সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

$lo{g}_{9}3=lo{g}_9\sqrt{9}$

$=lo{g}_9(9{)}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}lo{g}_{9}9=\frac{1}{2}\times 1=1$

নির্ণেয় মান 1.

$5\sqrt{5}$ এর 5 ভিত্তিক লগ

$= {\log }_5 5\sqrt{5}$

$= {\log }_5 5^1.5^{\frac{1}{2}}$

$= {\log }_5 5^{1+\frac{1}{2}}$

$= {\log }_5 5^{\frac{3}{2}}$

$=\frac{3}{2} {\log }_5 5$

$= \frac{3}{2}\times 1$

$= \frac{3}{2}$

নির্ণেয় $5\sqrt{5}$ এর 5 ভিত্তিক লগ $\frac{3}{2}$

প্রদত্ত রাশি = ${\log }_{2\sqrt{3}}12 + {\log }_2 32 + {\log }_{6}6\sqrt{6}$

= ${\log }_{2\sqrt{3}}{\left(2\sqrt{3}\right)}^2 + {\log }_2 2^5 + {\log }_6{6}^{\frac{3}{2}}$

= $2 {\log }_{2\sqrt{3}}\left(2\sqrt{3}\right) + 5 {\log }_2 2 +\frac{3}{2} {\log }_{6}6$

= $2 \times 1 + 5 \times 1 +\left(\frac{3}{2} \times 1\right)$

=$\frac{17}{2}$

নির্ণেয় মান : $\frac{17}{2}$

$\sqrt{p^3}$ এর 7 ভিত্তিক লগ = ${\log }_7 \sqrt{p^3}$

= ${\log }_7 \sqrt{7^3}$

= ${\log }_7 7^{\frac{3}{2}}$

= $\frac{3}{2}{\log }_7 7$

= $\frac{3}{2}\times 1$

= $\frac{3}{2}$

নির্ণেয় $\sqrt{p^3}$ এর 7 ভিত্তিক লগ $\frac{3}{2}$

বামপক্ষ = log(54) = log(9 $\times$ 6) = log(9) + log(6)

= $log\left(3^2\right)$ + log(6) = 2 log(3) + log(6)

= ডানপক্ষ

$\therefore$ log(54) = 2 log(3) + log(6) (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,

log_x (1024) = 10

বা $x^{10}=1024$

বা $x^{10}=(32{)}^2$

বা $x^{10}=(2^5{)}^2$

বা $x^{10}=2^{5\times 2}=2^{10}$

$\therefore$ x = 2

নির্ণেয় মান : x = 2

প্রদত্ত রাশি $=lo{g}_{\sqrt{5}}125$

$=lo{g}_{\sqrt{5}}{\left(\sqrt{5}\right)}^6$

$=6 lo{g}_{\sqrt{5}}\left(\sqrt{5}\right)$

$=6 \times 1$

= 6

নির্ণেয় মান 6.

64 এর 4 ভিত্তিক লগ = ${\log }_{4}64$

= ${\log }_4{4}^3$

= $3 {\log }_{4}4$

$= 3 \times 1 = 3$

নির্ণেয় 64 এর 4 ভিত্তিক লগ 3.

দেওয়া আছে,

$lo{g}_x\left(32\right)=5$

বা, $x^5=32$

বা, $x^5=2^5$

$\therefore$x = 2

নির্ণেয় মান : x = 2

দেওয়া আছে,

$lo{g}_5\left(x\right)=4$

বা, $5^4=x$

$\therefore$ x = 625

নির্ণেয় মান : x = 625

$3\sqrt{3}$ এর 3 ভিত্তিক লগ = ${\log }_3 3\sqrt{3}$

= ${\log }_3 \left(3.3^{\frac{1}{2}}\right)$

= ${\log }_3 \left(3^{1+\frac{1}{2}}\right)$

= ${\log }_3 \left(3^{\frac{3}{2}}\right)$

= $\frac{3}{2} {\log }_3 3$

= $\frac{3}{2}\times 1$

= $\frac{3}{2}$

নির্ণেয় $3\sqrt{3}$ এর 3 ভিত্তিক লগ $\frac{3}{2}$

32 এর 4 ভিত্তিক লগ $=lo{g}_{4}32=lo{g}_4\sqrt{(32{)}^2}$

$=lo{g}_4\sqrt{1024}$

$=lo{g}_4\sqrt{4^5}$

$=lo{g}_4{4}^{\frac{5}{2}}$

$=\frac{5}{2}{\log }_{4}4$

= $\frac{5}{2}$

নির্ণেয় 32 এর 4 ভিত্তিক লগ $\frac{5}{2}$

প্রদত্ত রাশি = ${\log }_7 \left(\sqrt[3]{7}.\sqrt{7}\right)$

= ${\log }_7\left(7^{\frac{1}{3}}.7^{\frac{1}{2}}\right)$

= ${\log }_7\left(7^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}\right)$

