সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

X ও Y সেট হলে তাদের কার্তেসীয় গুনজ সেট X $\times$ Y এর কোনো উপসেটকে X হতে Y এর একটি অন্বয় বলা হয়। অর্থাৎ, $R\subseteq X \times Y$ হলো X হতে Y এ বর্ণিত অন্বয়।

দেওয়া আছে, P = {2, 3, 5} এবং Q = {4, 6}

প্রশ্নানুসারে, R = {(x, y) : x ∈ P, y ∈ Q এবং y = 2x }

এখানে, P$\times$Q = {2, 3, 5} $\times$ {4, 6}

= {(2, 4), (2, 6), (3, 4), (3, 6), (5, 4), (5, 6)}

y = 2x সম্পর্ক বিবেচনা করে অন্বয় R = {(2, 4), (3, 6)}

নির্ণেয় অন্বয় {(2, 4), (3, 6)}

দেওয়া আছে, A = {1, 2, 3} এবং B = {0, 2, 4}

প্রশ্নানুসারে, অন্বয় R = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B এবং x = y - 1 }

এখানে, A$\times$B = {1, 2, 3}$\times${0, 2, 4}

={(1, 0), (1, 2), (1, 4), (2, 0), (2, 2), (2, 4) , (3,0), (3, 2), (3, 4)}

x = y - 1 সম্পর্ক বিবেচনা করে অন্বয় R = {(1, 2), (3, 4)}

নির্ণেয় অন্বয় {(1, 2), (3, 4)}

দেওয়া আছে, A = {3, 4} এবং B = {2, 4}

শর্তমতে, অন্বয় R = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B এবং x ≥ y}

এখানে, A$\times$B = {3, 4}$\times${2, 4}

= {(3, 2)(3, 4), (4, 2), (4, 4)}

x ≥ y সম্পর্কটি বিবেচনা করে অন্বয় R = {(3, 2), (4, 2), (4, 4)}

নির্ণেয় অন্বয় {(3, 2), (4, 2), (4, 4)}

দেওয়া আছে, A = {0, 1, 2, 3}

এবং R={ (x, y) : $x\in A ,y\in A$ এবং y = x + 1 }

প্রত্যেক $x\in A$ এর জন্য y = x + 1 এর মান নির্ণয় করি :

যেহেতু 4$\notin$A, সেহেতু (3, 4) $\notin$R

$\therefore$R = {(0, 1), (1, 2), (2, 3)}

দুইটি চলক x এবং y এমনভাবে সম্পর্কিত যেন x এর যেকোনো একটি মানের জন্য y এর একটিমাত্র মান পাওয়া যায়, তবে y কে x এর ফাংশন বলা হয়। x এর ফাংশনকে সাধারণত y, f(x), g(x), F(x) ইত্যাদি দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

যেমন, y = x + 2 এর ক্ষেত্রে,

x = 15 হলে y = 3

x= 2 হলে, Y = 4

x = 3 হলে, y = 5

$\therefore$ x-এর একটি মানের জন্য y-এর একটিমাত্র মান পাওয়া যায়।

y = x + 2 একটি ফাংশন।

দেওয়া আছে,

$F\left(x\right)=x^3-2x+3$

$F(-3)=(-3{)}^3-2(-3)+3$

= - 27 + 6 + 3 = - 27 + 9 = - 18

নির্ণেয় F(- 3) = - 18

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=x^4+5x-3$

$f\left(\frac{1}{3}\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^4+5\left(\frac{1}{3}\right)-3$

$= \frac{1}{81}+ \frac{5}{3}- 3 =\frac{1 + 135 - 243}{81}= - \frac{107}{81}$

নির্ণেয় মান : $- \frac{107}{81}$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\frac{5x - 3}{3x - 1}$

$f\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{ 5\left(- {\displaystyle \frac{1}{3}}\right)- 3}{3\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)-1} = \frac{-{\displaystyle \frac{5}{3}}- 3}{- {\displaystyle \frac{3}{3}}- 1}= \frac{{\displaystyle \frac{- 5 - 9}{3}}}{ -1-1}= \frac{{\displaystyle \frac{-14}{3}}}{-2}$

$=\frac{- 14}{3}\times \frac{1}{- 2}=\frac{7}{3}$

নির্ণেয় মান : $\frac{7}{3}$

দেওয়া আছে, $f\left(a\right)=\frac{2a - 1}{2a + 1}$

$f\left(-\frac{1}{3}\right)= \frac{2\left(- {\displaystyle \frac{1}{3}}\right)- 1}{2\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)+ 1}=\frac{- {\displaystyle \frac{2}{3}}- 1}{-{\displaystyle \frac{2}{3}}+ 1} = \frac{{\displaystyle \frac{- 2 - 3}{3}}}{{\displaystyle \frac{-2+3}{3}}}$

$=\frac{- 2 - 3}{3}\times \frac{3}{- 2 + 3}=-\frac{5}{1}= - 5$

নির্ণেয় মান : - 5.

