সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

বাস্তব বা চিন্তা জগতের সু-সংজ্ঞায়িত বস্তুর সমাবেশ বা সংগ্রহ হচ্ছে সেট। যেমন: বাস্তব সংখ্যার সেট, পূর্ণসংখ্যার সেট, প্রথম বিশটি জোড় সংখ্যার সেট ইত্যাদি। সেটকে সাধারণত ইংরেজি বর্ণমালার বড় হাতের অক্ষর A, B, C,......, X, Y, Z দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 1, 2, 3 সংখ্যা তিনটির সেট, A = {1, 2, 3) ।

সেটের প্রত্যেক বস্তু বা সদস্যকে সেটের উপাদান বলা হয়। যেমন, A = (a, b) হলে, A সেটের উপাদান a এবং b । উপাদান  প্রকাশের চিহ্ন $\in$ ।  

$\therefore a \in A$ অর্থাৎ a, A এর সদস্য এবং b $\in$A অর্থাৎ b, A এর সদস্য।

সেট প্রকাশের পদ্ধতি দুইটি। যথা-
(i) তালিকা পদ্ধতি (Roster Method বা Tabular Method),
(ii) সেট গঠন পদ্ধতি (Set Builder Method)

তালিকা পদ্ধতিতে সেটের সকল উপাদান সুনির্দিষ্টভাবে উল্লেখ করে দ্বিতীয় বন্ধনী {} এর মধ্যে আবদ্ধ করা হয় এবং একাধিক উপাদান থাকলে 'কমা' ব্যবহার করে উপাদানগুলোকে আলাদা করা হয়। যেমন, A = {1, 2}, B={a, b, c), C = {তুহিন, তিশা, রাজু। ইত্যাদি।

A = {1, 3, 5} সেটটিতে এর সকল উপাদান সুনির্দিষ্টভাবে উল্লেখ করে দ্বিতীয় বন্ধনী $\left\{\right\}$ এর মধ্যে আবদ্ধ এবং উপাদানগুলো 'কমা' ব্যবহার করে আলাদা করা।

যে পদ্ধতিতে সেটের সকল উপাদান সুনির্দিষ্টভাবে উল্লেখ না করে উপাদান নির্ধারণের জন্য সাধারণ ধর্মের উল্লেখ থাকে তাঁ-ই সেট গঠন পদ্ধতি। যেহেতু এ পদ্ধতিতে সেটের উপাদান নির্ধারণের জন্য শর্ত বা নিয়ম (Rule) দেওয়া থাকে, এজন্য এ পদ্ধতিকে Rule Method ও বলা হয়। যেমন, A = (x: x স্বাভাবিক জোড় সংখ্যা), B = {x: x দশম শ্রেণির প্রথম দশজন শিক্ষার্থী} ইত্যাদি।

A = (x:x স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা) সেটটিতে এর সকল উপাদান সুনির্দিষ্টভাবে উল্লেখ না করে উপাদান নির্ধারণের জন্য সাধারণ ধর্মের উল্লেখ আছে।
সুতরাং A = {x: x স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা) সেটটি সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশিত রূপ।

দেওয়া আছে, A = {x: x, 28 এর গুণনীয়ক}

এখানে, $28 = 1 \times 28 = 2 \times 14 = 4 \times 7$

28 এর গুণনীয়কসমূহ 1, 2, 4, 7, 14, 28

নির্ণেয় সেট, A = {1, 2, 4, 7; 14; 28}

দেওয়া আছে, $B=\{x\in N:4<x\le 5\}$

B সেটটি স্বাভাবিক সংখ্যার সেট যা 4 থেকে বড় এবং 5 থেকে ছোট অথবা সমান।

4 থেকে বড় এবং 5 থেকে ছোট অথবা সমান স্বাভাবিক সংখ্যা 5.

$\therefore$ B = {5}

দেওয়া আছে, $A= \{x:x\in N$ এবং $2<x\le 6\}$

অর্থাৎ যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা 2 থেকে বড় এবং 6 থেকে ছোট অথবা সমান, তাদের সেট। 2. থেকে বড় এবং 6 থেকে ছোট অথবা সমান স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহ হচ্ছে 3, 4, 5, 6
.. A = {3, 4, 5, 6}

দেওয়া আছে , $P= \{x\in N:x^2+x-72=0)\}$

এখানে, $x^2+x-72=0$

বা, $x^2+9x-8x-72=0$

বা, $x(x + 9) - 8(x + 9) = 0$

বা, $(x + 9)(x - 8) = 0$

হয়, $x + 9 = 0$

∴ $x = - 9$

কিন্তু x = - 9 গ্রহণযোগ্য নয়।

অথবা, $$\begin{gathered} x - 8 = 0 \\ \therefore x = 8 \end{gathered}$$

দেওয়া আছে, $A= \{x\in N:x<19$ এবং x, 3 এর গুণিতক }

অর্থাৎ যে সকল স্বাভাবিক, সংখ্যা 3 এর গুণিতক এবং 19 অপেক্ষা ছোট, তাদের সেট।

19 অপেক্ষা ছোট 3 এর গুণিতকসমূহ 3, 6, 9, 12, 15, 18 ।

নির্ণেয় সেট: A = {3, 6, 9, 12, 15, 18}

$A=\{x\in N:15<x<16\}$

অর্থাৎ 15 অপেক্ষা বড় এবং 16 অপেক্ষা ছোট স্বাভাবিক সংখ্যার সেট। কিন্তু 15 অপেক্ষা বড় এবং 16 অপেক্ষা ছোট কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা নাই।

