সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

তিনটি রেখাংশ দ্বারা আবদ্ধ চিত্রকে ত্রিভুজ বলে। বাহুভেদে ত্রিভুজ তিন প্রকার। যথা সমবাহু, সমদ্বিবাহু ও বিষমবাহু। আবার, কোণভেদেও ত্রিভুজ তিন প্রকার। যথা: সূক্ষ্মকোণী, স্থূলকোণী ও সমকোণী।

ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে। আবার, যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর লম্ব- দূরত্বই ত্রিভুজের উচ্চতা। চিত্রে, ABC ত্রিভুজের AE মধ্যমা এবং AD উচ্চতা।

দুইটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য সমান হলে রেখাংশ দুইটি সর্বসম। আবার বিপরীতভাবে, দুইটি রেখাংশ' সর্বসম হলে এদের দৈর্ঘ্য সমান। দুইটি কোণের পরিমাপ সমান হলে কোণ দুইটি সর্বসম। আবার বিপরীতভাবে, দুইটি কোণ সর্বসম হলে এদের পরিমাপও সমান।

চিত্রে ∆ABC ও ∆DEF সর্বসম।

একটি ত্রিভুজকে অপর একটি ত্রিভুজের উপর স্থাপন করলে যদি ত্রিভুজ দুইটি সর্বতোভাবে মিলে যায়, তবে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়। সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ও অনুরূপ কোণগুলো সমান।

সমবাহু ত্রিভুজ: যে ত্রিভুজের তিনটি বাহু সমান তা সমবাহু ত্রিভুজ। পাশের চিত্রে ABC ত্রিভুজের AB = BC = CA। অর্থাৎ বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য সমান। সুতরাং ABC ত্রিভুজটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ।

বিষমবাহু ত্রিভুজ: যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুই পরস্পর অসমান তা বিষমবাহু ত্রিভুজ। পাশের চিত্রে ABC ত্রিভুজের AB, BC, CA বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য পরস্পর অসমান। সুতরাং ABC ত্রিভুজটি বিষমবাহু ত্রিভুজ।

সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ: যে ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ সূক্ষ্মকোণ, তা সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ। চিত্রে, ABC ত্রিভুজে ∠BAC, ∠ABC, ∠BCA কোণ তিনটির প্রত্যেকটি সূক্ষ্মকোণ। অর্থাৎ প্রত্যেকটি কোণের পরিমাণ 90° অপেক্ষা কম। সুতরাং △ ABC একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।

স্থূলকোণী ত্রিভুজ: যে ত্রিভুজের একটি কোণ স্থূলকোণ, তা স্থূলকোণী ত্রিভুজ। পাশের চিত্রে GHK ত্রিভুজে ∠GKH একটি স্থূলকোণ, অপর কোণ দুইটি ∠GHK ও ∠HGK প্রত্যেকে সূক্ষ্মকোণ। সুতরাং △ GHK একটি স্থূলকোণী ত্রিভুজ।

কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে কোণ উৎপন্ন হয় তা ত্রিভুজটির একটি বহিঃস্থ কোন। এই কোণের সন্নিহিত কোণটি ছাড়া ত্রিভুজের অপর দুইটি কোণকে এই বহিঃস্থ কোণের বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ বলে।
চিত্রে, ∆ABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে। ∠ACD ত্রিভুজটির একটি বহিঃস্থ কোণ। ∠BAC ও ∠ABC হচ্ছে বহিঃস্থ ∠ACD এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ।

∠ABC, ∠BAC ও ∠ACB ত্রিভুজটির তিনটি অন্তঃস্থ কোণ।

এখানে, সমদ্বিবাহু △ ABC এ AB = AC, ∠BAC = 70° | BC কে D পর্যন্ত বর্ধিত করি। ফলে বহিঃস্থ ∠ACD উৎপন্ন হলো।

△ ABC এ AB = AC

∴ ∠ACB=∠ABC [ ∵ ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান ]

             ∠BAC+  ∠ABC+ ∠ACB = 180° [ ∵ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°]

বা, 70° +  ∠CAB+ ∠ACB = 180°

বা, 2 ∠ ACB = 180° - 70° = 110°

$\therefore \angle ACB =\frac{110° }{2}=55°$

$\therefore \angle ACD={180}^{-}\angle ACB=180° -55° =125°$

নির্ণেয় ∠ACD এর মান 125°.

△ABC-এ,

$\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC = 180°$

বা, $\angle ACB+ \angle ACB + 70° = 180°$

বা, $2 \angle ACB = 180 °- 70° =110°$

$\therefore \angle ACB = 55°$

নির্ণেয় ∠ACB এর মান 55°.

এখানে, ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত= $1:1:\sqrt{2}$

ধরি, অনুপাতের সাধারণ রাশি = x

∴ ত্রিভুজের বাহু তিনটি হলো a = x একক, b = x একক

এবং $c=\sqrt{2}x$ একক

এখন, $a^2+b^2=x^2+x^2=2x^2={\left(\sqrt{2}x\right)}^2=c^2$

$\therefore a^2+b^2=c^2$

ত্রিভুজের দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি এর তৃতীয় বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান হলে, ত্রিভুজটি সমকোণী হয়।

যেহেতু $a^2+b^2=c^2$এবং দুইটি বাহুর অনুপাত সমান।
সুতরাং ত্রিভুজটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। (দেখানো হলো)

এখানে, ত্রিভুজের তিনটি বাহুর অনুপাত = 5: 12:13

ধরি, অনুপাতের সাধারণ রাশি = x

∴ ত্রিভুজের বাহু তিনটি হলো a = 5x একক, b = 12x একক

এবং c=13x একক

এখন, $a^2+b^2=(5x{)}^2+(12x{)}^2=25x^2+144x^2=169x^2=(13x{)}^2=c^2$

$\therefore a^2+b^2=c^2$

ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি এর তৃতীয় বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান হলে, ত্রিভুজটি সমকোণী হয়।

যেহেতু ত্রিভুজটিতে $a^2+b^2=c^2$

সুতরাং ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ। (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 5°।

ধরি, সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের বৃহত্তম কোপ x°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = x° -5°

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি 90°

∴ x° + x° - 5° = 90°

বা , 2x°  = 90°+ 5°

বা, $x°=\frac{95° }{2}$

x° = 47.5°

এবং x°- 5°= 47.5° - 5°= 42.5°

নির্ণেয় সূক্ষ্মকোণগুলো $42.5°$ এবং $47.5°$

মনে করি, ABC সমকোণী ত্রিভুজে ∠B = 90° । প্রমাণ করতে হবে যে, সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পর পূরক কোণ।

অর্থাৎ ∠A+ ∠C = 90°

প্রমাণ : △ABC-

∠A+ ∠ B+ ∠C = 180°

বা, ∠A+ ∠ C=180° - ∠B = 180° - 90°  

∠A+ ∠C = 90°

অর্থাৎ সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পর পূরক কোণ। (প্রমাণিত)

এখানে, সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর কোণদ্বয় যথাক্রমে 4x° ও 2x°। সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত | অপর কোণদ্বয়ের সমষ্টি এক সমকোণ বা 90°।

অর্থাৎ  4x°+2x°=90°

বা, 6x° = 90°

বা, $x°=\frac{90° }{6}=15$

ক্ষুদ্রতম কোণ $= 2x° = 2 \times 15°=30°$

∴ সমকোণী ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ 30° নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম কোণ 30°.

একটি ত্রিভুজের দুটি স্থূলকোণ থাকতে পারবে না। কারণ আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ। দুইটি কোণ স্থূলকোণ হলে কোণ দুটির সমষ্টি দুই সমকোণের বেশি হয়ে যায়। সুতরাং একটি ত্রিভুজের দুটি স্থূলকোণ থাকতে পারবে না।

এখানে, ∆ABC-এ AB = AC এবং বহিঃস্থ ∠ACD = 130°

∴ ∠ABC = ∠ACB [সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণ সমান সমান]

এখন ∠ACB+ ∠ACD = 180° [রৈখিক যুগল কোণ।]

