সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

ভূ-রেখা হলো ভূমি তলে অবস্থিত যেকোনো সরলরেখা। একে শয়নরেখাও বলা হয়। ঊর্ধ্বরেখা হলো ভূমি তলের উপর লম্ব যেকোনো সরলরেখা। একে উল্লম্ব রেখাও বলে। চিত্রে, CB রেখা হলো ভূ-রেখা এবং BA রেখা হলো উর্ধ্বরেখা।

ভূমি তলের উপর লম্বভাবে অবস্থিত পরস্পরচ্ছেদী ভূ-রেখা ও ঊর্ধ্বরেখা একটি তল নির্দিষ্ট করে। এ তলকে উল্লম্ব তল বলে।

এখানে, ABC তলটি ভূমির উপর লম্ব যা উল্লম্ব তল।

ভূতলের উপরের কোনো বিন্দু ভূমির সমান্তরাল রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে উন্নতি কোণ বলে। চিত্রে O বিন্দুর সাপেক্ষে' বিন্দুর উন্নতি কোণ হচ্ছে ∠POB। ভূতলের সমান্তরাল রেখার নিচের কোনো বিন্দু ভূ-রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে অবনতি কোণ বলে। চিত্রে O বিন্দুর সাপেক্ষে Q বিন্দুর অবনতি কোণ হচ্ছে ∠QOB।

এখানে, সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের অনুপাত = 2 : 3

ধরি, অনুপাতের সাধারণ রাশি x

সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় 2x এবং 3x

শর্তমতে, 2x + 3x = 90°

বা, 5x = 90°

বা, $x =\frac{90°}{5}= 18°$

ক্ষুদ্রতর সূক্ষ্মকোণ = 2 $\times$ 18°= 36°

নির্ণেয় ক্ষুদ্রতর সূক্ষ্মকোণের পরিমাপ 36°.

মনে করি, মিনারটির উচ্চতা AB = h মিটার।

C বিন্দুতে মিনারের শীর্ষ A বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB = 30° এবং মিনারের ছায়ার দৈর্ঘ্য, BC = 15 মিটার।

এখন, △ ABC-এ, tan ∠ACB = $\frac{AB}{BC}$

বা, tan 30° = $\frac{h}{15}$

বা, $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{15}$

বা, $h = \frac{15}{\sqrt{3}}$

= 8.66 মিটার (প্রায়)

$\therefore$মিনারটির উচ্চতা 8.66 মিটার (প্রায়)।

এখানে, গাছের উচ্চতা ও ছায়ার অনুপাত = $\sqrt{3} : 1$

ধরি, অনুপাতের সাধারণ রাশি = x

গাছের উচ্চতা, DE = $\sqrt{3}x$

গাছের ছায়া, EF = x

এবং গাছের উন্নতি কোণ ∠DFE = $\theta$

DEF সমকোণী ত্রিভুজে,

tan ∠DFE = $\frac{DE}{EF}$

বা, $\tan \theta = \frac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}= \tan 60°$

$\therefore$ $\theta$ = 60°

$\therefore$গাছের উন্নতি কোণ 60°

এখানে, খুঁটির উচ্চতা PQ = 5 মিটার, খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য QR = $5\sqrt{3}$  মিটার এবং সূর্যের উন্নতি কোণ ∠PRQ.

এখন, PQR সমকোণী ত্রিভুজে

tan ∠PRQ = $\frac{PQ}{QR}$

বা, tan ∠PRQ = $\frac{5}{5\sqrt{3}}$

বা, tan ∠PRQ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$

বা, tan ∠PRQ = tan 30°

$\therefore$ ∠PRQ = 30°

$\therefore$ সূর্যের উন্নতি কোণ 30°.

মনে করি, টাওয়ারের ছায়ার দৈর্ঘ্য, BC = x একক

টাওয়ারের উচ্চতা, AB = x একক

উন্নতি কোণ ∠ACB =$\theta$

ABC সমকোণী ত্রিভুজে

tan ∠ACB = $\frac{AB}{BC}$

বা, tan  $\theta$= $\frac{X}{X}$ = 1 = tan 45°

$\therefore$ $\theta$ = 45°

$\therefore$ সূর্যের উন্নতি কোণ 45°.