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=x^4+5x^3-3$

$g(-1)=(-1{)}^4+5 (-1{)}^3-3$

= 1 - 5 - 3 = -7.

নির্ণেয় মান : - 7.

দেওয়া আছে , $f\left(x\right)=x^3-7x+6$

$\therefore$ $f\left(2\right)=2^3-7.2+6$

= 8 - 14 - 6 = 14 - 14 = 0.

নির্ণেয় মান 0.

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^3-5x+2$

$\therefore$ $f(-2)=(-2{)}^3-5(-2)+2$

= - 8 + 10 + 2 = 4 .

নির্ণেয় মান 4

দেওয়া আছে,  $f\left(x\right)=x^3-6x+3$

$\therefore$ $f(-3)=(-3{)}^3-6(-3)+3=-27 +18 + 3 =-6$

নির্ণেয় মান : - 6.

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)=x^3-4x+5$

$P\left(2\right)=2^3-4.2+5=8-8+5=5$

নির্ণেয় মান 5.

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^4+7x^2-5$

$f(-1)=(-1{)}^4+7(-1{)}^2-5$

=( 1 + 7 - 5 ) = 3.

নির্ণেয় মান 3.

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=x^4+5x+3$

$\therefore$ $f(-2)=(-2{)}^4+5(-2)+3$

= 16 - 10 + 3 = 19 - 10 = 9

নির্ণেয় মান 9.

ফাংশনের S এর অন্তর্ভুক্ত ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানসমূহের সেটকে S এর ডোমেন এবং দ্বিতীয় উপাদানসমূহের সেটকে S এর রেঞ্জ বলে। S এর ডোমেনকে ডোম S এবং রেঞ্জকে রেঞ্জ S লিখে প্রকাশ করা হয়।

দেওয়া আছে,  $f\left(x\right)=\frac{ax + b}{cx + d}$

f(x) সংজ্ঞায়িত হবে যদি ও কেবল যদি cx +d $\ne$ 0 হয়।

বা, cx $\ne$- d

$\therefore$ $x\ne -\frac{d}{c}$

$\therefore$ ডোমেন, $f=\mathrm{ℝ}-\left\{-\frac{d}{c}\right\}$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\frac{2x + 3}{5x - 3}$

f(x) সংজ্ঞায়িত হবে যদি ও কেবল যদি 5x - 3 ≠ 0 হয়

বা, 5x ≠ 3

$\therefore$ $x \ne \frac{3}{5}$

$\therefore$ ডোমেন $f=R-\left\{\frac{3}{5}\right\}$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right) = \frac{2}{2x - 3}$

f(x) সংজ্ঞায়িত হবে যদি এবং কেবল যদি 2x -3 ≠ 0 হয়

বা, 2x ≠ 3

$\therefore$ $x \ne \frac{3}{2}$

$\therefore$ ডোমেন, $f=\mathrm{ℝ}-\left\{\frac{3}{2}\right\}$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right) =\sqrt{5x - 1}$

$f\left(x\right)=\sqrt{5x-1}\in R$ হবে যদি এবং কেবল যদি $5x - 1 \ge 0$ হয়

বা, $5x \ge 1$

বা, $x \ge \frac{1}{5}$

ডোম, $f=\{ x : x\in R$ এবং $x\ge 15 \}$ $=[\frac{1}{5},\infty ).$

দেওয়া আছে, $h\left(x\right) =\sqrt{3 - 2x}$

$h\left(x\right)=\sqrt{3-2x}\in R$ হবে যদি এবং কেবল যদি $3 - 2x \ge 0$ হয়

বা, $3\ge 2$

বা, $2x \le 3$

বা, $\frac{2x}{2}\le \frac{3}{2}$[2 দ্বারা ভাগ করে]

$\therefore$ $x \le \frac{3}{2}$

$\therefore$ ডোমেন, $h\left(x\right)= \{ x : x \in R$ এবং $x\le \frac{3}{2}$} $=(-\infty ,\frac{3}{2} ].$

দেওয়া আছে, $g\left(x\right) = \sqrt{2x + 1}$

x এর যে সকল বাস্তব মানের জন্য g(x) বাস্তব মান পাওয়া যায়, সেগুলোই g(x) এর ডোমেন।

$g\left(x\right)=\sqrt{2x+1}\in R$ হবে যদি এবং কেবল যদি $2x + 1 \ge 0$ হয়।

বা, $2x\ge - 1$

$\therefore$ $x \ge -\frac{1}{2}$

$\therefore$ g(x) এর ডোমেন = { $x : x\in \mathrm{ℝ}$ এবং $x \ge -\frac{1}{2}$ }

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=\sqrt{2 - x}$

$g\left(x\right)=\sqrt{2-x}\in \mathrm{ℝ}$ হবে যদি এবং কেবল যদি $2 - x \ge 0$ হয়

বা, $2 \ge x$

বা, $x \le 2$

ডোম, g = { $x : x\in \mathrm{ℝ}$ এবং $x\le 2 \} =(-\infty ,2]$

দেওয়া আছে, $g\left(x\right) =\frac{4}{\sqrt{3x - 4}}$

g(x) সংজ্ঞায়িত হবে যদি এবং কেবল যদি 3x - 4 > 0 হয়

বা, 3x > 4

$\therefore$ $x > \frac{4}{3}$

$\therefore$ ডোমেন, $g=\left\{x\in \mathrm{ℝ} : x>\frac{4}{3}\right\}=\left(\frac{4}{3},\infty \right)$

নির্ণেয় ডোমেন, $g=\left(\frac{4}{3},\infty \right)$

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{1 - 2x}}$

$g\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-2x}}\in \mathrm{ℝ}$ হবে যদি এবং কেবল যদি  $\sqrt{1 - 2x}> 0$

বা, 1 - 2x > 0

বা, 1 > 2x

বা, 2x < 1

$\therefore$ $x < \frac{1}{2}$

$\therefore$ ডোমেন, $g\left(x\right)= \{ x : x\in \mathrm{ℝ}$ এবং $x < \frac{1}{2}$ } = $\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right).$

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{5 - 2x}}$

$g\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{5-2x}}\in \mathrm{ℝ}$ হবে যদি এবং কেবল যদি $\sqrt{5 - 2x}> 0$

বা, 5 - 2x > 0

বা, 5 > 2x

বা, 2x < 5

$\therefore$ $x<\frac{5}{2}$

g(x) এর ডোমেন $= \{ x : x\in \mathrm{ℝ}$ এবং  $x<\frac{5}{2}$ } = $\left(-\infty ,\frac{5}{2}\right).$

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=\frac{7x}{\sqrt{5x + 3}}$

$g\left(x\right)=\frac{7x}{5x+3}\in \mathrm{ℝ}$ হবে যদি ও কেবল যদি 5x + 3 > 0 হয়

বা, 5x > - 3

$\therefore$ $x > -\frac{3}{5}$

$\therefore$ g(x) এর ডোমেন $= \left(-\frac{3}{5}, \infty \right)$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sqrt{x - a}$

f(x) সংজ্ঞায়িত হবে যদি ও কেবল যদি $x - a\ge 0$

বা, $x \ge a$

$\therefore$ ডোম, $f = [a, +\infty )$

এখন, x = a হলে,

$f\left(a\right) =\sqrt{a - a}= 0$

অর্থাৎ $x \ge a$ এর জন্য f(x) কে সংজ্ঞায়িত করা যাবে।

$\therefore$ রেঞ্জ, $f = [ 0, +\infty )$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sqrt{x - 2}$

f(x) সংজ্ঞায়িত হবে যদি ও কেবল যদি $x - 2 \ge 0$

$\therefore$ $x \ge 2$

$\therefore$ ডোম, $f = [2, +\infty )$

এখন, x = 2 হলে, $f\left(2\right) =\sqrt{2 - 2}= 0$

অর্থাৎ, $x \ge 2$ এর জন্য f(x) কে সংজ্ঞায়িত করা যাবে।

$\therefore$ রেঞ্জ, $f = [ 0, +\infty )$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right) = \sqrt{a-x}$

f(x) সংজ্ঞায়িত হবে যদি ও কেবল যদি $a - x \ge 0$

বা, $a\ge x$

$\therefore$ $x\le a$

$\therefore$ ডোম, $f= (-\infty , a]$

এখন, x = a হলে, $f\left(a\right)=\sqrt{a - a}= 0$

$x\le a$ অর্থাৎ x এর মান a থেকে ছোট অথবা সমান হলে f(x) এর সকল বাস্তব মান পাওয়া যাবে।