$\therefore A=\varnothing$

প্রদত্ত সেট = $x\in N:x²>15$ এবং $x^3<36$

অর্থাৎ, যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ 15 অপেক্ষা বড় এবং ঘন 36 অপেক্ষা ছোট, তাদের সেট।

এখন, $x = 1$ হলে, $x^2=1^2=1\ge 15$ এবং $x^3=1^3=1< 36$

        $x=2$ হলে, $x^2=2^2=4\ngeqq 15$ এরং $x^3=2^3=8<36$

      $x = 3$ হলে, $x^2=3^2= 9\ngeqq 15$ এবং $x^3=9^3=27<36$

       $x = 4$ হলে , $x^2=4^2=16>15$ এবং $x^2=4^3=64\nleqq 36$

    নির্ণেয় সেট = $\varnothing$

দেওয়া আছে, $C=\{x\in N:x^2-9=0\}$

এখানে, $x^2-9=0$

বা, $x^2=9$

রা ,x = $\sqrt{9}$

∴ $x = 3$

$\therefore C=\left\{3\right\}$.

দেওয়া আছে, $A=\{x:x^2)-2x=0\}$

এখানে, $x^2-2x=0$

বা, $x(x - 2) = 0$

হয়, x = 0   অথবা x - 2 = 0

                         ∴  x = 2

∴ A = {0, 2}

দেওয়া আছে, $A=\{x:x^2-3x=0\}$

এখানে, $x^2-3x=0$

বা, $x(x - 3) = 0$

হয়, x = 0                          অথবা , x - 3 = 0

             ∴ A = {0, 3}                            ∴  x = 3

দেওয়া আছে, B= $\{x:x\in Z$ এবং $x^2<4$

অর্থাৎ যেসব পূর্ণসংখ্যার বর্গ 4 অপেক্ষা ছোট, তাদের সেট।

এখন, x = 0 হলে, $x^2=0^2=0<4$

          $x =\pm 1$ হলে,  $x^2=(\pm 1{)}^2=1<4$

           $x =\pm 2$ হলে, $x^2=(\pm 2{)}^2=4\nless 4$

নির্ণেয় সেট B = { -1, 0, 1).

এখানে, $A=\{x:x\in N$ এবং $4<x^2<9$

অর্থাৎ, যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ 4 অপেক্ষা বড় এবং 9 অপেক্ষা ছোট তাদের সেট। কিন্তু এমন কোন স্বাভাবিক সংখ্যা নেই যার বর্গ 4 অপেক্ষা বড় এবং 9 অপেক্ষা ছোট হয়। সুতরাং সেটটির কোনো উপাদান নেই।

$A=\varnothing$

1 থেকে 30 পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাসমূহ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

∴ তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ:(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29)

এবং সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ: $\{x\in N:$x মৌলিক সংখ্যা এবংx < 30

দেওয়া আছে, C = {7, 14, 21, 28, 35, 42}

C সেটের উপাদানসমূহ 7, 14, 21, 28, 35, 42

এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান 7 দ্বারা বিভাজ্য, অর্থাৎ 7 এর গুণিতক এবং 42 এর বড় নয়।

$\therefore C=\{x:x,7-এর$ গুণিতক এবং $0<x\le 42\}$

দেওয়া আছে, A -{2, 3, 5, 7}

এখানে, A সেটের উপাদানসমূহ হচ্ছে: 2,3,5,7 যা 7 এর সমান বা ছোট স্বাভাবিক মৌলিক সংখ্যা নির্দেশ করে। $\therefore A=\{x\in N:x$ মৌলিক সংখ্যা এবং $x \nleqq 7 \}$

দেওয়া আছে,  A = {9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

A সেটের উপাদানসমূহ 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান স্বাভাবিক সংখ্যা যা 9 বা তার চেয়ে বড় এবং 15 বা তার চেয়ে ছোট।

$\therefore A=\{x\in N:9\le x\le =15\}$

দেওয়া আছে, A = {4, 5, 6, 7, 8, 9}

A সেটের উপাদানসমূহ 4, 5, 6, 7, 8, 9.

এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান স্বাভাবিক সংখ্যা যা 4 বা তার চেয়ে বড় এবং 9 বা তার চেয়ে ছোট।

$\therefore A=\{x\in N:4\le x\le 9\}$

যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায়, তাকে সসীম. সেট বলে। যেমন : $A=\{x,y\}B= 3,6,9,......,60\}$

$C=\{x:x$ মৌলিক সংখ্যা এবং $30<x<70$} ইত্যাদি সসীম সেট।

এখানে, A সেটে ২টি, B সেটে 20টি এবং C সেটে ৭টি উপাদান আছে।

যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে শেষ করা যায় না, তাকে অসীম সেট বলে।

যেমন,  $A=\{x/x$ জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা}

স্বাভাবিক সংখ্যার সেট $N= \left\{1,2,3,4,.......\right\}$ , পূর্ণসংখ্যার সেট $Z= \left\{.....,-3,-2,-1,.0,1,2,3,...... ,\right\}$ , মূলদ সংখ্যার সেট

$Q =\{\frac{a}{b}:aও b$ পূর্ণসংখ্যা এবং $b\ne 0$}, বাস্তব সংখ্যার সেট R ইত্যাদি অসীম সেট।

যে সেটের কোনো উপাদান নেই, তাকে ফাঁকা সেট বলে। ফাঁকা সেটকে $\varnothing$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। যেমন, একটি বালিকা বিদ্যালয়ের তিনজন ছাত্রের সেট $\{x\in N: 0.15<x<16\}$ ,{ $x\in N:$ x মৌলিক সংখ্যা এবং $23<x<29$ } ইত্যাদি।

$A= x\in N:32\le x\le 35$ এবং x মৌলিক সংখ্যা }

32 থেকে 35 পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহ যথাক্রমে 32, 33, 349 35

যার কোনোটিই মৌলিক সংখ্যা নয়। ∴ $A=\left\{\right\}$

ফাঁকা সেটের উপাদান সংখ্যা ০ অর্থাৎ গণনাযোগ্য হওয়ায় A একটি সসীম সেট।

5 এর গুণিতকসমূহ যথাক্রমে 5, 10, 15, 20, 25,...

5 এর গুণিতকের সেট, A= (5,10, 15, 20, 25, ....}

5 এর অসংখ্য গুণিতক রয়েছে। তাই A সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না। যে সেটের উপাদান সংখ্যাগগুন্ডা করে নির্ধারণ করা যায় না, তাকে অসীম সেট বলে।
∴ 5 এর গুণিতকের সেট একটি অসীম সেট।

দেওয়া আছে, $A=\{x:x$ জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা এবং $x>30$ }

$\therefore A = \{32, 34, 36, 38.....\}$

অর্থাৎ, 30 এর চাইতে বড় অসংখ্যা জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা বিদ্যমান তাই A সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে শেষ করা যায় না। অতএব, এ সেটটি অসীম সেট।

মনে করি, $A=\{x\in N:9<x<10\}$

অর্থাৎ যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা 9 অপেক্ষা বড় এবং 10 অপেক্ষা ছোট, তাদের সেট। কিন্তু এ অপেক্ষা বড় এবং 10 অপেক্ষা ছোট কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা নেই।

$\therefore A=\left\{\right\}$  

সুতরাং $\left\{x\in N:9<x<10\right\}$ সেটটি একটি ফাঁকা সেট।

A={a, b, c}

A সেটে তিনটি উপাদান রয়েছে। তাই A সেট সসীম সেট।

$B =\left\{1, 2, 3, 4, .......\right\}$

B সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করা যায় না। তাই B সেট অসীম সেট

$C=\left\{\right\}$

C সেটে কোনো উপাদান নেই। তাই C সেট ফাঁকা সেট।

$D=\{x:x\in N$ এবং $0<x<1\}$

0 ও 1 এর মাঝে কোন স্বাভাবিক সংখ্যা নেই। অর্থাৎ, D সেটে কোন উপাদান নেই। তাই D সেট ফাঁকা সেট।

জন ভেন সেটের কার্যবিধি চিত্রের সাহায্যে প্রকাশ করেন। এতে বিবেচনাধীন সেটগুলোকে সমতলে অবস্থিত বিভিন্ন আকারের জ্যামিতিক চিত্র যেমন আয়ত, বৃত্ত এবং ত্রিভুজ ব্যবহার করা হয়। জন ভেনের নামানুসারে চিত্রগুলো ভেনচিত্র নামে পরিচিত। ভেনচিত্র ব্যবহার করে অতি সহজে সেট ও সেট প্রক্রিয়ার বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য যাচাই করা যায়।

কোনো সেট থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায়, এদের প্রত্যেকটি সেট হচ্ছে ঐ সেটের উপসেট। A = {a, b}একটি সেট। এই সেটের উপাদান থেকে {a, b}, {a}, {b} সেটগুলো গঠন করা যায়। আবার, কোনো উপাদান না নিয়ে $\varnothing$ সেট গঠন করা যায়। এখানে, গঠিত {a, b}, {a}, {b}, $\varnothing$প্রত্যেকটি A সেটের উপসেট। উপসেটের চিহ্ন $\subseteq$। যদি B সেট A এর উপসেট হয় তবে B$\subseteq$ A লেখা হয়। প্রত্যেক সেট নিজের উপসেট। আবার, $\varnothing$সে যেকোনো সেটের উপসেট।

প্রদত্ত সেট = $\{x\in N:2<x\le 5)=(3,4,5)$

∴ সেটটির উপাদান সংখ্যা, n = 3

∴ সেটটির উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ=2³=8

নির্ণেয় উপসেটের সংখ্যা ৪টি।

দেওয়া আছে, A = {2, 3, 7, 9}

A এর উপসেটসমূহ: {2, 3, 7, 9}, {2, 3, 7}, {2, 7, 9}, {2, 3, 9}, {3, 7, 9}, {2, 3}, {2,7}, {2, 9}, {3, 7}, {3, 9}, {7,9}, {2}, {3}, {7}, {9}, Ø.

