সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে কিন্তু উচ্চতা নেই, তাকে তল বলে। যেমন: কাগজের উপরিভাগ হচ্ছে তল। ইটের প্রতিটি পৃষ্ঠই এক-একটি তল।

যে বস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, বেধ বা উচ্চতা আছে তাকে ঘনবস্তু বলে। যেমন: বই, ইট ইত্যাদি।

কোনো নির্দিষ্ট আকারের বস্তু যতটুকু জায়গা দখল করে তাকে স্থান বলে।

ঘনবস্তুর একটি তল অপর একটি তলের সাথে যেখানে মিলিত হয়, তা হচ্ছে ধার। ধার হচ্ছে রেখার একটি অংশের প্রতিরূপ।

যার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, বৈধ বা উচ্চতা কিছুই নেই, কেবল অবস্থান রয়েছে তাকে বিন্দু বলে। যেমন: (.) একটি বিন্দু। বিন্দুকে A, B, P, Q এর ন্যায় একটি অক্ষর দ্বারা নির্দেশ করা হয়।

যার নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই, তাকে রেখা বলে। রেখার কোনো প্রান্তবিন্দু নেই।

চিত্রে AB একটি রেখা।

যার নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য আছে, তাকে রেখাংশ বলে। রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু আছে।

চিত্রে AB একটি রেখাংশ।

যার একটি প্রান্তবিন্দু আছে কিন্তু নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই, তাকে রশ্মি বলে।

চিত্রে AB একটি রশ্মি।

রেখা ও রেখাংশের মধ্যে দুইটি পার্থক্য নিম্নরূপ :
(i) রেখার নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই। কিন্তু রেখাংশের নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য আছে।
(ii) রেখার প্রান্তবিন্দু নেই। কিন্তু রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু আছে।

রেখা ও রশ্মির মাঝে একটি মিল হলো: এদের নির্দিস্ট দৈর্ঘ্য নেই। আবার, রেখা ও রশ্মির একটি অমিল হলো: রেখার কোনো প্রান্তবিন্দু নেই কিন্তু রশ্মির একটি প্রান্ত বিন্দু আছে।

রেখাংশ ও রশ্মির মধ্যে দুইটি পার্থক্য নিম্নরূপ :
(i) রেখাংশের নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য আছে। কিন্তু রশ্মির নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই।
(ii) রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু আছে। কিন্তু রশ্মির একটি প্রান্তবিন্দু আছে।

চিত্রে ১টি রেখা রয়েছে। যথা: AD ১টি রেখাংশ রয়েছে। যথা: BC এবং ৪টি রশ্মি রয়েছে। যথা: BA, CD, CA ও BD।

চিত্রে বিদ্যমান রেখাটি হলো: CD;
রেখাংশটি হলো: AO;
এবং রশ্মিগুলো হলো: AB, OB, OC, ODI

একই সমতলে দুইটি রশ্মি একটি বিন্দুতে মিলিত হলে কোণ তৈরি হয়। রশ্মি দুইটিকে কোণের বাহু এবং তাদের সাধারণ বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বলে। চিত্রে PO ও QO রশ্মিদ্বয় পরস্পর ০ বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।

.. POQ একটি কোণ।

দুইটি পরস্পর বিপরীত রশ্মি তাদের সাধারণ প্রান্তবিন্দুতে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে সরল কোণ বলে।

'চিত্রে ∠BAC এক সরল কোণ। সরল কোণের পরিমাপ 180°।

কোনো তলে দুইটি কোণের শীর্ষবিন্দু একই হয় এবং কোণদ্বয় সাধারণ বাহুর বিপরীত পাশে থাকলে, ঐ কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলে।

চিত্রে, ∠BAC এবং ∠CAD পরস্পর সন্নিহিত কোণ।

যদি একই রেখার উপর অবস্থিত দুইটি সন্নিহিত কোণ পরস্পর সমান হয়, তবে কোণ দুইটির প্রত্যেকটি সমকোণ। সমকোণের বাহু দুইটি পরস্পরের উপর লম্ব। চিত্রে, $\angle$BAC ও $\angle$CAD পরস্পর সমান এবং এদের প্রত্যেকটি সমকোণ। আবার, AD ও AC বাহুদ্বয় বা AB ও AC বাহুদ্বয় পরস্পরের উপর লম্ব।

দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল 90 $°$হলে, কোণ দুইটির একটি অপরটির পূরক কোণ। চিত্রে, $\angle$AOB = 90 $°$
.. $\angle$AOC ও $\angle$BOC পরস্পরের পূরক কোণ।

দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল 180 $°$হলে, কোণ দুইটির একটি অপরটির সম্পূরক কোণ।
চিত্রে, $\angle$AOB এক সরল কোণ অর্থাৎ 180 $°$।
:. $\angle$AOC ও $\angle$BOC কোণ দুইটির একটি অপরটির সম্পূরক কোণ

কোনো কোণের বিপরীত রশ্মিদ্বয় যে কোণ তৈরি করে, তাকে ঐ কোণের বিপ্রতীপ কোণ বলে।
চিত্রে, $\angle$BOD ও $\angle$ AOC কোণ দুইটি পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ। আবার, $\angle$AOD ও $\angle$ BOC কোণ দুইটি পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ।

চি

চিত্রে চাঁদার সাহায্যে $\angle$AOB আঁকা হলো যার পরিমাণ 55 $°$

চাঁদার সাহায্যে $\angle$AOB আঁকা হলো যার পরিমাণ 80 $°$।

চাদার সাহায্যে ∠AOB আঁকা হলো যার পরিমাণ 75°।

চাঁদার সাহায্যে ∠AOB আঁকা হলো যার পরিমাণ 150°।

চিত্রে, A বিন্দুতে ∠BAC B ও ∠CAD দুইটি কোণ উৎপন্ন হয়েছে। A. বিন্দু কোণ দুইটির সাধারণ শীর্ষবিন্দু। AC কোণ দুইটির C সাধারণ বাহু। সন্নিহিত কোণ দুইটি সাধারণ বাহু AC এর বিপরীত পাশে আছে। অর্থাৎ এখানে ∠BAC ও ∠CAD কোণ দুইটি পরস্পর সন্নিহিত কোণ।

চিত্রে, ∠AOB একটি সমকোণ। OC রশ্মি দ্বারা কোণটি ∠AOC ও ∠COB কোণ দুইটি উৎপন্ন করে। যেহেতু ∠AOC ও ∠COB কোণদ্বয়ের যোগফল 90°। সেহেতু ∠AOC ও ∠COB কোণদ্বয় একটি অপরটির পূরক কোণ।

চিত্রে, ∠AOB এক সরলকোণ অর্থাৎ 180°। OC রশ্মি দ্বারা কোণটি ∠AOC ও ∠COB কোণ দুইটি উৎপন্ন করে। যেহেতু ∠AOC ও ∠COB কোণ দুইটির সমষ্টি 180°। সুতরাং চিত্রে ∠AOC ও ∠COB.কোণ দুইটির একটি অপরটির সম্পূরক কোণ।

চিত্রে, ∠AOD এর বিপরীত পাশে ∠BOC অবস্থিত। আবার ∠AOC এর বিপরীত পাশে ∠BOD অবস্থিত। সুতরাং ∠AOD ও ∠BOC এবং ∠AOC ও ∠BOD পরস্পরের বিপ্রতীপ কোণ।

∠AOC=∠AOB + ∠BOC
বা, 125° = 55° + ∠BOC
বা, ∠BOC = 125 $°$- 0.55 $°$∠BOC = 70 $°$

নির্ণেয় ∠BOC = 70 $°$

এখানে, ∠AOB = ∠AOC + ∠COB

বা, 90° = 40° + ∠COB [: ∠AOB = এক সমকোণ = 90°]

বা, ∠COB = 90 °- 40 °

নির্ণেয় ∠COB = 50 °

আমরা জানি, দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল 180° হলে, কোণ দুইটি একটি অপরটির সম্পূরক কোণ।

