সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন। উপাত্তসমূহ হলো:
(i) চারটি বাহু ও একটি কোণ।
(ii) চারটি বাহু ও একটি কর্ণ।
(iii) তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ।
(iv) তিনটি বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ এবং
(v) দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ।

নিম্নবর্ণিত উপাত্ত জানা থাকলে সামান্তরিক আঁকা যায়।
(i) সামান্তরিকের দুটি কর্ণ ও একটি বাহু দেওয়া থাকলে সামান্তরিক আঁকা যায়।
(ii) সামান্তরিকের দুইটি কর্ণ ও এদের অন্তর্ভুক্ত একটি কোণ দেওয়া থাকলে সামান্তরিক আঁকা যায়।

রম্বস অঙ্কনের জন্য দুই ধরনের উপাত্ত নিম্নরূপ:
(i) রম্বসের একটি বাহু ও একটি কোণ দেওয়া থাকলে রম্বস আঁকা যায়।
(ii) রম্বসের দুটি কর্ণ দেওয়া থাকলে রম্বস আঁকা যায়।

আয়ত আঁকতে যা যা জানা প্রয়োজন:
(i) দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে আয়ত আঁকা যায়।
(ii) একটি কর্ণ ও একটি কোণ জানা থাকলে আয়ত আঁকা যায়।

যেকোনো চতুর্ভুজ অঙ্কন করতে পাঁচটি উপাত্তের প্রয়োজন হয়। তাই তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে 5 - 3 = 2 অর্থাৎ দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য প্রয়োজন হবে। চতুর্ভুজটি রম্বস হলে এর কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করবে। তাই কর্ণদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত' কোণের মান 90°.

আমরা জানি, একটি স্বতন্ত্র চতুর্ভুজ আঁকতে পাঁচটি উপাত্ত প্রয়োজন। কিন্তু রম্বসের চারটি বাহু সমান। অর্থাৎ চার বাহুর পরিবর্তে এক' বাহু এবং অন্য একটি উপাত্ত যেমন কর্ণ বা। কোণ দেওয়া থাকলে রম্বস। আরক্রীয়ায়। আবার, রম্বসের দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলেও রম্বস আঁকা যায়। সুতরাং, রম্বস এঁকেজে কমপক্ষে দুইটি উপাত্তের প্রয়োজন।

প্রদত্ত চতুর্ভুজটির চারটি বাহু সমান এবং কোনো কোণই সমকোণ নয়। তাই চতুর্ভুজটি একটি রম্বস। চতুর্ভুজটি অঙ্কনের দুইটি উপায় হলো:
(i) চতুর্ভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য এবং যেকোনো একটি কোণ জানা থাকতে হবে।
(ii) চতুর্ভুজটির কর্ণ দুইটির দৈর্ঘ্য জানা থাকতে হবে।

আমরা জানি, নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকতে ১টি নিরপেক্ষ উপাত্তের প্রয়োজন। কিন্তু সামান্তরিক এক ধরনের বিশেষ চতুর্ভুজ যার তিনটি উপাত্ত থেকে প্রয়োজনীয় পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত পাওয়া যায়। সামান্তরিকের বিপরীত বাহুজোড়দ্বয় পরস্পর সমান হওয়ায় সামান্তরিকের দুইটি সংলগ্ন বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া থাকলে সামান্তরিকটি আঁকা যায়। সুতরাং, সামান্তরিক আঁকতে তিনটি নিরপেক্ষ উপাত্ত প্রয়োজন।

আমরা জানি, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে।

$\therefore$ $OA=\frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} d$ এবং $OB=\frac{1}{2} BD=\frac{1}{2}c$

△ AOB হতে পাই, OA + OB > AB [ ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]

বা, $AB<\frac{1}{2} x+\frac{1}{2}y$

$\therefore$ $AB<\frac{1}{2 }(x+y)$

একটি সামান্তরিক অঙ্কনের দুইটি উপায় দেওয়া হলো:
(i) দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণের মান জানা থাকতে হবে।
(ii) দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণের মান জানা থাকতে হবে।

দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া থাকলে সামান্তরিক আঁকা সম্ভব। সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল।

আমরা জানি, নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকতে ১টি নিরপেক্ষ উপাত্তের প্রয়োজন। কিন্তু বর্গ এক ধরনের বিশেষ চতুর্ভুজ যার একটি উপাত্ত থেকে প্রয়োজনীয় পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত পাওয়া যায়। বর্গের চারটি বাহু সমান এবং কোণগুলো সমকোণ হওয়ায় শুধুমাত্র একটি বাহু দেওয়া থাকলে বর্গ আঁকা যায়। সুতরাং, বর্গ আঁকতে কমপক্ষে একটি উপাত্তের প্রয়োজন।

আমরা জানি, নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকতে ১টি নিরপেক্ষ উপাত্তের প্রয়োজন। কিন্তু আয়ত এক ধরনের বিশেষ চতুর্ভুজ যার 2টি উপাত্ত থেকে প্রয়োজনীয় পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত পাওয়া যায়। আয়তের বিপরীত বাহুজোড়দ্বয় পরস্পর সমান এবং প্রতিটি কোণ সমকোণ হওয়ায় দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে আয়ত আঁকা যাবে। সুতরাং, আয়ত আঁকতে কমপক্ষে দুইটি উপাত্ত প্রয়োজন।

প্রদত্ত চতুর্ভুজটির বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ। তাই প্রদত্ত চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র। নিম্নে আয়তক্ষেত্র অঙ্কনের দুইটি উপায় দেওয়া হলো:
(i) সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য জানা থাকতে হবে।
(ii) একটি বাহু ও একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য জানা থাকতে হবে।

রম্বসের চারটি বাহু সমান এবং বিপরীত কোণগুলো সমান। রম্বসের পরিসীমাকে চারভাগ করলেই এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য পাওয়া যায়। তাই এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য পাওয়া মানেই এর চার বাহুর দৈর্ঘ্য পাওয়া। আবার, একটি কোণের মান জানা থাকলেই বাকি কোণগুলোর মান বের করা সম্ভব। সুতরাং পরিসীমা ও একটি কোণের মান জানা থাকলে রম্বস আঁকা সম্ভব।

বর্গের প্রতিটি কোণই সমকোণ এবং প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য সমান। তাই বর্গের মাত্র একটি বাহু দেওয়া থাকলে পাঁচটি উপাত্ত যথা বর্গের চার সমান বাহু ও একটি কোণ (সমকোণ) নির্দিষ্ট হয়। সুতরাং, একটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেয়া থাকলে বর্গ অঙ্কন সম্ভব।

আমরা জানি, ট্রাপিজিয়ামের একজোড়া বাহু সমান্তরাল এবং তির্যক বাহুদ্বয় সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের ছেদক। সমান্তরাল দুইটি রেখার ছেদকের একই পাশের সন্নিহিত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক।

আবার, দুইটি কোর, পরস্পর সম্পূরক ও এদের একটি সূক্ষ্মকোণ হলে অপরটি অবশ্যই স্থূলকোণ হবে। অতএব, ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের বৃহত্তম বাহু সংলগ্ন কোণদ্বয় সূক্ষ্মকোণ হলে ক্ষুদ্রতম বাহু সংলগ্ন কোণদ্বয় স্থূলকোণ হবে।

শুধুমাত্র দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে একটি আয়ত আঁকা 'সম্ভ্যব।

ABCD আয়ত আঁকা হলো যার BC= AD = a এবং AB = CD = b.

নির্দিস্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্তের প্রয়োজন হয়। সুতরাং দুইটি বাহুর মান জানার পর আরও 5 - 2 = 3 টি কোণের মান জানলে একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা সম্ভব হবে। আবার, শুধুমাত্র দুইটি বাহু দ্বারা যে বিশেষ ধরনের চতুর্ভুজ আঁকা যাবে তা হলো আয়ত।

কমপক্ষে একটি বাহু জানা থাকলে বিশেষ ক্ষেত্রে চতুর্ভুজ আঁকা সম্ভব যা একটি বর্গ। কারণ বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি কোণের মান সমান যা এক সমকোণ এবং প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান যা একটি বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকলেই আঁকা সম্ভব। সুতরাং একটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে বিশেষ ক্ষেত্রে বর্গ অঙ্কন করা যাবে।

মনে করি, চতুর্ভুজের চারটি বাহু a, b, c, d ও একটি কোণ ∠x দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।

ABCD চতুর্ভুজ আঁকা হলো যার চারটি বাহু BC = a, AB = b, AD = c, CD = d এবং একটি কোণ ∠ABC = ∠x.

মনে করি, চতুর্ভুজের চারটি বাহ্ a, b, c, d এবং একটি কর্ণ e দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।

ABCD চতুর্ভুজ আঁকা হলো যার চারটি বাহু BC = a, CD = b, AB = c, AD = d এবং একটি কর্ণ BD = c.

মনে করি, একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহু a = 4.5 সে.মি., b = 5 সে.মি., c = 3.5 সে.মি., d = 4.5 সে.মি. এবং একটি কর্ণ e = 5 সে.মি. দেওয়া আছে। চতুভূর্জটি অঙ্কন করতে হবে।

ABCD চতুর্ভুজ অঙ্কন করা হলো যার চারটি বাহু AB = a = 4.5 সে.মি., AD = b = 5 সে.মি., BC = c = 3.5 সে.মি. CD = d = 4.5 সে.মি. এবং একটি কর্ণ BD = 5 সে.মি.।

মনেকরি, চতুর্ভুজের তিনটি বাহু a, b, এবং দুইটি কর্ণ C, d দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।

ABCD চতুর্ভুজ আঁকা হলো যার তিনটি বাহু AB = a, AD = b, BC = c এবং দুইটি কর্ণ BD = d, AC = e.

