac{21}{31}$

অতএব 8 জুলাই-বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা $\frac{21}{31}$.

আমরা জানি, সেপ্টেম্বর মাস 30 দিন।

যেহেতু সেপ্টেম্বর মাসে কোনো শহরে 12 দিন বৃষ্টি হয়েছে।

সুতরাং সেপ্টেম্বর মাসে যেকোনো একদিন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{12}{30}$

অর্থাৎ, 5 সেপ্টেম্বর বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{12}{30}$

5 সেপ্টেম্বর বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = $1-\frac{12}{30}$ = $\frac{30-12}{30}=\frac{3}{5}$

সুতরাং, 5 সেপ্টেম্বর বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা $\frac{3}{5}$

আমরা জানি, আগস্ট মাস 31 দিন।

যেহেতু আগস্ট মাসে কোনো শহরে 12 দিন বৃষ্টি হয়েছে।

সুতরাং, আগস্ট মাসে যেকোনো একদিন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{12}{31}$

অর্থাৎ, 5 আগস্ট বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা =$\frac{12}{31}$

5 আগস্ট বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = $1-\frac{12}{31}=\frac{31-12}{31}=\frac{19}{31}$

সুতরাং, 5 আগস্ট বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা $\frac{19}{31}$

মোট বসবাসকারী জনসংখ্যা = 7500000 জন

পুরুষের সংখ্যা = (7500000-1500000-3500000) = 2500000 জন

পুরুষ হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{2500000}{7500000}=\frac{1}{3}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা : $\frac{1}{3}$

শহরের মোট্ট লোক = 80 লক্ষ

এদের মধ্যে নারী ও শিশু রয়েছে = (35 + 15) = 50 লক্ষ

$\therefore$ পুরুষের সংখ্যা = (80-50) লক্ষ = 30 লক্ষ

$\therefore$ পুরুষ হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{30}{80}=\frac{3}{8}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা $\frac{3}{8}$

MATHEMATICS শব্দটিতে-

M আছে 2 টি,
A আছে 2 টি,
T আছে 2 টি,
H আছে 1 টি,
E আছে 1 টি,
I আছে 1 টি,  
C আছে 1 টি,
S আছে 1 টি

মোট বর্ণ 11 টি

বর্ণটি T হওয়ার সম্ভাবনা  =$\frac{2}{11}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা $\frac{2}{11}$

অর্থাৎ 2024 সালটি অধিবর্ষ ছিল। তাই ফেব্রুয়ারি মাস 29 দিনের ছিল।

$\therefore$ 14 ফেব্রুয়ারি বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{5}{29}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা $\frac{5}{29}$

Probability tree একটি চিত্র বা ডায়াগ্রামের মাধ্যমে বিভিন্ন ঘটনা এবং তাদের সম্ভাবনা দেখানোর একটি পদ্ধতি। এটি বিশেষত বহুপদ সংযুক্ত ঘটনা বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়। Probability tree এর মাধ্যমে গাণিতিক বিশ্লেষণ সহজে হিসাব করা যায়। এটি ধাপে ধাপে ঘটনা ও সম্ভাবনা দেখায়। যৌগিক ঘটনা বিশ্লেষণে একাধিক স্তরের ফলাফল Probability tree ব্যবহার করে খুব সহজে সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করা যায়।

Probability tree এর 4টি বৈশিষ্ট্য নিম্নরূপ :
১। এটি শাখা-প্রশাখার মতো কাঠামোতে সম্ভাবনা উপস্থাপন করে'।
২। প্রতিটি শাখায় নির্দিষ্ট ফলাফল ও এর সম্ভাবনা থাকে।
৩। নমুনাক্ষেত্রের সম্ভাব্য ফলাফলগুলো দৃশ্যমান ভাবে উপস্থাপন করা থাকে।
৪। শেষ পর্যন্ত শাখাগুলোর সম্ভাবনার যোগফল 1 হয়।

একটি মুদ্রা দুইবার নিক্ষেপকে দুই ধাপ বিবেচনা করি। মুদ্রা নিক্ষেপের প্রতি ধাপে দুইটি ফলাফল {H, T} আসতে পারে। পরীক্ষার মোট ফলাফলকে Probability tree এর সাহায্যে দেখানো হলো:

একটি মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ পরীক্ষাকে তিনটি ধাপ হিসেবে বিবেচনা করি। মুদ্রা নিক্ষেপের প্রতি ধাপে দুইটি ফলাফল {H, T} আসতে পারে।

অতএব, একটি মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপে তৈরিকৃত নমুনাক্ষেত্রটি হলো: S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

একটি মুদ্রা দুইবার নিক্ষেপ করলে নমুনাক্ষেত্রটি হবে নিম্নরূপ :

নমুনাক্ষেত্র, S = {HH, HT, TH, TT}

মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 4টি।

উভয় ক্ষেত্রে একই ফলাফল আসা এমন অনুকূল ফলাফল = 2টি। যথা: HH, TT

উভয় ক্ষেত্রে একই ফলাফল আসার সম্ভাবনা = $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা $\frac{1}{2}$

একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে নমুনাক্ষেত্রটি হবে নিম্নরূপ :

নমুনাক্ষেত্রটি হলো :

S = {IH, IT, 2H, 2T, 3H, 3T, 4H, 4T, SH, 5T, 6H, 6T}

$\therefore$ মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 12টি।

ছক্কায় 6 এবং মুদ্রায় T আসার এমন অনুকূল ফলাফল 1 টি। যথা : 6T

$\therefore$ ছক্কায় 6 এবং মুদ্রায় T আসার সম্ভাবনা = $\frac{1}{12}$

একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা নিক্ষেপের Probability tree :

একটি ছক্কা ও একটি মুদ্রা নিক্ষেপের Probability tree নিচে আঁকা হলো:

সম্ভাবনার মাধ্যমে Probability tree এর সাহায্যে তথ্যগুলো নিচে দেখানো হলো:

সম্ভাবনার মাধ্যমে Probability tree নিচে অঙ্কন করা হলো :

দুটি ছক্কা একসাথে একবার নিক্ষেপ করে সম্ভাব্য ঘটনার Probability tree নিচে দেওয়া হলো:

দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে নমুনাক্ষেত্রটি হবে নিম্নরূপ :

দুইটি ছক্কায় প্রাপ্ত সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি 10 অপেক্ষা বড় হওয়া অনুকূ ফলাফল সংখ্যা= 3টি।

যথা: (5,6), (6, 5), (6,6)

তিনটি মুদ্রা একত্রে একবার নিক্ষেপ পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্র,

S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH., TTT}

$\therefore$ মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 8 টি।

মুদ্রা তিনটিতে একই ফলাফল আসার অনুকূল ফলাফল = 2টি। যথা : HHH, TTT

$\therefore$ মুদ্রা তিনটিতে একই ফলাফল আসার সম্ভাবনা = $\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$

নির্ণেয় সম্ভাবনা $\frac{1}{4}$

একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা ও দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপে Probability tree নিম্নরূপ :

একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা দুইবার ও একটি নিরপেক্ষ ছক্কার গুটি একবার নিক্ষেপ করা হলে নমুনাক্ষেত্রটি, S = {HH1, HH2, HH3, HH4, HH5, HH6, HTI, HT2, HT3, HT4, HTS, HT6, THI, TH2, TH3, TH4, TH5, TH6, TT1, 1T2, TT3, TT4, TT5, TT6} নমুনাক্ষেত্রে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা =24 টি।

দুইটি হেড ও একটি ছয় উঠার অনুকূল ফলাফল = 4টি। যথা : HH6

নির্ণেয় সম্ভাবনা = $\frac{1}{24}$

একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একসাথে নিক্ষেপ পরীক্ষায় নমুনাক্ষেত্র S নিম্নরূপ:

নমুনাক্ষেত্রে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 12টি।

মুদ্রায় H এবং ছক্কায় জোড় সংখ্যা পাওয়ার অনুকূল ফলাফল = 3টি। যথা: H2, H4, H6

মুদ্রায় H এবং ছক্কায় জোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$