সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

অজানা বা অজ্ঞাত রাশি বা চলক, প্রক্রিয়া চিহ্ন এবং সমান চিহ্ন সংবলিত গাণিতিক বাক্যকে সমীকরণ বলে।

যেমন, x +2=3, 2x+3=5, x + y = 2...... ইত্যাদি সমীকরণ।

সমীকরণের দুইটি বৈশিষ্ট্য হলো:
(i) সমীকরণের দুইটি অংশ বা পক্ষ। যথা: বামপক্ষ ও ডানপক্ষ।
(ii) সমীকরণে অবশ্যই সমান চিহ্ন (=) থাকবে।

অজ্ঞাত রাশির বা চলকের একঘাতবিশিষ্ট সমীকরণকে সরল সমীকরণ বলে।

যেমন, x + 1 = 3, 2x-35, x+y=y+3.... ইত্যাদি সরল সমীকরণ।

সরল সমীকরণের দুইটি বৈশিষ্ট্য হলো:
(i) সরল সমীকরণের প্রতিটি চলকের ঘাত এক।
(ii) এক চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণের চলকের একটি মান বিদ্যমান।

একটি সমীকরণ থেকে এর চলকটির মান নির্ণয় করার প্রক্রিয়াকে বলা হয় সমীকরণের সমাধান। চলকের মানকে বলা হয় সমীকরণটির মূল। এই মূল দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হয়। অর্থাৎ, সমীকরণটির দুই পক্ষ সমান হয়। সমাধানে চলকটিকে সাধারণত বামপক্ষে রাখা হয়।

সমীকরণের চলকের যে মানের জন্য সমীকরণটি সিদ্ধ হয় অর্থাৎ সমীকরণের উভয়পক্ষ সমান হয় তাকে সমীকরণের মূল বলে। যেমন, 3-x = 14 সমীকরণের মূল -11 .

সমীকরণ সমাধানে যোগ ও বিয়োগের স্বতঃসিদ্ধ হলো:
(i) পরস্পর সমান রাশির প্রত্যেকটির সাথে একই রাশি যোগ করলে যোগফলগুলো পরস্পর সমান হয়। যেমন, a = b হলে, a + c =b+c | এখানে উভয়পক্ষে যোগ করা হয়েছে।
(ii) পরস্পর সমান রাশির প্রত্যেকটির সাথে একই রাশি বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলো পরস্পর সমান হয়। যেমন, a = b হলে, a - c = b - c I এখানে উভয়পক্ষ থেকে বিয়োগ করা হয়েছে।

সমীকরণ সমাধানে গুণ ও ভাগের স্বতঃসিদ্ধ হলো:
(i) পরস্পর সমান রাশির প্রত্যেকটিকে একই রাশি, দ্বারা গুণ করলে গুণফলগুলো পরস্পর সমান হয়। যেমন, a = b হলে, ac = bc বা ca = cbI এখানে উভয়পক্ষকে দ্বারা গুণ করা হয়েছে।
(ii) পরস্পর সমান রাশির প্রত্যেকটিকে অশূন্য একই রাশি দ্বারা ভাগ করলে ভাগফলগুলো পরস্পর সমান হয়। যেমন, a = b হলে, $\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$ এখানে উভয়পক্ষকে দ্বারা ভাগ করা হয়েছে, c$\ne$0

5x - 2 = 18
বা, 5x - 2 + 2 = 18 + 2 [উভয়পক্ষে 2 যোগ করে] ]

বা, 5x = 20

বা, $x=\frac{20}{5}=4$

নির্ণেয় মূল: 4 x = $\frac{20}{5}$ = 4

3x - 6 = x + 2
বা, 3x - x = 2 + 6

বা, 2x = 8 x =$\frac{8}{2}$ = 4

নির্ণেয় মান: x = 4.

5x + 3 = 18

বা, 5x + 3 - 3 = 18 - 3 (উভয়পক্ষ থেকে 3 বিয়োগ করে]

বা, 5x = 15

বা, $\frac{5x}{5}=\frac{15}{5}$ [উভয়পক্ষকে 5 দ্বারা ভাগ করে। ]

x = 3

নির্ণেয় সমাধান: x = 3

3z - 8 = z + 2

বা, 3z - z = 8 + 2 [পক্ষান্তর করে]

বা, 2z = 10

বা, $z=\frac{10}{2}=5$

.. সমীকরণটির মূল 5.

5y - 2 = 3y + 8
বা, 5y - 2 + 2 = 3y + 8 + 2 [উভয়পক্ষে 2 যোগ করে]

বা, 5y = 3y + 10

বা, 5y - 3y = 3y + 10 - 3y [উভয়পক্ষ থেকে 3y বিয়োগ করে]

বা, 2y = 10 বা, [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

বা, $\frac{2y}{2}=\frac{10}{2}$

বা, y = 5

$\frac{y}{6}=5$

বা, $\frac{y}{6}x 6=5\times 6$ [উভয়পক্ষকে 6 দ্বারা গুণ করে]

.. y = 30

নির্ণেয় সমাধান: y = 30

x - 3 = 10

বা, x - 3 + 3 = 10 + 3 [উভয়পক্ষে ও যোগ করে।

.. x = 13

y + 7 = 12
বা, y + 7 - 7 = 12 - 7 [উভয়পক্ষে থেকে 7 বিয়োগ করে]
$\therefore$ y = 5