আমরা জানি, কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, তার উপসেটের সংখ্যা  $2^n$ হয়।

      প্রশ্নমতে , $2^n-32$  

বা , $2^n=2^5$

$\therefore n= 5$

A সেটের উপাদান সংখ্যা 5 ।

আমরা জানি, কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা হলে, তার উপসেটের সংখ্যা 2ⁿ হয়।

U এর উপসেট সংখ্যা = 64

প্রশ্নমতে, 2ⁿ= 64

বা, 2ⁿ=2⁶

∴ n=6

∴ U সেটের সদস্য সংখ্যা 6.

দেওয়া আছে , A = {1, 2, 3}

এখানে, A এর উপাদান সংখ্যা ,n = 3

আমরা জানি, কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, তার উপসেটের সংখ্যা 2ⁿ

P(A) এর উপাদান সংখ্যা = 2ⁿ=2³=8.

কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেটগুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম এদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে। যেমন, A = {3, 4, 5} এবং B = {3, 5} দুইটি সেট। এখানে B এর সব উপাদান A সেটে বিদ্যমান এবং B সেটের উপাদান সংখ্যা A সেটের উপাদান সংখ্যা থেকে কম।

B, A এর একটি প্রকৃত উপসেট এবং B$\subset$A লিখে প্রকাশ করা হয়।

দেওয়া আছে, D = {2, 3, 4}

D এর উপসেটসমূহ:

{2, 3, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (2), (3), (4), $\varnothing$

∴ D এর প্রকৃত উপসেটসমূহ  : (2, 3), (2, 4), (3, 4), (2), (3), (4),$\varnothing$

দেওয়া আছে, $A=\{x\in N:10<x<13\}$

অর্থাৎ, যেসব স্বাভাবিক সংখ্যা 10 অপেক্ষা বড় এবং 13 অপেক্ষা ছোট, তাদের সেট হচ্ছে A.
10 অপেক্ষা বড় এবং 13 অপেক্ষা ছোট স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহ হচ্ছে 11, 12

∴ A = {11, 12}

∴ A এর প্রকৃত উপসেটসমূহ: $\left\{11\right\},\left\{12\right\},\varnothing$

∴ A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা 3 টি।

দেওয়া আছে, G = {2, 3}

G এর প্রকৃত উপসেটসমূহ: (2), (3), $\varnothing$

∴ G এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা ১টি।

দেওয়া আছে, A = {1, 2, 3, 4}

A এর প্রকৃত উপসেটসমূহ: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}1, 2}, {1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (1), (2), (3), (4), Ø

∴ সেট A এর প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা 15টি।  

দেওয়া আছে, A = {a, b, c, d, c}

A সেটের উপাদান সংখ্যা, n=5

∴ A সেটের প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ-1 = 2⁵-1=32-1=31

এখানে, M = {1, 2, 3}

M এর প্রকৃত উপসেটসমূহ হচ্ছে {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3} , Ø

∴ M এর প্রকৃত উপসেট 7 টি।

এখানে A এর উপাদান সংখ্যা n = 4

∴ প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ-1=2⁴-1=15

∴ A এর প্রকৃত উপসেট 15টি।

দুইটি সেটের উপাদান একই হলে, সেট দুইটিকে সমান বলা হয়। যেমন : A = {5, 6, 9} এবং B = {5, 6, 9, 9} দুইটি সমান সেট এবং A = B চিহ্ন দ্বারা লেখা হয়। A=B হবে যদি এবং কেবল যদি A $\subseteq$B এবং B $\subseteq$A হয়।

আবার, A = {5, 6, 9} , B = {5, 6, 9, 9} এবং C = {9, 9, 5, 6, 6} হলে, A, B ও C সেট তিনটি সমতা বোঝায় । অর্থাৎ, A = B = C

দুই বা ততোধিক সেটের উপাদান একই হলে, তাদেরকে সেটের সমতা বলা হয়।

∴ A = {3, 5, 7}, B = {5, 3, 3, 7}

এবং C = {5, 5, 3, 7, 7} সেট তিনটি দ্বারা সমতা বোঝায়।

দেওয়া আছে, $P=\{x\in IN:x,18$ এর গুণনীয়কসমূহ }

                           $= \{1, 2, 3, 6, 9, 18)$

এবং $Q=\{x\in IN:x$ জোড় সংখ্যা এবং $x<10\}$ $=\left\{ 2, 4, 6, 8\right\}$

এখানে, P ও Q এর সকল উপাদান একই নয়, তাই এরা সমান নয়

$\therefore P\ne Q$

সেট A থেকে সেট B এর উপাদানগুলো বাদ দিলে যে সেটটি হয় তা হচ্ছে A হতে B সেটের অন্তর। লেখা হয় A\B বা A- B এবং পড়া হয় A বাদ B। সেট গঠন পদ্ধতিতে A\B = {x: x ∈ A এবং x $\notin$B)

তালিকা পদ্ধতিতে A = {1, 2, 3, 4, 5} এবং B = {2, 4} হলে ,

A - B = {1, 2, 3, 4, 5} - {2, 4} = {1, 3, 5}

A = {2, 5, 6} ও B = {2, 2, 5, 5, 6}

A ও B এর উপাদান। একই হওয়ায় এরা পরস্পর সমান সেট। অর্থাৎ A = B. দুইটি সমান সেটের অন্তর Ø.

∴ A-B= Ø.

এখানে, P = (x, y) এবং Q = {y, x}

∴ P-Q ={x. y}-{y, x} = { }

নির্ণেয় P-Q= { }.

দেওয়া আছে, C = {a, b} এবং D= (b, d}

∴ C\D= {a,b}\{b,d}={a}

নির্ণেয় C\D={a}

দেওয়া আছে, M = {2, 3, 4} এবং N = {2, 4, 7}

∴ M\N={2,3,4}\ {2, 4, 7} = {3}

নির্ণেয় M \ N = {3}

দেওয়া আছে, P = {2, 3, 4} এবং Q = {3, 4, 7}

∴ Q\P = (3, 4, 7)\(2, 3, 4) = (7).

নির্ণেয় Q\P = (7).

দেওয়া আছে, P = {2, 4, 6} এবং Q {3, 6,7}

∴ P - Q = {2, 4, 6} - {3, 6, 7} = {2, 4}

নির্ণেয় P - Q = {2, 4}.

দেওয়া আছে,. A = {3, 4} এবং B = {1, 2, 3}

∴ B\ A={1,2,3}\ {3, 4} = {1, 2}

নির্ণেয় B\ A = {1, 2} .

দেওয়া আছে , P = {- 3, - 0.2, - 1, 0, 1, 2}

                   এবং Q = {- 3, - 2, 0, 1, 3}

∴ Q - P = {- 3, - 2, 0, 1, 3} - {- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2} = {3}    

নির্ণেয় Q - P = {3}.

দেওয়া আছে, A = {a, b, c} এবং B = {b, c, d}

∴ A\B= = (a, b, c} \ {b, c, d) = {a}

নির্ণেয় A\B = {a}.

এখানে , C = {a, b} এবং D = {a, b}

∴ C-D={a,b} - {a, b} = { }

নির্ণেয় C-D = { }.

দেওয়া আছে , A = {1, 3, 5} এবং B = {3, 4, 5, 6}

∴ A - B = {1, 3, 5} - {3, 4, 5, 6} = {1}

নির্ণেয় A - B = {1}

দেওয়া আছে, X={8, 9, 10, 11, 12, 13}

এবং               Y = {8, 12; 13}

∴ X-Y = {8,9,10; 11, 12, 13}-{8,12,13}

            = {9,19, 11}

নির্ণেয় X - Y = {9, 10, 11}.

দেওয়া আছে, A = {S, 6, 7, 8, 9} এবং B = {5, 7, 9}

∴ A - B = {5, 6, 7, 8, 9} - {5, 7, 9} = {6, 8}

নির্ণেয় A - B = {6, 8}

দেওয়া আছে, $P=\{x\in N:x,12$ এর গুণনীয়ক }

                         ={1, 2, 3, 4, 6, 12}

এবং Q = {x ∈ N : x, 3 এর গুণিতক এবং x < 12) = {3, 6, 9}

∴ Q - P = {3, 6, 9} - {1, 2, 3, 4, 6, 12} = {9}

নির্ণেয় Q - P = {9}

দেওয়া আছে , A = {x: x, 6 এর গুণনীয়কসমূহ}= {1, 2, 3, 6}

B = {x: x, 3 এর গুণিতক এবং $x\le 6\}=\{3,6\}$  

A - B = {1, 2, 3, 6} - {3, 6} ,={1,2}

নির্ণেয় A - B = {1, 2}

এখানে , Q = {x, y, z} এবং R = {q, r}

∴ Q\R = {x, y, z} \ {q, r} = {x, y, z}

Q\R এর উপাদান সংখ্যা, n = 3

∴ QR এর প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা = 2⁸-1=2³-1=8-1=7

∴ Q\R এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা 7টি।

আলোচনা সংশ্লিষ্ট সকল সেট যদি একটি নির্দিষ্ট সেটের উপসেট হয় তবে ঐ নির্দিষ্ট সেটকে তার উপসেটগুলোর সাপেক্ষে সার্বিক সেট বলে। সার্বিক সেটকে সাধারণত U দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তবে অন্য প্রতীকের সাহায্যেও সার্বিক সেট প্রকাশ করা যায়। যেমন: সকল বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সেট D= (1, 3, 5, ...... এবং সকল স্বাভাবিক সংখ্যা সেট N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, .....) হলে D সেটের সাপেক্ষে সার্বিক সেট হবে N।

দেওয়া আছে, A = {2, 3, 5, 9} এবং $B=\{x\in N/x<7\}$

অর্থাৎ, B সেটের উপাদানসমূহ হচ্ছে 7 অপেক্ষা ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা। 7 অপেক্ষা ছোট স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহ হচ্ছে 1, 2, 3, 4, 5, 6 B

∴ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A সেটের উপাদানসমূহের মধ্যে 2, 3, 4, 5, 6 ∈ B এবং 9 B

∴ A সেটের 3টি উপাদান B সেটের অন্তর্ভুক্ত।  

: সার্বিক সেট এবং A সেটটি U এর উপসেট হলে, A সেটের বহির্ভূত সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে A সেটের পূরক সেট বলে। A এর পুরক সেটকে A° বা A' দ্বারা প্রকাশ করা হয়। গাণিতিকভাবে A°=U\A

দেওয়া আছে, U = {5, 6.7, 8} এবং A = {6, 8}

∴ A এর পূরক সেট = A=U \ A= {5,6,7,8} \ {6, 8} = {5, 7}

নির্ণেয় পূরক সেট {5,7}.