চিত্র হতে পাই, ভূ-রেখা = CB, উর্ধ্বরেখা = AB,

উল্লম্বতল = ABC, উন্নতি কোণ = ∠BCA এবং অবনতি কোণ = ∠CAD

এখানে, গাছের উচ্চতা, BC = 3 মি.

এবং ছায়ার দৈর্ঘ্য, AB = $\sqrt{3}$ মি.

সূর্যের উন্নতি কোণ ∠BAC = $\theta$

সমকোণী ত্রিভুজ △ ABC - এ

tan ∠ BAC = $\frac{BC}{AB}$

বা, $\tan \theta = \frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}= \tan 60°$

$\therefore$ $\theta$ = 60°

$\therefore$ সূর্যের উন্নতি কোণ 60°

ধরি, অনুপাতের সাধারণ রাশি = x

$\therefore$ সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় হলো যথাক্রমে 4x ও 5x

শর্তমতে, 4x + 5x = 90°

বা, 9x = 90°

বা, $x =\frac{90°}{9}= 10°$

$\therefore$ ক্ষুদ্রতর সূক্ষ্মকোণ = 4x = 4 $\times$ 10° = 40°

অনুপাতের সাধারণ রাশি = x

সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় হলো যথাক্রমে x ও 2x

শর্তমতে, x + 2x = 90°

বা, 3x = 90°

বা,  $x =\frac{90°}{3}= 30°$

বৃহত্তর সূক্ষ্মকোণ = 2x = 2 $\times$ 30°= 60°

ধরি, খুঁটিটির উচ্চতা, AB = h'মি.

C বিন্দুতে খুঁটির শীর্ষ A বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB = 60° এবং খুঁটির

ছায়ার দৈর্ঘ্য, $BC = \frac{1}{\sqrt{3}}$মি.

এখন, সমকোণী △ ABC এ

tan ∠ACB = $\frac{AB}{BC}$

বা, tan 60° = $\frac{4}{\sqrt{3}}$

বা,  h =$\sqrt{3}=\frac{h}{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}}$

বা, h = $\sqrt{3}\times \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\therefore$ h = 1

$\therefore$ খুঁটিটির উচ্চতা 1 মিটার।

মনে করি, AC = 25 মিটারের একটি মই AB দেওয়ালের শীর্ষের সাথে ঠেস দেওয়া আছে যা ভূমির সাঙ্গে ∠ACB = 45° কোণ উৎপন্ন করে।

ধরি, দেওয়ালের উচ্চতা, AB = h মিটার △ABC এ ∠ABC = এক সমকোণ।

সুতরাং ∆ABC সমকোণী ত্রিভুজে

sin ∠ACB = $\frac{AB}{AC}$

বা, sin 45° = $\frac{h}{25}$

বা, $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{h}{25}$

বা, $h = \frac{25}{\sqrt{2}}$

= 17.678 (প্রায়)

নির্ণেয় উচ্চতা 17.678 মিটার (প্রায়)।

ধরি, মিনারের ছায়ার দৈর্ঘ্য, QR = x মি.

এখানে, মিনারের উচ্চতা, PQ = 10 . সূর্যের উন্নতি কোণ, ∠PRQ = 30°

এখন সমকোণী △ PQR-এ

tan ∠PRQ = $\frac{PQ}{QR}$

বা, $\tan 30° =\frac{10}{x}$

বা, $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{10}{x}$

বা, $x = 10\sqrt{3}$

= 17.32

$\therefore$ মিনারটির ছায়ার দৈর্ঘ্য 17.32 মি.।

ধরি, দেওয়ালের উচ্চতা, PQ = h মি.

এখানে, মইটির দৈর্ঘ্য, PR = 15 মি.