= ${\log }_7 7^{\frac{5}{6}}$

= $\frac{5}{6} {\log }_7 7$

= $\frac{5}{6}$

নির্ণেয় মান $\frac{5}{6}$

$7\sqrt{7}$ এর 7 ভিত্তিক লগ =  ${\log }_{7}7\sqrt{7}$

= ${\log }_{7}7.7^{\frac{1}{2}}$

= ${\log }_7 7^{1+\frac{1}{2}}$

= ${\log }_7 7^{\frac{3}{2}}$

= $\frac{3}{2}{\log }_7 7$

= $\frac{3}{2}$

নির্ণেয় $7\sqrt{7}$ এর 7 ভিত্তিক লগ $\frac{3}{2}$

4 ভিত্তিক log 32

= ${\log }_4 32$

= ${\log }_4 2^5$

= ${\log }_4 {\left(2^2\right)}^{\frac{5}{2}}$

= ${\log }_4 4^{\frac{5}{2}}$

= $\frac{5}{2} {\log }_4 4$

= $\frac{5}{2} \times 1$

= $\frac{5}{2}$

নির্ণেয় মান : $\frac{5}{2}$

ধরি, ${\log }_a M = x, {\log }_a N = y$

$\therefore$ $M = a^x, N = a^y$

এখন,

$M \times N = a^x \times a^y = a^{x + y}$

${\log }_a (M\times N) = x+y$

বা, ${\log }_a (M \times N) = {\log }_a M+ {\log }_a N$

$\therefore$ ${\log }_a (M\times N) = {\log }_a M+{\log }_a N.$(প্রমাণিত)

দেওয়া আছে

$lo{g}_2(p^2-30p+232)=4$

বা, $p^2-30p+232=2^4$

বা, $p^2-30p+232=16$

বা,  $p^2-30p+232-16=0$

বা, $p^2-30p+216=0$

বা, $p^2-18p-12p+216=0$

বা, p(p - 18) - 12(p - 18) = 0

বা, (p - 12)(p - 18) = 0   

হয়, p - 12 = 0 অথবা, p - 18 = 0

$\therefore$ p = 12          |       $\therefore$  p = 18

নির্ণেয় মান, p = 12, 18

বামপক্ষ$=lo{g}_{5}3+1=lo{g}_{5}3+lo{g}_{5}5$

$=lo{g}_5(3\times 5)=lo{g}_5\left(15\right)$

= ডানপক্ষ

$\therefore$ $lo{g}_{5}3+1=lo{g}_{5}15$ (প্রমাণিত)

বামপক্ষ $=2lo{g}_{5 }10+3lo{g}_{5}4=lo{g}_5{10}^2+lo{g}_5{4}^3$

$=lo{g}_5\left(100\right)+lo{g}_5\left(64\right)=lo{g}_5(100\times 64)$

$=lo{g}_{5}6400=lo{g}_5{80}^2=2 lo{g}_{5}80$

=ডানপক্ষ

বামপক্ষ $=2lo{g}_{10}5-2 lo{g}_{10}4=lo{g}_{10}{5}^2-lo{g}_{10}{4}^2$

$=lo{g}_{10}25-lo{g}_{10}16=lo{g}_{10}\frac{25}{16}$

= ডানপক্ষ

$\therefore$ $2 lo{g}_{10}5- 2 lo{g}_{10}4=lo{g}_{10}\frac{25}{16}$(প্রমাণিত)

ধরি, ভিত্তি = x

শর্তমতে, $lo{g}_{x }\left(81\right)=4$

বা $x^4=81$

বা $x^4=3^4$

x = 3

নির্ণেয় ভিত্তি 3.

ধরি,

${\log }_a M = x , lo{g}_b\left(M\right)=y$

$\therefore$ $a^x=M$ এবং  $b^y=M$

$\therefore$ $a^x=b^y$

বা, $(a^x{)}^{\frac{1}{y}}=(b^y{)}^{\frac{1}{y}}$

বা,  $a^{\frac{x}{y}}=b$

বা, $\frac{x}{y}=lo{g}_{a}b$

বা, $x=y lo{g}_a\left(b\right)$

বা, $lo{g}_a\left(M\right)=lo{g}_b\left(M\right) \times lo{g}_a\left(b\right)$ [ x ও y এর মান বসিয়ে ]

$\therefore$ $lo{g}_a\left(M\right)=lo{g}_b\left(M\right) \times lo{g}_a\left(b\right)$ (প্রমাণিত)

আমরা জানি,

${\log }_{a}M = {\log }_b M \times {\log }_{a}b$

M = a বসিয়ে পাই,

${\log }_{a}a = {\log }_{b}a \times {\log }_{a}b$

বা, $1 = {\log }_{b}a \times {\log }_{a}b$

বা, ${\log }_{a}b =\frac{1}{{\log }_{b}a}$

$\therefore$ ${\log }_{a}b =\frac{1}{{\log }_{b}a}$ (দেখানো হলো)

ধরি,

${\log }_{a}M = x$

$\therefore$ $M = a^x$

বা, ${\left(M\right)}^r = {\left(a^x\right)}^r$

বা, $M^r = a^{xr}$

বা, $\log M^r = rx$

বা, $\log M^r =r {\log }_a M$

$\therefore \log M^r =r {\log }_a M$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,

$lo{g}_{7}2=\alpha ,lo{g}_{7}3=\beta$ এবং $lo{g}_7 5=\gamma$

প্রদত্ত রাশি$=lo{g}_7\frac{15}{2}=lo{g}_7\frac{3\times 5}{2}$

$=lo{g}_7\left(3\right)+lo{g}_7\left(5\right)-lo{g}_7\left(2\right)$

$= \beta + \gamma -\alpha$ ; যা $\alpha$, $\beta$ ও $\gamma$ এর মাধ্যমে প্রকাশিত।

দেওয়া আছে,

${\log }_x \frac{1}{9}=-2$

বা, $x^{-2}=\frac{1}{9}$

বা, $\frac{1}{x^2}=\frac{1}{9}$

বা, $x^2=9$ [ ব্যাস্তানুপাত করে ]

বা, $x = \pm 3$ [বর্গমূল করে ]

কিন্তু x $\ne -3$ ; কারণ lag এর ভিত্তি ঋণাত্মক হতে পারে না।

$\therefore$ x = 3

নির্ণেয় মান: x = 3