$\therefore$ রেঞ্জ, $f = [0, +\infty )$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right) = \sqrt{5 - x}$

f(x) সংজ্ঞায়িত হবে যদি ও কেবল যদি $5 - x \ge 0$

বা, $5 \ge x$

$\therefore$ $x \le 5$

$\therefore$ ডোম, $f = (- \infty , 5]$

এখন, x = 5 হলে, $f\left(5\right) =\sqrt{5 - 5} = 0$

$\therefore$ $x \le 5$ এর জন্য f(x) কে সংজ্ঞায়িত করা যাবে।

$\therefore$ রেঞ্জ, $f = [0, +\infty )$

দেওয়া আছে, S = {(2, 1), (2, 2), (3, 2), (5, 6)}

S অন্বয়ে ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানসমূহ 2, 2, 3, 5 এবং দ্বিতীয় উপাদানসমূহ 1, 2, 2, 6.

$\therefore$ ডোম S = {2, 3, 5} এবং রেঞ্জ S = {1, 2, 6}

প্রদত্ত অন্বয়, R = {(- 9, 2)(- 1, 1), (0, 1), (5, - 5)}

এখানে, অন্বয়টিতে একই প্রথম উপাদানবিশিষ্ট একাধিক ভিন্ন ক্রমজোড় নেই। অর্থাৎ, ক্রমজোড়গুলোর প্রথম সদস্য ভিন্ন ভিন্ন।

$\therefore$ R অন্বয়টি ফাংশন।

$\therefore$R এর ডোমেন = {-9, 1, 0,5}

দেওয়া আছে, S = {(- 3, 2), (3, 3), (4, 3)}

S অন্বয়ের ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানসমূহ – 3, 3, 4 এবং দ্বিতীয় উপাদানসমূহ 2, 3, 3.

$\therefore$ ডোমেন S = {- 3, 3, 4} এবং রেঞ্জ S = {2, 3} .

দেওয়া আছে, S = {(3, 1), (3, 3), (4, 3), (5, 4)}

S অন্বয়ের ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানসমূহ 3, 3, 4, 5 এবং দ্বিতীয় উপাদানসমূহ 1, 3, 3, 4.

$\therefore$ ডোমেন S = {3, 4, 5} এবং রেঞ্জ, S = {1, 3, 4}

দেওয়া আছে, S = {(3, 1), (3, 2), (4, 2)}

S অন্বয়ের ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানসমূহ 3, 3, 4 এবং দ্বিতীয় উপাদানসমূহ 1, 2, 2.

$\therefore$ ডোমেন S = {3, 4} এবং রেঞ্জ S = {1, 2}.

দেওয়া আছে, R = {(- 4, 5), (2, 7), (1, 0)}

R অন্বয়ের ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানসমূহ – 4, 2, 1 এবং দ্বিতীয় উপাদানসমূহ 5, 7, 0.

$\therefore$ ডোমেন R = {-4, 2, 1} এবং রেঞ্জ R = {0, 5, 7}.

দেওয়া আছে, S = {(2, 1), (2, 2), (3, 2), (4, 5)}

S অন্বয়ের ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানসমূহ 2, 2, 3, 4 এবং দ্বিতীয় উপাদানসমূহ 1, 2, 2, 5.

$\therefore$ ডোমেন S = {2, 3, 4} এবং রেঞ্জ S = {1, 2, 5}

যদি f : A → B একটি. এক এক ফাংশন এবং অনটু ফাংশন হয় তাহলে একটি ফাংশন $f^{-1 }: B \to A$ বিদ্যমান আছে। যেখানে প্রত্যেক b ∈ B এর একটি অনন্য $f^{-1 }\left(b\right) \in A$ বিদ্যমান। তবে $f^{-1}$ কে  f এর বিপরীত ফাংশন বলা হয়।

যদি কোনো ফাংশনের অধীনে এর ডোমেনের ভিন্ন ভিন্ন সদস্যের ছবি সর্বদা ভিন্ন হয় তবে ফাংশনটিকে এক-এক ফাংশন বলা হয়। কোনো ফাংশন f(x) কে এক-এক ফাংশন বলা হবে যদি ও কেবল যদি $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$ হলে,  $x_1=x_2$ হয়, যেখানে $x_1 , x_2$ $\in$ডোমেন f.