মনে করি, একটি চতুর্ভুজের তিনটি বাহু যথাক্রমে a = 3.5 সে.মি., b = 3 সে.মি., c = 2.8 সে.মি. এবং দুইটি কোণ ∠x = 60° , ∠y = 80° দেওয়া আছে।

চতুর্ভুজটি-অঙ্কন করতে হবে। ABCD চতুর্ভুজটি অঙ্কন করা হলো যার তিনটি বাহু BC = a = 3.5 সে.মি., AB b3 সে.মি., CD = c = 2.8 সে.মি. এবং দুইটি কোণ ∠ABC = ∠x=60° , ∠BCD = ∠y=80° .

মনে করি, চতুর্ভুজের দুইটি বাহু a, b এবং তিনটি কোণ ∠x, ∠y ও ∠z কোণ দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।

ABCD চতুর্ভুজ আঁকা হলো যার দুইটি বাহু BC = a, AB = b এবং তিনটি কোণ ∠ABC = ∠x, ∠BCD = ∠y, ∠BAD = ∠z.

মনে করি, সামান্তরিকের কর্ণ দুইটি a ও b এবং কর্ণদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত একটি কোণ ∠x দেওয়া আছে। সামান্তরিকটি আঁকতে হবে। ABCD সামান্তরিক অঙ্কন করা হলো যার দুইটি কর্ণ. AC =a ও BD = b এবং কর্ণদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠AOB = ∠x.

মনে করি, সামান্তরিকের দুইটি কর্ণ a ও b এবং একটি বাহু c দেওয়া আছে। সামান্তরিকটি আঁকতে হবে।

ABCD সামান্তরিক আঁকা হলো যার দুইটি কর্ণ AC = a ও BD = b এবং একটি বাহ্ AB = c.

মনে করি, সামান্তরিকের দুইটি কর্ণ a = 8 সে.মি. ও b = 6 সে.মি. এবং একটি বাহু c = 7 সে.মি. দেওয়া আছে। সামান্তরিকটি আঁকতে হবে।

ABCD সামান্তরিক আঁকা হলো যার দুইটি কর্ণ AC = a = 8 সে.মি. ও BD = b = 6 সে.মি. এবং একটি বাহু AB = c = 7 সে.মি.।

মনে করি, বর্গের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ দেওয়া আছে। বর্গটি আঁকতে হবে।

ABCD বর্গ আঁকা হলো যার বাহু AB = BC = CD = AD = a.

মনে করি, বর্গের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a =3 সে.মি. দেওয়া আছে। বর্গটি আঁকতে হবে।

ABCD বর্গ আঁকা হলো যার বাহু AB = BC = CD = AD = a = 3 সে.মি.।

মনে করি, বর্গের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য a দেওয়া আছে। বর্গটি আঁকতে হবে। ABCD বর্গ আঁকা হলো যার একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য BD = a.

মনে করি, বর্গের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য e = 5 সে.মি. দেওয়া আছে। বর্গটি আঁকতে হবে। ABCD বর্গ আঁকা হলো যার কর্ণের দৈর্ঘ্য BD = e = 5 সে.মি.।

মনে করি, একটি বর্গের পরিসীমা p = 7 সে.মি. দেওয়া আছে। বর্গটি আঁকতে হবে।

ABCD বর্গ আঁকা হলো যার পরিসীমা p = 7 সে.মি.।

মনে করি, একটি রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য এবং একটি কোণ ∠x দেওয়া আছে। রম্বসটি আঁকতে হবে।

ABCD রম্বস আঁকা হলো যার বাহু AB = BC = CD = AD = a এবং একটি কোণ ∠ABC = ∠x.

মনে করি, একটি রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য a = 5 সে.মি. এবং একটি কোণ ∠x = 60° দেওয়া আছে। রম্বসটি আঁকতে হবে।

ABCD রম্বস আঁকা হলো যার বাহু AB = BC = CD = AD = a = 5 সে.মি. এবং একটি কোণ ∠ABC = ∠x = 60°

মনে করি, একটি রম্বসের পরিসীমা p = 12 সে.মি. এবং একটি কোণ ∠x = 60° দেওয়া আছে। রম্বসটি আঁকতে হবে।

ABCD রম্বস আঁকা হলো যার পরিসীমা p = 12 সে.মি. এবং একটি কোণ ∠BAD = ∠x = 60°.

মনে করি, রম্বসের দুইটি কর্ণ d ও e দেওয়া আছে। রম্বসটি আঁকতে হবে।

ABCD রম্বস আঁকা হলো যার দুইটি কূর্ণ BD এবং AC = p