সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

ভাগশেষ উপপাদ্য নামে পরিচিত সূত্রটি হলো : $f\left(x\right)=(x-a). b\left(x\right) +r.$

এখানে, $f\left(x\right)=$ ভাজ্য

            $h\left(x\right)=$ভাগফল

          $(x - a) =$ ভাজক

      এবং r = ভাগশেষ।

f(x) কে (xa) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় f(a)। এই সূত্র ভাগশেষ উপাদ্য নামে পরিচিত। অর্থাৎ ধনাত্মক মাত্রার কোন বহুপদী f(x) কে (x-a) আকারের বহুপদী দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে তা ভাগ না করে বের করার সূত্রই হলো ভাগশেষ উপপাদ্য। f(x) = 6x²-7x + 5 কে x-1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষƒ (1) =6 - 7+5 = 4 যা ভাগশেষের সমান। ভাজক বহুপদী (x - a) এর মাত্রা 1, ভাজক যদি ভাজ্যের উৎপাদক হয়, তাহলে ভাগশেষ হবে শূন্য। আর যদি উৎপাদক না হয়, তাহলে ভাগশেষ থাকবে এবং তা হবে অশূন্য কোনো সংখ্যা। তবে সাধারণভাবে বলতে গেলে ভাগফল ভাজকের থেকে কম মাত্রার একটি বহুপদী হবে।

এখানে, ভাজক (ax + b); $a\ne 0$ এবং মাত্রা 1.  

এখন, $f\left(x\right) = (ax + b) h\left(x\right) + r$

বা, $f\left(x\right)= a\left(x + \frac{b}{a}\right).h \left(x\right)+r$  

বা, $f\left(x\right)= \left(x + \frac{b}{a}\right) a .h\left(x\right)+r$

অর্থাৎ $f\left(x\right)$  কে $\left(x + \frac{b}{a}\right)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হবে a. h(x) এবং ভাগশেষ হবে r.

এখানে, ভাজক $= x + \frac{b}{a}= x - \left(- \frac{b}{a}\right)$

সুতরাং, ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী , $r = f\left(-\frac{ b}{a}\right)$

অতএব, $f\left(x\right)$ কে $(ax + b)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ $\left(- \frac{b}{a}\right).$ (প্রমাণিত)

ধরি. f(a) = 0 অতএব, ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, f(x) কে (x - a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ শূন্য হবে। অর্থাৎ (x-a), f(x) এর একটি উৎপাদক হবে। বিপরীতক্রমে, ধরি, (x-a), f(x) এর একটি উৎপাদক। অতএব, f(x) = (x-a). h(x), যেখানে h(x) বহুপদী। উভয়পক্ষে x = a বসিয়ে পাই, f(a) = (a-a). h(a) = 0

সুতরাং, কোনো বহুপদী f (x), (x-a) দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি এবং কেবল যদি f(a) = 0 হয়। (প্রমাণিত)

$a\ne 0, ax+b=a\left(x+\frac{b}{a}\right), f\left(x\right)$ এর উৎপাদক হবে, যদি এবং কেবল যদি $x + \frac{b}{a} = x - \left(- \frac{b}{a}\right), f\left(x\right)$ এর একটি উৎপাদক হয়। অর্থাৎ, যদি এবং কেবল যদি $f\left(- \frac{b}{a}\right)= 0$ হয়। (দেখানো হলো)

$(m + 1) , f\left(m\right)$ এর একটি উৎপাদক হলে $f(- 1) = 0$ হবে

এখন, $f(-1)=3(-1{)}^3-2(-1{)}^2-3(-1)+2$

                          $= 3\times (- 1) - 2 + 3 + 2$

                           $= - 3 - 2 + 3 + 2 = 0$

সুতরাং, $(m + 1), f\left(m\right)$ এর একটি উৎপাদক। (দেখানো হলো)

$P\left(x\right)=x^2+ax+6$

$(x + 2) P\left(x\right)$ এর একটি উৎপাদক হলে  $P(- 2) = 0$

বা, $(-2{)}^2+a(-2)+6=0$

বা, $4 - 2a + 6 = 0$

বা, 2a = 10

$\therefore a = 5$

$\therefore$ ভাগফল $(x + 4)$ এবং ভাগশেষ 6

নির্ণেয় ভাগশেষ 6.