দেওয়ালের শীর্ষের সাথে মইয়ের উৎপন্ন কোণ, ∠QPR = 45°

এখন, সমকোণী △ PQR -এ

cos 45° = $\frac{PQ}{PR}$

বা, $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{h}{15}$

বা, $h=\frac{15}{\sqrt{2}}$

= 10.61

$\therefore$ নির্ণেয় উচ্চতা 10.61 মি.।

চিত্রে মিনারের দৈর্ঘ্য,

AB = 15 মিটার এবং ∠ACB = 60°

মিনারের ছায়ার দৈর্ঘ্য, BC = ?

ABC সমকোণী ত্রিভুজে

tan ∠ACB = $\frac{AB}{BC}$

বা, tan 60° = $\frac{15}{BC}$

বা, $\sqrt{3}=\frac{15}{BC}$

বা, $BC\times \sqrt{3} = 15$

বা, $BC= \frac{15}{\sqrt{3}}$ $= \frac{5\times \sqrt{3}\times \sqrt{3}}{\sqrt{3} }=5\sqrt{3}$

$\therefore$ মিনারের ছায়ার দৈর্ঘ্য $5\sqrt{3}$ মিটার।

মনে করি, খুঁটির দৈর্ঘ্য AB = 24 মিটার।

AB খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = $8\sqrt{3}$ মিটার

এবং 'বিন্দুতে খুঁটির শীর্ষ A বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB = $\theta$

ABC' সমকোণী ত্রিভুজ হতে পাই,

tan ∠ACB = $\frac{AB}{BC}$

বা, $\tan \theta = \frac{24}{8\sqrt{3}}= \frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

বা, $\tan \theta = \tan 60°$

$\therefore$ $\theta$ = 60°

অর্থাৎ, সূর্যের উন্নতি কোণ 60°

প্রদত্ত সমকোণী △ ABC হতে পাই,

sin ∠ACB = $\frac{AB}{AC}$

বা  $\sin 60°=\frac{x}{20}$

বা $\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{x}{20}$

বা $x=\frac{20\sqrt{3}}{20}$ = 17.32

নির্ণেয় মান : x = 17.32 মি.।

প্রদত্ত সমকোণী △ DEF হতে পাই,

cos ∠ED = $\frac{DF}{DE}$

বা, $\cos 30° =\frac{h}{12}$

বা, $\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{h}{12}$

বা, $h=\frac{12\sqrt{3}}{2}$ = 10.39

নির্ণেয় h এর মান 10.39 মি.।

ধরি, লাঠিটির দৈর্ঘ্য, AC = x মি.

এখানে, দেওয়ালের উচ্চতা, AB = 9 মি.

∠ACB = 30°

সমকোণী △ ABC থেকে পাই,

sin ∠ACB = $\frac{AB}{AC}$

বা, $\sin 30°= \frac{9}{x}$

বা, $\frac{1}{2}=\frac{9}{x}$

বা, x = 18

নির্ণেয় লাঠিটির দৈর্ঘ্য 18 মি.।

ধরি, সূর্যের উন্নতি কোণ, ∠PQR = $\theta$

এখানে, স্তম্ভের উচ্চতা PR = 27 মি. স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য $QR = 9\sqrt{3}$ মি. সমকোণী △ PQR এ.

tan ∠PQR = $\frac{PR}{QR}$

বা, $\tan \theta = \frac{27}{9\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3} = \tan 60°$

$\therefore$ $\theta$ = 60°

নির্ণেয় সূর্যের উন্নতি কোণ 60°

প্রদত্ত সমকোণী △ ABC হতে পাই,

cos ∠BAC = $\frac{AB}{AC}$

বা, $\cos \theta =\frac{5\sqrt{3}}{10}=\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 30°$

$\therefore$ $\theta$ = 30°

নির্ণেয় মান : $\theta$ = 30°

ধরি, ছায়ার দৈর্ঘ্য, QR = x মি.

এখানে, টাওয়ারের দৈর্ঘ্য, PQ = 7.মি.

অবনতি কোণ, ∠QPR = 45°

সমকোণী △ PQR-এ

tan ∠ QPR = $\frac{QR}{PQ}$

বা, tan 45°= $\frac{x}{7}$

বা, 1 = $\frac{x}{7}$

$\therefore$ x = 7 মি.

নির্ণেয় ছায়ার দৈর্ঘ্য 7 মি.

প্রদত্ত সমকোণী △ ABC-এ

Cos ∠BAC= $\frac{AC}{AB}$

বা, cos 60° = $\frac{AC}{30}$

বা, $\frac{1}{2}=\frac{AC}{30}$

বা, $AC = \frac{30}{2}= 15$

আবার, সমকোণী △ ACD-এ

sin ∠ADC = $\frac{AC}{AD}$

বা,  $\sin 60°= \frac{15}{AD}$

বা,  $\frac{\sqrt{3}}{2}= \frac{15}{AD}$

বা,  $AD=\frac{2 \times 15}{\sqrt{3}}= 17.32$

নির্ণেয় মান: AD = 17.32 .

প্রদত্ত সমকোণী △ PRS-এ,

tan ∠PSR = $\frac{PR}{RS}$

বা, $\tan 30°=\frac{PR}{\sqrt{3}}$

বা, $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{PR}{\sqrt{3}}$

$\therefore$ PR = 1

আবার, সমকোণী △ PQR-এ,

tan ∠PQR = $\frac{PR}{QR}$

বা, tan 60° = $\frac{1}{QR}$

বা, $\sqrt{3}=\frac{1}{QR}$

$\therefore$ $QR=\frac{1}{\sqrt{3}}$

নির্ণেয় মান : $QR=\frac{1}{\sqrt{3}}$

মনে করি, ঘরটির উচ্চতা, AB=h মিটার এবং ঘরটির খাদের শীর্ষবিন্দু A হতে AC = 20 মিটার দূরে ভূতলম্ব C বিন্দুর

অবনতি কোণ ∠CAM = 30°

∠ACB = ∠CAM = 30°

এখন, ABC সমকোণী ত্রিভুজে, sin ∠ACB = $\frac{AB}{AC}$

বা, sin 30° = $\frac{AB}{20}$

বা, $\frac{1}{2}=\frac{AB}{20}$

বা, 2 AB = 20

$\therefore$ AB = 10

নির্ণেয় ঘরটির উচ্চতা 10 মিটার।

ধরি, দণ্ডের দৈর্ঘ্য, AB = h

এবং ছায়ার দৈর্ঘ্য, BC = x

শর্তমতে,  $h^2=\frac{X^2}{3}$

বা, $h=\frac{x}{\sqrt{3}}$

বা, $x = \sqrt{3}h$

এখন,

tan ∠ACB = $\frac{AB}{BC}$

বা, $\tan \theta =\frac{h}{\sqrt{3}h}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan 30°$

$\therefore$ $\theta$ = 30°

$\therefore$ সূর্যের উন্নতি কোণ 30°.

BCD সমকোণী ত্রিভুজে,

cos ∠BCD = $\frac{BC}{CD}$

বা, $\cos 60°= \frac{10}{CD}$

বা, $\frac{1}{2}= \frac{10}{CD}$

বা, CD = 20

AC = CD = 20 মিটার

AB = AC + BC (20 + 10 মিটার = 30 মিটার)

প্রদত্ত চিত্র হতে, △ ABC-এ, ∠ACB = একান্তর ∠DAC = 60°

tan 60° =$\frac{AB}{BC}$

বা, $\sqrt{3}= \frac{h}{25}$

$\therefore$ $h = 25\sqrt{3}$

নির্ণেয় h এর মান $25\sqrt{3}$ সে.মি.।

△PQR-এ, PQ = 8 ∠PRQ = 60° ∠Q = 90°

tan ∠PRQ = $\frac{PQ}{QR}$

বা, tan 60° = $\frac{8}{QR}$

বা, $\sqrt{3}=\frac{8}{QR}$

$\therefore$ $QR=\frac{8}{\sqrt{3}}$

নির্ণেয় $QR=\frac{8}{\sqrt{3}}$ সে.মি.।

চিত্রে খুঁটির দৈর্ঘ্য AC, BC = 10 মিটার এবং ∠ABC = 60°

ABC সমকোণী ত্রিভুজে,

tan ∠ABC =$\frac{AC}{BC}$

বা, tan 60° = $\frac{AC}{10}$

বা, $\sqrt{3} =\frac{AC}{10}$

বা, AC = $10\sqrt{3}$

$\therefore$ খুঁটির দৈর্ঘ্য $10\sqrt{3}$ মিটার।

ধরি, গাছটির গোড়া থেকে ভূতলস্থ বিন্দুর দূরত্ব মিটার

△ ABC-এ  tan 60° = $\frac{AB}{BC}$ =$\frac{105}{x}$

বা, $\sqrt{3}=\frac{105}{x}$

বা, $x =\frac{105}{\sqrt{3}}=61$

নির্ণেয় দূরত্ব 61 মি.।

ধরি, খুঁটির দৈর্ঘ্য AB = h = $6 \sqrt{3}$ মি.

খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য, BC = x মিটার

সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ACB = $\theta$ = 60°

△ ABC-এ tan $\theta$ = $\frac{AB}{BC}$

বা, $tan60° =\frac{6\sqrt{3}}{x}$

বা,  $\sqrt{3} =\frac{6\sqrt{3}}{x}$

বা, $x =\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ = 6

$\therefore$ খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য 6 মিটার।

এখানে, গাছের উচ্চতা, AB = $2\sqrt{3}$  মিটার, গাছের গোড়া হতে BC = 6 মিটার দূরে উন্নতি কোণ ∠ACB = $\theta$

ABC' সমকোণী ত্রিভুজে,

tan ∠ACB = $\frac{AB}{BC}$

বা, $\tan \theta = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \tan 30°$

$\therefore$ $\theta$ = 30°

$\therefore$ উন্নতি কোণ 30°.

এখানে, মইয়ের দৈর্ঘ্য, AC = 12 মিটার। মইটি AB দেওয়াল থেকে BC = $6\sqrt{3}$ মিটার দূরে ভূমির সাথে ∠ACB = $\theta$ কোণ উৎপন্ন করে দেওয়ালের ছাদ স্পর্শ করে।

এখন, ABC সমকোণী ত্রিভুজে,

cos ∠ACB = $\frac{BC}{AC}$

বা,  $\cos \theta = \frac{6\sqrt{3}}{12 }= \frac{\sqrt{3}}{2}= \cos 30°$

$\therefore$ $\theta$ = 30°

$\therefore$ নির্ণেয় মান : $\theta$ = 30°

গাছটির দৈর্ঘ্য AB = 3

এবং ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = $\sqrt{3}$

$\therefore$ tan ∠ACB = $\frac{AB}{BC}$

বা, $\tan \theta =\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

বা, tan $\theta$ = tan 60°

$\therefore$ $\theta$ = 60°

$\therefore$ নির্ণেয় উন্নতি কোণ $\theta$ = 60°

ধরি, খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য, BC = x একক

$\therefore$ খুঁটি, AB = $\sqrt{3}$ x একক

অবনতি কোণ, ∠CAD = $\theta$ = ∠ACB

△ ABC-এ tan ∠ACB = $\frac{AB}{BC}$ = $\frac{\sqrt{3}x}{x}$= $\sqrt{3}$ = tan 60°

$\therefore$ $\theta$ = 60°

$\therefore$ নির্ণেয় অবনতি কোণ 60°.

প্রদত্ত চিত্র হতে,

∠ADB=90° - ∠BAD = 90°- 30° = 60°

∴ ∠ADC=180° - ∠ADB = 180° - 60° = 120°

∴ ∠CAD = 180° - ∠ADC - ∠ACD

= 180° - 120° - 20° = 180° - 140° = 40°

নির্ণেয় ∠CAD = 40°