এখানে, ∠AOC = 60° এবং ∠BOC = 120°

এখন, ∠AOC + ∠BOC = 60°+120° = 180°

অর্থাৎ ∠AOC ও ∠BOC কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক কোণ।

(দেখানো হলো)

চিত্রে $\angle$AOC= $\angle$COB = 45 $°$হলে দেখাও যে, কোণদ্বয় পূরক কোণ।
সমাধান: আমরা জানি, দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল ৯০০ হলে, কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
এখানে, $\angle$AOC= $\angle$COB = 45 $°$
এখন, $\angle$AOC+ $\angle$COB = 45 $°$+ 45 $°$= 90 $°$
অর্থাৎ, ∠AOC ও ∠COB কোণদ্বয় পরস্পর পূরক কোণ। (দেখানো হলো)

চিত্রে ∠AOF = x,

$\angle$FOD = 95 $°$এবং $\angle$DOB = 55 ০

এখন, $\angle$AOF+ $\angle$FOD+ $\angle$DOB = 180 $°$

বা, x + 95 ০+ 55 $°$= 180 $°$বা, x + 150 $°$= 180 $°$বা, x = 180 $°$- 150 $°$.. x = 30 $°$... x এর মান 30°.

দুইটি সরলরেখা যদি এমনভাবে চলতে থাকে যে তারা কখনও পরস্পরকে ছেদ করে না তবে রেখা দুইটিকে সমান্তরাল সরলরেখা বলে।

চিত্রে AB ও CD পরস্পর সমান্তরাল সরলরেখা।

দুইটি রেখাকে অপর একটি রেখা ছেদ করলে ছেদক রেখার দুইটি ভিন্ন বিন্দুতে বিপরীতপাশে সমান্তরাল রেখা যে কোণ উৎপন্ন করে তাদেরকে পরস্পরের একান্তর কোণ বলে।

দুইটি সরলরেখাকে অপর একটি সরলরেখা ছেদ করলে ছেদকের দুইটি ভিন্ন বিন্দুতে একই পাশে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাদের পরস্পরের অনুরূপ কোণ বলে।

অনুরূপ কোণের দুইটি বৈশিষ্ট্য নিম্নরূপ :
(i) অনুরূপ কোণগুলো পরস্পর সমান হয়।
(ii) অনুরূপ কোণগুলো ছেদকের একই পার্শ্বে অবস্থান করে।

একান্তর কোণের দুইটি বৈশিষ্ট্য নিম্নরূপ:
(i) একান্তর কোণদ্বয় পরস্পর সমান হয়।
(ii) একান্তর কোণদ্বয় ছেদক রেখার বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করে।

: চিত্রে, AB || CD এবং PQ এদের ছেদক। .:. $\angle$d = 60 $°$ [অনুরূপ কোণ বলে।]

আবার, $\angle$c+ $\angle$d = 180 $°$কোণদ্বয় রৈখিক যুগল কোণ]
বা, $\angle$c + 60 $°$= 180 $°$[: $\angle$d = 60 $°$] বা, $\angle$c = 180 $°$- 60 deg
$\angle$c = 120 deg

চিত্রের ∠b এর বিপ্রতীপ কোণ 40°
.:. b = 40° [: বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান]
∠c এর বিপ্রতীপ কোণ 30°
.:. ∠c=30° [:: বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান]

আবার, $\angle$a+ $\angle$b+ $\angle$c = 180 $°$[এক সরলকোণ বলে। বা, $\angle$a + 40 $°$+ 30 $°$= 180 $°$বা, $\angle$a + 70 $°$= 180 $°$বা, $\angle$a = 180 $°$- 70 $°$.. $\angle$a = 110 deg

চিত্র হতে, $\angle$AOE+ $\angle$EOB = 180 $°$ [রৈখিক যুগল কোণ] বা, 120^ + $\angle$EOB = 180 $°$ .. $\angle$EOB = 180 $°$ - 120 $°$ = 60 $°$ এখন, ∠OPD = অনুরূপ $\angle$EOB = 60 $°$ নির্ণেয় $\angle$OPD = 60 $°$