দেওয়া আছে, U= {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} এবং B = {3, 5, 11}

∴ B = U-B

       = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} - {3, 5, 11} = {1; 7, 9, 13}

নির্ণেয় B  = {1, 7, 9, 13}.

দেওয়া আছে, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4}

            এবং B = {3, 5}

A =U \ A={1,2,3,4,5,6}\ {2, 4} = {1, 3, 5, 6}

এবং B =U \ B={ 1,2,3,4,5,6} \ {3, 5} = {1, 2, 4, 6}

নির্ণেয় সেট A = A= {1, 3, 5, 6} এবং B = {1, 2, 4, 6}

দুই বা ততোধিক সেটের সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে সংযোগ সেট বলা হয়। A ও B সেটের সংযোগকে $A\cup B$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। সেট গঠন পদ্ধতিতে $A\cup B$= $\{x:x\in A$ অথবা $x \in B).$

যেমন: A={ 1,2,3} B = {2, 4, 6} হলে

$A\cup B= 1,2,3\cup \{2,4,6\}=\{1,2,3,4,6\}.$

দেওয়া আছে, A=Ø এবং B = {1}

∴ $A\cup B=\varnothing \cup \left\{1\right\}=\left\{1\right\}$

নির্ণেয় $A\cup B=\left\{1\right\}$

দেওয়া আছে, A = {1, 2} B = {2, 3} এবং C = {3, 4, 5}

∴ $A\cup B\cup C=\left\{ 1,2 \right\}\cup \left\{2,3 \right\}\cup \{3,4,5\}=\{1,2,3,4,5\}$

$AUB\cup C$ এর উপাদান সংখ্যা 5.

দেওয়া আছে, A = {0, 1, 2, 3, 4} এবং B = {- 1, 0, 1, 2, 3}

বামপক্ষ= AUB

               ={0,1,2,3,4} $\cup$ {- 1, 0, 1, 2, 3} = {- 1, 0, 1, 2, 3, 4}= = ডানপক্ষ

∴ $A\cup B=\{-1,0,1,2,3,4\}$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, X = {2, 6, 8} এবং Y = {4, 6, 8}

বামপক্ষ  $=X\cup Y= \left\{2,6,8\right\} \cup \{4,6,8\}=\{2,4,6,8\}=$ ডানপক্ষ

$\therefore X\cup Y=\{2,4,6,8\}.$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, U = {4, 5, 6, 7, 8} A = {4, 5, 6} এবং B = {7; 8}

∴ $A\text{'}\cup B\text{'} =(U-A) \cup (U-B)$

$=\left(\right\{4,5,6,7,8\}-\{4,5,6\left\}\right)\cup ( 4,5,6,7,8 - 7,8 )$

$= \left\{7,8\right\}\cup \{4,5,6\}=\{4,5,6,7,8\}$

নির্ণেয় A$\cup$ B' = {4, 5, 6, 7, 8}

দেওয়া আছে, P = {3, 4, 9} এবং Q = {4, 7, 8}

$P\cup Q= \left\{3,4,9\right\} \cup \{4,7,8\}=\{3,4,7,8,9\}$

নির্ণেয় সেট: (3, 4, 7, 8, 9).

দুই বা ততোধিক সেটের সাধারণ উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে ছেদ সেট বলে। P ও Q এর ছেদ সেটকে $P\cap Q$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। সেট গঠন পদ্ধতিতে $P\cap Q$ $=\{x:x\in P$ এবং x ∈Q)।

যেমন P = {1, 3, 5, 6} এবং Q = {2, 3, 5} হলে,

$P\cap Q= 1,3,5.6\cap \{2,3,5\}=\{3,5\}.$

দেওয়া আছে, A = {a, b, c) এবং B = {c, d, e}

∴ $A\cap B=\{a, b, c)\cap \{c, d, e) = \left\{e\right\}$

নির্ণেয় $A\cap B=\left\{e\right\}$ .

দেওয়া আছে, A = {1, 2, 3, 4} এবং B = {2, 4, 6}

$A\cap B= \left\{1,2,3,4\right\}\cap \{2,4,6\}=\{2,4\}$

নির্ণেয় $A\cap B=\{2,4\}$

দেওয়া আছে, P = {5, 7, a, b} এবং Q = {5, 7, a, b}

$P\cap Q= \left\{5,7,a,b\right\} \cap \{5,7,a,b\}=\{5,7,a,b\}$

নির্ণেয় $P\cap Q=\{5,7,a,b\}.$

দেওয়া আছে, B = {1, 3, 5, 7} এবং C = {6, 8, 9}

$B\cap C=\left\{1,3,5,7\right\}\cap \left\{6,8,9\right\}= \{ \}$

নির্ণেয়

দেওয়া আছে, $P=\{x\in N:2<x\le =6\}=\{3,4,5,6\}$

এবং  $Q=\{x\in N:x$ জোড় সংখ্যা এবং $x\le 8)=\{2,4,6,8\}$

$\therefore P\cap Q=\left\{ 3,4,5,6\right\} \cap \{2,4,6,8\}=\{4,6\}$

নির্ণেয় সেট (4, 6).

