সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

পেন্সিল কম্পাসের সাহায্যে ∠BAD = 30° অঙ্কন করা হলো।

স্কেল ও কম্পাস ব্যবহার করে ∠ BAD = 45° অঙ্কন করা হলো।

পেন্সিল কম্পাসের সাহায্যে ∠ABC = 60° আঁকা হলো।

পেন্সিল কম্পাসের সাহায্যে ∠AOC = 75° কোণ অঙ্কন করা হলো।

স্কেল ও কম্পাসের সাহায্যে ∠AOD = 105° অঙ্কন করা হলো।

স্কেল ও কম্পাসের সাহায্যে ∠AOB = 120° অঙ্কন করা হলো।

AB রেখাংশকে পেন্সিল কম্পাসের সাহায্যে সমান তিনভাগে ভাগ করা হলো।

এখানে, AE = EF = FB = $\frac{AB}{3}$

AD = 10 সে.মি. রেখাংশকে পেন্সিল কম্পাসের সাহায্যে সমান তিনভাগে ভাগ করা হলো।

এখানে, AB = BC = CD = $\frac{10}{3}$ সে.মি.।

সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য $= \frac{45}{3}= 15$

$\therefore$ 2x + 3 = 15

বা, 2x = 15 - 3 = 12

বা, $x = \frac{12}{2 }= 6$

নির্ণেয় মান : x = 6 সে.মি.।

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতিত কোণদ্বয়ের যোগফল 1 সমকোণ বা 90°

$\therefore$ 5x + 13x = 90°

বা, 18x = 90°

বা, $x=\frac{90°}{18}$

$\therefore$ x = 5°

নির্ণেয় মান : x = 5°

সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কনের জন্য দুই ধরনের উপাত্ত নিম্নরূপ :
১. একটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে সমবাহু ত্রিভুজ আঁকা যায়।
২. পরিসীমা দেওয়া থাকলে সমবাহু ত্রিভুজ আঁকা যায়।

কমপক্ষে তিনটি উপাত্ত দেওয়া থাকলে একটি ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব। তা হলো:
১. তিনটি বাহু (উপাত্ত তিনটি)
২. দুইটি বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ (উপাত্ত তিনটি)
৩. দুইটি কোণ ও তাদের সংলগ্ন বাহু (উপাত্ত তিনটি)
৪. দুইটি কোণ ও একটির বিপরীত বাহু (উপাত্ত তিনটি)
৫. দুইটি বাহু ও তাদের একটির বিপরীত কোণ (উপাত্ত তিনটি)
৬. সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও অপর একটি বাহু (উপাত্ত তিনটি)
অর্থাৎ সর্বক্ষেত্রেই তিনটি উপাত্ত প্রয়োজন।

নিম্নবর্ণিত উপাত্ত জানা থাকলে সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যায়:
১. সমকোণ সংলগ্ন দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে 'সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যায়।
২. অতিভুজ ও অপর একটি বাহু দেওয়া থাকলে সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যায়।

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের দুই বাহু সমান, তাই সমান বাহুর দৈর্ঘ্য এবং ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব। অর্থাৎ, সমান বাহুর দৈর্ঘ্য এবং অপর বাহুটির দৈর্ঘ্য- এই দুইটি উপাত্ত জানা থাকলে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব।

$\therefore$ কমপক্ষে দুইটি উপাত্ত দেওয়া থাকলে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ আঁকা যায় ।

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,

(ভূমি)^২ + (লম্ব)^২ = (অতিভুজ)^২ ' [পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে]

ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য 3 সে.মি., 4 সে.মি. ও 5 সে.মি. হলে,

$3^2+4^2 = 9+16=25=5^2$

অর্থাৎ, 5 সে.মি. দৈর্ঘ্যের বাহুটি অতিভুজ এবং বাকি দুইটি বাহু হবে ভূমি ও লম্ব। তাই কোণভেদে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ।

সুতরাং, 3 সে.মি., 4 সে.মি. ও 5 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজ অঙ্কন করলে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে।

দুইটি বাহু ও তাদের একটি বিপরীত কোণ দেওয়া থাকলে দুইটি ত্রিভুজ আঁকা যাবে। নিচে তা দেখানো হলো:

মনে করি, ত্রিভুজের দুইটি বাহু a ও b এবং তাদের একটির বিপরীত কোণ ∠x দেওয়া আছে। ত্রিভুজ অঙ্কন করলে দেখা যায়, △ ABC ও △ ABC' দুইটি ত্রিভুজ পাওয়া যায়।

যেহেতু সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ জানা। সেহেতু দুইটি বাহু অথবা একটি কোণ ও একটি বাহু জানলেই তা আঁকা সম্ভব। অতএব, একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকতে কমপক্ষে দুইটি উপাত্তের প্রয়োজন।

তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব। বাহু তিনটি অসমান হলে ত্রিভুজটি. বিষমবাহু ত্রিভুজ হয়। দুইটি সমান বাহু ও একটি অসমান বাহু অর্থাৎ দুই বাহু দেওয়া থাকলে ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হয়। তিন বাহুর দৈর্ঘ্য সমান অর্থাৎ একটি বাহু দেওয়া থাকলে ত্রিভুজটি সমবাহু হয়। কারণ, সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহু সমান।

সুতরাং একটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব।

শুধুমাত্র পরিসীমা দেওয়া থাকলে সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব। কারণ সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান। প্রদত্ত পরিসীমার দৈর্ঘ্যকে সমান তিন ভাগ করে যেকোন এক ভাগের দৈর্ঘ্য নিয়ে সমবাহু ত্রিভুজটি অঙ্কন করা যায়। তাই শুধুমাত্র পরিসীমা. দেওয়া থাকলে সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব।

ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য নির্দিষ্ট থাকলে তাদের বিপরীত কোণের পরিমাপও পরোক্ষভাবে নির্দিষ্ট হয়ে যায়। সুতরাং ত্রিভুজের তিনটি বাহু দেওয়া থাকলে একটি ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমস্টি 180° সমকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ সমকোণ অর্থাৎ 90° হলে বাকি কোণ দুইটির সমস্টি 180° - 90° = 90° হবে। তাই বাকি কোণ দুইটি অবশ্যই 90° এর চেয়ে ছোট হবে। আবার, 90° এর ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে। সুতরাং, বাকি কোণ দুইটি সূক্ষ্মকোণ।

সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ 90° ও অপর দুইটি সূক্ষ্মকোণ এবং এরা পরস্পর সমান।

প্রতিটি সূক্ষ্মকোণের মান = $\frac{180°-90°}{2}$ [ $\because$ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°]

= $\frac{90°}{2}$ = 45°

প্রত্যেক ত্রিভুজের তিনটি বাহু ও তিনটি কোণসহ মোট ছয়টি উপাদান রয়েছে। ত্রিভুজের এই তিনটি বাহু, তিনটি কোণ ও ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের মধ্যে যেসব সম্পর্ক বিদ্যমান সেই সব সম্পর্ক বা বৈশিষ্ট্যকে ত্রিভুজের সাধারণ ধর্ম বা বৈশিষ্ট্য বলা হয়। যেমন : একটি ত্রিভুজের সমস্ত অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টি 180°।

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ ও তিনটি বাহ্ বিদ্যমান। এই ছয়টি উপাদানের মাঝে কোন ত্রিভুজের বাহু সম্পর্কিত নিম্নলিখিত উপাদান অপর ত্রিভুজের অনুরূপ উপাদানের সমান হলে ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম হয়।

১. যেকোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহু অপর একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর সমান হলে, ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম হবে।
২. দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজদ্বয় সমান হলে এবং একটির এক বাহু অপরটির এক বাহুর সমান হলে, ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম হবে।

দুইটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার তিনটি শর্ত:
১. দুইটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু পরস্পর সমান হলে, ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম হবে।
২. দুইটি ত্রিভুজের একটির দুই বাহু যথাক্রমে অপরটির দুই বাহুর সমান হলে এবং বাহু দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ দুইটি পরস্পর সমান হলে, ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম হবে।
৩. দুইটি ত্রিভুজের একটির দুইটি কোণ ও এদের সংলগ্ন বাহু যথাক্রমে অপর একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ ও এদের সংলগ্ন বাহুর সমান হলে, ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম হবে।

ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

5.5+11 = 16.5 > 2.5

11+2.5 = 13.5 > 5.5

2.5+5.5 = 8  $\ngtr$ 11

$\therefore$ 5.5 সে.মি., 11. সে.মি. ও 2.5 সে.মি. বাহুত্রয় দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব নয়।

মনে করি, একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু a, b, c দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

ABC ত্রিভুজ আঁকা হলো যার তিনটি বাহু BC = a, AC = b এবং AB = c.