ভাগফল (x + 4) এবং ভাগশেষ 14.

নির্ণেয় ভাগফল (x + 4) এবং ভাগশেষ 14

ধরি, $f\left(x\right)=3x^2-x-16$

$f\left(x\right)$ কে $(x - 2)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $f(- 2)$

এখন, $f\left(x\right)=3x^2-x-16$

$\therefore f(-2)=3(-2{)}^2-(-2)-16$

                       $= 3 \times 4 + 2 - 16$

                       $=12+2-16=14-16=-2$

  $\therefore$ ভাগশেষ $-2$

নির্ণেয় ভাগশেষ : - 2

$f\left(x\right)$ কে  $\left(x+4\right)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $f(- 4)$

$\therefore$ ভাগশেষ $=f(-4)=(-4{)}^3+2(-4{)}^2-15(-4)-9$

                      $= - 64 + 2 \times 16 + 60 - 9$

                       $= - 64 + 32 + 60 - 9 = 19$

নির্ণেয় ভাগশেষ 19.

ধরি, $f\left(x\right)=6x^2-7x+5$

$f\left(x\right)$ কে $\left(x-1\right)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় $f\left(1\right)$

এখন, $f\left(x\right)=6x^2-7x+5$

$\therefore$ $f\left(1\right)=6\times 1^2-(7\times 1)+5$

                $=6-7+5-11-7=4$

$\therefore$ ভাগশেষ: 4

$\therefore 6x^2-7x+5$ কে x-1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 4 হবে।

(x + 5), f(x)  এর একটি উৎপাদক হলে f(- 5) = 0 হবে।

$\therefore f(-0.5)=(-5{)}^2+15(-5)+60$

                            $=25-75+60$

                             $=85-75=10$

এখন, যেহেতু $f(-5) \ne 0$

সুতরাং $(x + 5), f\left(x\right)$ এর একটি উৎপাদক নয়।

ধরি, $f\left(x\right) = 12x² + 17x + 6$

$3x+2=3 \left(x+\frac{2}{3}\right).f\left(x\right)$ এর উৎপাদক হবে, যদি এবং কেবল যদি $\left(x+\frac{2}{3}\right) = x - \left(-\frac{2}{3}\right),f\left(x\right)$এর একটি উৎপাদক হয়। অর্থাৎ, $f (-\frac{2}{3})=০ হয়।$

$এখন$, $f\left(x\right) = 12x² + 17x+6$

$\therefore f\left(-\frac{2}{3}\right)=12\times {\left(-\frac{2}{3}\right)}^2+17\left(-\frac{2}{3}\right)+6$

$= 12\times \frac{4}{9}-\frac{34}{3}+6$

$=\frac{16}{3}-\frac{34}{3}+6=\frac{16-34+18}{3}=\frac{34-34}{3}=0$

$\therefore (3x+2), (12x² + 17x+6)$ এর একটি উৎপাদক। (দেখানো হলো)

ধরি, $f\left(x\right)=x^2-37x-650$

$(x - 50), f\left(x\right)$ এর একটি উৎপাদক হবে যদি এবং কেবল যদি $f \left(50\right)=0।$

এখন, $f\left(x\right)=x^2-37x-650$

           $\therefore f\left(50\right)=(50{)}^2-37\times 50-650$

                            $=2500-1850-650$

                             $= 2500-2500=0$

$\therefore (x-50),(x^2-37x-650)$ এর একটি উৎপাদক। (দেখানো হলো)

$(2x – 1), f\left(x\right)$ এর একটি উৎপাদক হলে $f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ হবে

এখন, $f\left(\frac{1}{2}\right)=6\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^3-13\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+23\times \frac{1}{2}-9$