দুইটি সেটের মধ্যে যদি কোনো সাধারণ উপাদান না থাকে, তবে সেই সেট দুইটিকে পরস্পর নিচ্ছেদ সেট বলে।

$A\cap B=Ø$ হলে, A ও B পরস্পর নিচ্ছেদ সেট হবে।

যেমন, A = {1, 2, 3} এবং B = {6, 7} হলে

$A\cap B=\{1,2,3\}$ $\cap \left\{6,7\right\} =\varnothing$

∴ A ও B পরস্পর নিশ্ছেদ সেট।

দেওয়া আছে, A = (a, b, c) এবং B = {1, 2, 3}

এখন, $A\cap B=\{a,b,c\}\cap \{1,2,3)=Ø$

যেহেতু $A\cap B=\varnothing$

সেহেতু A ও B সেটদ্বয় পরস্পর নিচ্ছেদ সেট।

দেওয়া আছে, P = {1, 3, 4} এবং Q = {2, 5, 7, 9}

এখন, $P\cap Q=(1,3,4\}\cap \{2,5,7,9)=Ø$

যেহেতু $P\cap Q= Ø.$

সেহেতু P ও Q সেটদ্বয় পরস্পর নিচ্ছেদ সেট।

দেওয়া আছে, B = {2, 5, 6, 7} এবং C = {1, 3, 4}

এখন,  $B\cap C = \{2, 5, 6, 7\}\cap \{1,3,4)= Ø$

যেহেতু, $B\cap C=Ø$

সেহেতু B ও C সেটদ্বয় পরস্পর নিশ্ছেদ সেট। (দেখানো হলো)

কোনো সেটের উপাদানগুলো দিয়ে যতগুলো উপসেট গঠন করা যায় তাদের সেটকে উক্ত সেটের শক্তি সেট বলা হয়। যেমন, A = (a, b) হলে, A এর উপসেটসমূহ হলো {a, b}, {a}, {b}, Ø

তাহলে, A এর শক্তি সেট P(A) = {{a,b}, {a}, {b}, Ø}.

দেওয়া আছে, Q = {1, a}

Q. সেটের উপসেটসমূহ: (t, a}, {1}, {a}, Ø

$\therefore P\left(Q\right).= \{1,a\},\left\{1\right\},\left\{a\right\},\varnothing$

দেওয়া আছে, D = {2, e}

D সেটের উপসেটসমূহ: {2, e}, {2}, {e},Ø

$P\left(D\right)= \{2,e\},\left\{2\right\},\left\{e\right\},\varnothing$

দেওয়া আছে, M = {12, 15} এবং N = {15, a}

এখন , $M\cap N= \left\{12,15\right\} \cap \{15,a\}=\left\{15\right\}$

$\therefore$  $P(M\cap N) = \{Ø, \{15\left\}\right\}.$

দেওয়া আছে, A = {a, b, c, d} এবং B = {b, c, d, e }

$A\cap B=\{a, b, c, d\} \cap \{b, c, d, e) = \{b, c, d\}$

$A\cap B$ এর উপাদান সংখ্যা, n = 3

$\therefore$  $P(A\cap B)$ এর সদস্য সংখ্যা $=2^a=2^3=8.$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে , $A= x\in N:13<x<17$ এবং x মৌলিক সংখ্যা। } অর্থাৎ, যে সকল স্বাভাবিক মৌলিক সংখ্যা 13 অপেক্ষা বড় এবং 17 অপেক্ষা ছোট, তাঁদের সেট। কিন্তু প্রদত্ত শর্তানুযায়ী 13 অপেক্ষা বড় এবং 17 অপেক্ষা ছোট কোনো মৌলিক সংখ্যা নেই।

$\therefore A=Ø$

সুতরাং , A এর উপাদান, n = 0

∴ P(A) সদস্য সংখ্যা $=2^n=2^0=1$

∴ P(A) এর সদস্যা সংখ্যা 1 টি।

দেওয়া আছে, X = {a, b, c}, Y = {b}

$P\left(Z\right)=\{Ø,\left\{a\right\},\left\{c\right\}\left\{,a,c\right\}$

P(Z) এর উপাদান সংখ্যা 4টি।

একজোড়া উপাদানের মধ্যে কোনটি প্রথম অবস্থানে আর কোনটি দ্বিতীয় অবস্থানে থাকবে, তা নির্দিষ্ট করে জোড়া আকারে প্রকাশকে ক্রমজোড় বলা হয়।
যদি কোনো ক্রমজোড়ের প্রথম উপাদান বা পদ x এবং দ্বিতীয় উপাদান বা পদ y হয়, তবে ক্রমজোড়টিকে (x, y) দিয়ে প্রকাশ করা হয় ক্রমজোড়

(x, y) ও (a, b) সমান বা (x, y) = (a, b) হবে যদি x = a এবং y = b হয়।

দেওয়া আছে, (m + n, n) = (7, 5)

এখন, ক্রমজোড়ের নিয়মানুসারে পাই, m + n = 7 ...............(i)

                                                                 এবং n = 5

n এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই, m + 5 = 7

বা, m = 7 - 5

∴ m = 2  

নির্ণেয় মান: $(\mathfrak{m},\mathfrak{n})=(2,5)$ .