একটি ফাংশন f : A → B কে সার্বিক ফাংশন বা অনটু ফাংশন বলা হবে যদি প্রত্যেক $b\in B$ এর জন্য একটি $a\in A$ পাওয়া যায় যেন f(a) = b হয়। অর্থাৎ, B = রেঞ্জ f.

দেওয়া আছে,$f\left(x\right)=\sqrt{x - 5}$

ধরি, $y= f\left(x\right)=\sqrt{x - 5}$

এখন, $y = \sqrt{x - 5}$

বা, $y^2=x-5$ [বর্গ করে]

বা, $x=y^2+5$

বা, $f^{-1}\left(y\right)=y^2+5$

$\therefore$ $f^{-1} \left(x\right)=x^2+5$

$\therefore$ $f^{-1}(-3)=(-3{)}^2+5$

=9 + 5 = 14

নির্ণেয় মান: 14.

দেওয়া আছে,

F(t) = 2t - 1

ধরি,  y = F(t) = 2t - 1

বা, 2t = y + 1

বা, $t=\frac{y + 1}{2}$

বা, $F^{-1} \left(y\right)=\frac{y+1}{2}$

বা, $F^{-1} \left(t\right)= \frac{t+1}{2}$

এখন, $F^{-1}\left(1\right)=\frac{1+1}{2}=\frac{2}{2}=1$

নির্ণেয় মান 1.

দেওয়া আছে,

$g\left(x\right) = 1 - x$

মনে করি,  y = g(x)

এখন, y = 1 - x

বা, x = 1 - y

বা, $g^{-1} \left(y\right)= 1 - y$

$\therefore$ $g^{-1}\left(x\right)=1-x$

$\therefore$ $g^{-1}\left(2\right)=1-2=-1$

নির্ণেয় মান : -1.

দেওয়া আছে, $f\left(x\right) = \sqrt{2x + 1}$

ধরি, $y= f\left(x\right)=\sqrt{2x + 1}$

এখন, $y =\sqrt{2x + 1}$

বা, $y^2=2x+1$

বা, $2x=y^2-1$

বা, $x=\frac{y^2-1}{2}$

বা, $f^{-1}\left(y\right)=\frac{y^2-1}{2}$ $\left[\because f\left(x\right)=y ,x=f^{-1}\left(x\right)\right]$

$f^{-1}\left(x\right)=\frac{x^2-1}{2}$

এখন, $f^{-1} (-2)=\frac{(-2{)}^2-1)}{2}=\frac{4-1}{2}=\frac{3}{2}$

নির্ণেয় মান : $\frac{3}{2}$

দেওয়া আছে,  $f\left(x\right) =\sqrt{x - 4}$

ধরি, $a = f^{-1} (- 3)$

তাহলে, f(a) = - 3

বা, $\sqrt{a - 4}= - 3$

বা, a - 4 = 9 [বর্গ করে]

বা, a = 4 + 9 = 13

$\therefore$ a = 13

$\therefore$ $f^{-1} (- 3) = 13$

নির্ণেয় $f^{-1} (- 3)$ এর মান 13.

দেওয়া আছে, $B\left(x\right)=\frac{2x - 1}{2x + 3}$ এবং $g\left(\frac{x}{2}\right)= x$

এখন, $g \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{2 \times {\displaystyle \frac{x}{2}}- 1}{2 \times {\displaystyle \frac{x}{2}}+ 3}= \frac{x - 1}{x + 3}$

প্রশ্নমতে, $\frac{x - 1}{x + 3}= x$

বা, $x-1=x^2+3x$

বা, $x^2+3x-x+1=0$

বা, $x^2+2x+1=0$

বা, $x^2+2.x.1+1^2=0$

বা, $(x+1{)}^2=0$

বা, x + 1 = 0  [বর্গমূল করে]

$\therefore$ x = - 1

নির্ণেয় মান : x = - 1 .

ধরি, y = f(x) = 3x + 2

বর্ণিত ফাংশন হতে x ও y এর সংশ্লিষ্ট মান ছকে নির্ণয় করি :

ফাংশনটির লেখ নিচে দেখানো হলো :

দেওয়া আছে,

$S=\left\{\right(x,y) : (x^2)+y^2=16\}$

এখানে,  $x^2+y^2=16$

বা, $x^2+y^2=4^2$ যা একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্দেশ করে যার ব্যাসার্ধ r = 4 এবং কেন্দ্র (0,0)

S এর লেখচিত্র নিচে দেখানো হলো :