বা, ∠ACB + 130° = 180°

বা, ∠ACB = 180°  - 130°

∴ ∠ACB = 50°  

আবার, ∠ABC+ ∠ACB+ ∠BAC = 180° [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°]

বা, 50° +50° +  ∠BAC = 180°  

বা,  ∠BAC = 180° - 100°

নির্ণেয় ∠BAC = 80°

সমাধান: এখানে, AB = AC সুতরাং ∠ABC = ∠ACB

আবার, AB || CE এবং BD ও AC তাদের ছেদক।

∠ABC = অনুরূপ ∠ECD এবং ∠BAC= একান্তর ∠ACB = 70°

△ ABC∠ABC+ ∠ACB+ ∠BAC = 180°

বা, ∠ABC+ ∠ABC + 70°= 180°

বা, 2 ∠ABC = 180° - 70°

বা, ∠ABC = 110°/2

∠ABC= ∠ECD = 55°

নির্ণেয় angle ∠x = 70°,∠y = 55°

ধরি, PQR সমবাহু ত্রিভুজের QR বাহুকে উভয় দিকে S ও T পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে। ফলে ∠PQS ও ∠PRT দুটি বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হলো

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ 60°

.: PQR ত্রিভুজে ∠PQR = ∠PRQ=∠QPR = 60° বহিঃস্থ ∠PQS = বিপরীত অন্তঃস্থ (∠QPR + ∠PRQ)

∴ ∠PQS=60°+ 60° = 120°

আবার, বহিস্থ ∠PRT = বিপরীত অন্তঃস্থ (∠PQR+∠QPR)

∠PRT=60° + 60° = 120°

∴ বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের যোগফল = = 120° + 120° = 240°

নির্ণেয় বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের যোগফল240°.

এখানে, ∆ABC এ ∠A = 50 এবং ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখণ্ডক BỌ ও CO পরস্পর ০ বিন্দুতে ছেদ করেছে ।

আমরা জানি,  $\angle BOC = 90°+\frac{1}{2}\angle A$  

$2\angle BOC=180° +\angle A=180° +50° =230°$

নির্ণেয় ∠BOC = 230

দেওয়া আছে, সমকোণী ত্রিভুজের সুক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৪°

ধরি, সুক্ষকোণদ্বয়ের বৃহত্তম কোণ x°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = x°-8°

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষকোণদ্বয়ের সমষ্টি 90°

∴ x° + x° - 8° = 90°

বা, 2x° = 90° + 8°

বা, $x°=\frac{98° }{2}$

∴ x° = 49°  

নির্ণেয় বৃহত্তম কোণ 49°.

দেওয়া আছে, সমকোণী ত্রিভুজের সুক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 6°.

ধরি, সুক্ষ্মকোণদ্বয়ের বৃহত্তম কোণ x°

ক্ষুদ্রতম কোণ x°-6°

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের সুক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি 90°.

∴ x° + x° - 6° = 90°

বা, 2x° = 90° + 6°

বা, $x°= \frac{96° }{2}=48°$

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = x°- 6° = 48°- 6°= 42°

নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম কোণ 42°

মনে করি, △ ABC-এ AB = AC এবং AD মধ্যমা BC কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণ করতে হবে যে, △ ABD ≅ △ACD  

প্রমাণ: △ ABD ও △ ACD-এ

AB = AC [দেওয়া আছে ]

AD = AD [সাধারণ বাহু। ]

BD = CD [D, BC এর মধ্যবিন্দু]

∴ △ ABD = △ACD. (প্রমাণিত)  

দেওয়া আছে, ABC সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা, AD = 3 সে.মি

ধরি, বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

∴ আমরা জানি ,  $AD=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

বা, $3=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

বা, $\sqrt{3}a=3\times 2$

বা, $a=\frac{3\times 2}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$

নির্ণেয় বাহুর দৈর্ঘ্য $2\sqrt{3}$ সে.মি.।

চিত্রে △ ABC এর AB, BC ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু  যথাক্রমে P, Q ও R এবং AQ, BR ও CP এর তিনটি মধ্যমা।