$=6\times \frac{1}{8}-13\times \frac{1}{4}+\frac{23}{2}-9$

$=\frac{3}{4}-\frac{13}{4}+\frac{23}{2}-9$

  $=\frac{3-13+46-36}{4}$

$=\frac{49-49}{4}=\frac{0}{4}=0$

$\therefore (2x-1), f\left(x\right)$ এর একটি উৎপাদক। (দেখানো হলো)

$x^3-21x-20$

$=x^3+x^2-x^2-x-20x-20$

$=x^2(x+1)-x(x+1)-20(x+1)$

$=(x+1)(x^2-x-20)$

$=(x+1)(x^2-5x+4x-20)$

$=(x+1)\left\{x\right(x-5)+4(x-4\left)\right\}$

$= (x + 1)(x - 5)(x + 4)$

$4a^3+3a^2-9a+2$

$=4a^3+8a^2-5a^2-10a+a+2$

$=4a^2(a+2)-5a(a+2)+1(a+2)$

$=(a+2)(4a^2-5a+1)$

$=(a+2)(4a^2-4a-a+1)$

$=(a+2)\left\{4a\right(a-1)-(a-1\left)\right\}$

$= (a + 2)(a - 1)(4a - 1)$

$x^3+6x^2+11x+6$

$=x^2(x+1)+5x(x+1)+6(x+1)$

$=(x+1)(x^2+5x+6)$

$=(x+1)(x^2+3x+2x+6)$

$=(x+1)\left\{x\right(x+3)+2(x+3\left)\right\}$

$= (x + 1)(x + 2)(x + 3)$

দেওয়া আছে, $P\left(a\right)=a^3+a^2+10a-8$

ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে $P\left(a\right)$ কে $(a - 2)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে P(2) |

$\therefore P\left(2\right)=2^3+2^2+10\times 2-8$

                  $= 8 + 4 + 20 - 8$

                  $= 24$

নির্ণেয় মান 24.

এখানে, $f\left(x\right)=x^3+6x^2+11x+6$

$\therefore f(-1)=(-1{)}^3+6.(-1{)}^2+11.(-1)+6$

                      $= - 1 + 6 - 11 + 6$

                      $=12-12=0$

       $\therefore x - (- 1) = x + 1$

অর্থাৎ $(x + 1), f\left(x\right)$ এর একটি উৎপাদক।

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=54x^4+27x^{3}a-16x-8a$

                                  $=27x^3(2x+a)-8(2x+a)$

                                    $=(2x+a)(27x^3-8)$

                                     $=(2x+a) \left\{\right(3x{)}^3-\left(2{)}^3\right\}$

                                      $=(2x+a)(3x-2) \left\{\right(3x{)}^2+3x.2+\left(2{)}^2\right\}$

                                        $=(2x+a)(3x-2)(9x^2+6x+4)$

আমরা জানি, কোনো বহুপদী $f\left(x\right)$ কে $\left(x-a\right)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় $f\left(a\right)$

এখানে, $2x + 1 = 2\left(x + \frac{1}{2}\right)$

                              $=2\left\{x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right\}$

$\therefore f\left(x\right)$ কে $(2x + 1)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $f\left(-\frac{1}{2}\right).$

ধরি, $f\left(p\right)=2p^3-3p^2+3p-1$

$\therefore f\left(\frac{1}{2}\right)=2{\left(\frac{1}{2}\right)}^3-3{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{2}-1$

                    $=\frac{2}{8}-\frac{3}{4}+\frac{3}{2}-1$

                     $=\frac{2-6+12-8}{8}=0$

যেহেতু, $f\left(\frac{1}{2}\right)= 0$

   $\therefore p - \frac{1}{2}= 0$

   বা, $2p - 1 = 0$

অর্থাৎ f(P) এর একটি উৎপাদক $2p - 1$ ।

যদি f(x) এর মাত্রা ধনাত্মক হয় এবং a ≠ 0 হয় তবে f(x)  কে ax+b দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় $f\left(-\frac{b}{a}\right).$