দেওয়া আছে, (p + 3, - 3) = (5, q - 5)

ক্রমজোড়ের নিয়ম অনুযায়ী,                                

p + 3 = 5                                                             এবং q - 5 = - 3

বা, p = 5 - 3 = 2                                                     বা, q = - 3 + 5' = 2

∴ (p, q) এর মান (2, 2).

দেওয়া আছে, (x + y, - 1) = (3, x - y)

ক্রমজোড়র নিয়ম অনুযায়ী,

x + y = 3 ………………..( i )

এবং x - y = - 1 ………..(ii)

(i) নং ও (ii) নং যোগ করে পাই  

x + y + x - y = 3 - 1

বা, 2x = 2

$x=\frac{2}{2}=1$

∴ (x, y) = (1, 2) (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, (x - 2y, 3x + 2y) = (1, 19)                               i) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই

ক্রমজোড়ের সংজ্ঞানুসারে, x - 2y = 1 ………………(i)                 বা  5 - 2y = 1                     

                                            3x + 2y = 19 ……….. (ii )                  বা 5 - 1 = 2y

(i) নং ও (ii) নং যোগ করে পাই,                                                    2y = 4

x - 2y + 3x + 2y = 1 + 19                                                                y = 2

বা, 4x = 20

∴ x = 5

দেওয়া আছে (a + b, 2) = (4, a - b)

ক্রমজোড়ের নিয়ম অনুযায়ী,

a + b = 4 …………..( i)

এবং 2 = a - b

বা, a - b = 2 ......... (ii)

(i) নং ও ই(ii) নং যোগ করে পাই,

2a =6  

∴ a=3

(i) নং এ a এর মান বসিয়ে পাই, 

3 + b = 4 

বা, b = 4 - 3 

∴ b = 1 

∴ (a, b) এর মান (3, 1).   

দেওয়া আছে, (x + y, x - y) =(1,1)

ক্রমজোড়ের সূত্রানুসারে ,

x এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,

1 + y = 1

বা, y = l - 1 = 0

নির্ণেয় মান: (x,y)= (1, 0) .

দেওয়া আছে, A = {1, 2, 4}

$$\begin{gathered} \therefore A^2=A\times A=\{1,2,4\}\times \{1,2,4\} \\ =\left\{\right(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4\left)\right\} \end{gathered}$$

দেওয়া আছে, A = (a, b) এবং B = {1, 2}

$A\times B=\{a,b\}\times \{1,2\}$

              $=\left\{\right(a,1),(a,2),(b,1),(b,2\left)\right\}$

নির্ণেয় $A\times B=\left\{\right(a,1),(a,2),(b,1),(b,2\left)\right\}$

দেওয়া আছে, A = {1, 2, 3} এবং B = {2, 3}

$$\begin{gathered} B\times A=\{2,3\}\times \{1,2,3\} \\ =\left\{\right(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3\left)\right\} \\ B\times A=\left\{\right(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3\left)\right\} \end{gathered}$$

দেওয়া আছে, M = {1, 3} N = {1, 2} এবং P = {3, 4}

$\therefore M\cap N=\left\{ 1,3\right\} \cap \{1,2\}=\left\{1\right\}$

$\therefore (M\cap N)\times P=\left\{1\right\}\{3,4\}=\left\{\right(1,3),(1,4\left)\right\}$

নির্ণেয় $(M\cap N)\times P=\left\{\right(1,3),(1,4\left)\right\}$

দেওয়া আছে, P = {6, 8} এবং Q = {0}

∴ $P\times Q=\{6;8\}\times \left\{0\right\}=\left\{\right(6,0),(8,0\left)\right\}$

নির্ণেয়: $P\times Q=\left\{\right(6,0),(8,0\left)\right\}$

দেওয়া আছে, A = {1, 2} B = {2, 3} এবং C = {3, 4}

$\therefore A\cap B= \left\{1,2\right\} \cap \{2,3\}=\left\{2\right\}$

$(A\cap B)\times C=\left\{2\right\}\times \{3,4\}=\left\{\right(2,3),(2,4\left)\right\}$

নির্ণেয় $(A\cap B)\times C=\left\{\right(2,3),(2,4\left)\right\}$

দেওয়া আছে, P = {1}, Q = {2, 3} এবং R = {3, 4}

$Q\cap R=\left\{ 2,3\right\}\cap \{3,4\}=\left\{3\right\}$

$P\times (Q\cap R)=\left\{1\right\}\times \left\{3\right\}=\left\{\right(1,3\left)\right\}.$ (দেখানো হলো)