মনে করি, একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু a = 4 সে.মি., b = 4.5 সে.মি. এবং c = 3.5 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

△ ABC অঙ্কন করা হলো যার বাহু BC = a = 4 সে.মি. , AB = b = 4.5 সে.মি. এবং AC = c = 3.5 সে.মি.।

মনে করি, একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য a = 5 সে.মি. , b = 6 সে.মি. এবং 7 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

△ আঁকা হলো যার তিনটি বাহু BC = a = 5 সে.মি., AC = b = 6 সে.মি. এবং AB = c = 7 সে.মি.।

মনে করি, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু a এবং অপর বাহু b দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি অঙ্কন করতে হবে।

ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলো যার সমান সমান বাহু AB = AC = a এবং অপর বাহু BC = b.

মনে করি, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহু a = 7 সে.মি. এবং অপর বাহু b = 5 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি অঙ্কন করতে হবে।

ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলো যার সমান সমান বাহ্ AB=AC=a=7 সে.মি. এবং অপর বাহু BC=b=5 সে.মি.।

মনে করি, সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ও দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

ABC সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলো যার বাহু AB = BC = AC = a.

মনে করি, সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহ্  a = 3.5 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

ABC সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলো যার বাহু AB = BC = AC = a = 3.5 সে.মি.।

মনে করি, সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা p = 6 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

ABC সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলো যার পরিসীমা AB + BC + AC = p = 6 সে.মি.।

মনে করি, একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহ্ a ও b এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠x দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

△ ABC আঁকা হলো যার দুইটি বাহু BC = a ও AC = b এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠ACB = ∠x.

মনে করি, একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু a = 6 সে.মি. ও  b = 5 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠x = 60° দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

△ ABC অঙ্কন করা হলো যার দুইটি বাহু BC = a = 6 সে.মি. ও AB = b = 5 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠ABC = ∠x=60° .

মনে করি, কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণ ∠x ও ∠y এবং কোণদ্বয় সংলগ্ন বাহু দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

△ ABC আঁকা হলো যার ∠ABC = ∠x, ∠ACB = ∠y এবং কোণদ্বয় সংলগ্ন বাহু BC = a

মনে করি, কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণ ∠x = 70° ও ∠y = 45° এবং কোণদ্বয় সংলগ্ন বাহু 6 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি অঙ্কন করতে হবে।

△ ABC আঁকা হলো যার ∠ABC = ∠x=70° , ∠ACB = ∠y=45° এবং কোণদ্বয় সংলগ্ন বাহু BC =a = 6 সে.মি.।

মনে করি, কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণ ∠x  ও ∠y এবং ∠y এর বিপরীত বাহু a দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

△ ABC আঁকা হলো যার ∠ABC = ∠x, ∠BAC = ∠y এবং ∠BAC এর বিপরীত বাহু BC = a

মনে করি, কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণ ∠x = 60° ও ∠y = 70° এবং ∠y এর বিপরীত বাহু = 5 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি অঙ্কন করতে হবে।

△ ABC আঁকা হলো যার ∠ABC 2x = 60° ও ∠BAC=∠y = 70° এবং ∠BAC এর বিপরীত বাহু BC = a = 5 সে.মি.।

মনে করি, কোন ত্রিভুজের দুইটি বাহু a ও b এবং a বাহুর বিপরীত কোণ ∠x দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

△ ABC বা △ ABC' আঁকা হলো যার AC = AC' = a, AB = b এবং ∠ABC = ∠ABC' = ∠x.

মনে করি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ a এবং অপর একটি বাহু b দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

ABC সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলো যার অতিভুজ AC = a এবং অপর একটি বাহ্ AB = b.

মনে করি, সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = 6 সে.মি. এবং b = 8 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

ABC সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলো যার সমকোণ ∠BAC সংলগ্ন দুইটি বাহু AC=a=6 সে.মি. ও AB=b=8 সে.মি.।

মনে করি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ a = 7 সে.মি. এবং অপর একটি বাহু b = 5 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি অঙ্কন করতে হবে।

ABC সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলো যার অতিভুজ AC = a = 7 সে.মি. এবং অপর একটি বাহু AB = b = 5 সে.মি.।

মনে করি, সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন দুইটি বাহ্  a ও b দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

ABC সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলো যার সমকোণ ∠BAC সংলগ্ন দুইটি বাহু AB = a এবং AC=b

মনে করি, একটি ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন দুইটি কোণ ∠x ও ∠y এবং শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য এ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি অঙ্কন করতে হবে।

△ ABC অঙ্কন করা হলো যার ভূমি সংলগ্ন দুইটি কোণ ∠ABC = ∠x ও ∠ACB = ∠y এবং শীর্ষ A থেকে ভূমি BC এর উপর অঙ্কিত লম্ব AD = d.

মনে করি, একটি ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন দুইটি কোণ ∠x = 60° ও ∠y = 70° এবং শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য d=5 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি অঙ্কন করতে হবে।

△ ABC অঙ্কন করা হলো যার ভূমি সংলগ্ন দুইটি কোণ ∠ABC = 2x = 60° ও ∠ACB = ∠y=70° এবং শীর্ষ A থেকে ভূমি BC এর উপর অঙ্কিত লম্ব AD = d = 5 সে.মি.।

মনে করি, একটি ত্রিভুজের ভূমি a , ভূমিসংলগ্ন একটি কোণ ∠x এবং অপর দুই বাহুর সমষ্টি s দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি অঙ্কন করতে হবে।

△ ABC অঙ্কন করা হলো যার ভূমি BC = a, ভূমিসংলগ্ন একটি কোণ ∠ABC = ∠x এবং অপর দুই বাহুর সমষ্টি AB + AC= BD = s.

চিত্রানুসারে, ∠ACD = ∠ADC

$\therefore$ AC = AD

এখন, BD = AB + AD = AB + AC

$\therefore$ BD বাহুটি AB ও AC এর সমষ্টি নির্দেশ করে।

মনে করি, একটি ত্রিভুজের ভূমি a = 4 সে.মি., ভূমিসংলগ্ন একটি কোণ ∠x = 60° এবং অপর দুই বাহুর সমষ্টি s = 9 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি অঙ্কন করতে হবে।

△ ABC অঙ্কন করা হলো যার ভূমি BC = a = 4 সে.মি., ভূমিসংলগ্ন একটি কোণ ∠ABC = ∠x = 60° ও অপর দুই বাহুর সমষ্টি AB + AC = BD = s = 9 সে.মি.।

মনে করি, কোনো ত্রিভুজের ভূমি a , ভূমিসংলগ্ন সূক্ষ্মকোণ ∠x এবং অপর দুই বাহুর অন্তর' d দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি সুখকন করতে হবে।

△ ABC অঙ্কন করা হলো যার ভূমি 'BC = a, ভূমিসংলগ্ন একটি কোণ ∠ABC = ∠x এবং অপর দুই বাহুর অন্তর AB - AC = BD = d.

মনে করি, কোনো ত্রিভুজের ভূমি a = 6 সে.মি. , ভূমিসংলগ্ন। সূক্ষ্মকোণ ∠x = 30° এবং অপর দুই বাহুর অন্তর d =4.5 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি অঙ্কন করতে হবে।

△ ABC অঙ্কন করা হলো যার ভূমি BC = a = 6 সে.মি., ভূমিসংলগ্ন একটি কোণ ∠ABC = ∠x=30° এবং অপর দুই বাহুর অন্তর AB - AC = BD = d = 4.5 সে.মি.

আমরা জানি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।

ধরি, সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয়ের প্রত্যেকটি x°

শর্তমতে,

x° + x° + 50° = 180° [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°]

বা, 2x° = 180° - 50°

বা, 2x° = 130°

বা, $x^{°}= \frac{{130}^{°}}{2} = {65}^{°}$

$\therefore$ সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয়ের প্রত্যেকটি 65° হলে ত্রিভুজটি আঁকা সম্ভব।

এখানে, △ ABC এ AB = 6.5 সে.মি. এবং AC = 4 সে.মি.।

চিত্রানুসারে, ∠ADC = ∠ACD

$\therefore$ AD = AC = 5 সে.মি.

BD = AB - AD = AB - AC = 6.5 - 4 = 2.5 সে.মি.

নির্ণেয় BD এর দৈর্ঘ্য 2.5 সে.মি.।

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে আমরা জানি,

ভূমি^২ + লম্ব^২ = অতিভুজ^২

বা, 5² + লম্ব^২ =  13²

বা, 25+ লম্ব^২ = 169

বা, লম্ব = $\sqrt{144}$

$\therefore$ লম্ব 12 সে.মি.

$\therefore$ লম্ব 12 সে.মি. হলে সমকোণী ত্রিভুজটি আঁকা সম্ভব।