3x - 1 = 29

বা, 3x - 1 + 1 = 29 + 1 [উভয়পক্ষে 1 যোগ করে]

বা, 3 x =30

বা,  $\frac{3x}{3}=\frac{30}{3}$  উভয়পক্ষে ও দ্বারা ভাগ করে]
.. x = 10
নির্ণেয় সমাধান: x = 10

মনে করি, সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে- x, x + 1 x + 2

প্রশ্নমতে, x + x + 1 + x + 2 = 51

বা, 3x + 3 = 51 বা, 3x = 51 - 3 [পক্ষান্তর করে]

বা, 3x = 48 x = 48/3 = 16
... সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে: 16, 16+1, 16+2, বা, 16, 17, 18
নির্ণেয় ক্রমিক সংখ্যা তিনটি: 16, 17, 18

মনে করি, জোড় সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে x, x + 2 এবং x + 4

প্রশ্নমতে, x + x + 2 + x + 4 = 24

বা, 3x + 6 = 24

বা, 3x = 24 - 6

বা, 3x = 18

x = $\frac{18}{3}$ = 6

.. সংখ্যা তিনটি = 6 , 6+2,6+4  বা, 6, 8, 10

মনে করি,

'বিজোড় সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে x + 1, x + 3, x + 5

প্রশ্নমতে, x + 1 + x + 3 + x + 5 = 45

বা, 3x + 9 = 45

বা, 3x = 45 - 9

বা, 3x = 36

বা, $x=\frac{36}{3}=12$

তিনটি বিজোড় সংখ্যা যথাক্রমে: 12 + 1, 12 + 3, 12 + 5

অর্থাৎ 13, 15, 17

প্রশ্নমতে, 2 + 1 = 1 * 5

বা; 2x = 15 - 1 [পক্ষান্তর করে]

বা, 2x = 14 .. x = 7

নির্ণেয় মান x = 7

মনে করি, রহিমের চকলেট আছে xটি
করিমের চকলেট আছে 2xটি

প্রশ্নমতে, x + 2x = 36

বা, 3x = 36

x = 36/3 = 12

নির্ণেয় চকলেট সংখ্যা 12টি।

মনে করি,

খাতার মূল্য x টাকা

.. বইয়ের মূল্য 5x টাকা

প্রশ্নমতে, x + 5x = 120

বা, 6x = 120

বা, $x=\frac{120}{6}\equiv 20$

নির্ণেয় খাতার মূল্য 20 টাকা।

মনে করি, কলমের মূল্য = x টাকা

প্রশ্নমতে, x - 5 = 20

বা, x = 20 + 5 [পক্ষান্তর করে]

$\therefore$  x = 25

$\therefore$ কলমের মূল্য 25 টাকা।

মনে করি,

প্রতিটি কলমের মূল্য x টাকা

প্রশ্নমতে, 6x = 100 - 40

বা, 6x = 60

বা,  $x=\frac{60}{6}=10$

.. প্রতিটি কলমের মূল্য 10 টাকা।

এখানে, ছোট সংখ্যা = y

বড় সংখ্যা = y + 1

শর্তমতে, y + y + 1 = 45

বা, 2y + 1 = 45

নির্ণেয় সমীকরণ 2y + 1 = 45 .

এখানে, সংখ্যাটি = x

x এর দ্বিগুণ = 2x = 2x

'x এর তিনগুণ = 3x = 3x

শর্তমতে, 2x + 5 = 3x

বা, 3x = 2x + 5

বা, 3x - 2x = 5

$\therefore$ x = 5
নির্ণেয় সংখ্যা 5.

এখানে, ছোট সংখ্যাটি = x

$\therefore$ বড় সংখ্যাটি = x + 1

শর্তমতে, x + x + 1 = 75

বা, 2x + 1 = 75

$\therefore$ নির্ণেয় সমীকরণ 2x + 1 = 75.

এখানে, পেনসিলটির দাম y টাকা

শর্তমতে, y - 5 = 15

বা, y - 5 + 5 = 15 + 5 [উভয়পক্ষে 5 যোগ করে]

$\therefore$ y = 20

$\therefore$ পেনসিলটির দাম 20 টাকা।

এখানে, দৈর্ঘ্য x মিটার  

প্রস্থ  = (x - 2) মিটার

শর্তমতে, 2(x + x - 2) = 76

নির্ণেয় সমীকরণ 2(x + x - 2) = 76

ধরি, বোয়াল মাছটির ওজন y কেজি

প্রশ্নমতে, y + 3 = 8

বা, y = 8 - 3 = 5

.. বোয়াল মাছটির ওজন 5 কেজি।

ধরি, জবার কাছে x টাকা ছিল।

প্রশ্নমতে, x + 500 = 1100

বা, x = 1100 - 500

বা, x = 600

জবার কাছে 600 টাকা ছিল।

ধরি, সংখ্যাটি x
সংখ্যাটির দ্বিগুণ করলে 2x হবে এবং এর সাথে ১ যোগ করলে
হবে 2x + 5
প্রশ্নমতে, 2x + 5 = 17
বা, 2x + 5 - 5 = 17 - 5 [উভয়পক্ষ থেকে 5 বিয়োগ করে]
বা, 2x = 12
বা, $\frac{2x}{2}=\frac{12}{2}$ [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]
বা, x = 6
... সংখ্যাটি 6: