সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন

বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, △ ABC এর পরিবৃত্তস্থ P বিন্দু হতে BC ও CA রেখার উপর PD ও PE লম্ব অঙ্কন করা হয়েছে। ED রেখাংশ AB এর বর্ধিতাংশকে ০ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, PO $\perp$ AB.

প্রমাণ: ত্রিভুজের পরিবৃত্তস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ ত্রিভুজের বাহরেখাত্রয়ের উপর অঙ্কিত লম্ব তিনটির পাদবিন্দুগুলো সমরেখ। P' বিন্দু থেকে PD ও PE লম্ব D ও E বিন্দুতে যথাক্রমে BC ও CA কে ছেদ করে। D,E যোগ করে বর্ধিত করলে উহা BA-এর বর্ধিতাংশকে যে O বিন্দুতে ছেদ করে যা বিন্দু থেকে AB এর উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু। যেহেতু PO ও BA-এর বর্ধিতাংশের ছেদবিন্দু শুধুমাত্র একটি এবং D, E, O সমরেখ সেহেতু PO $\perp$ AB. (প্রমাণিত)

বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, ΔABC এর ∠C সমকোণ। C থেকে অতিভুজ BA এর উপর অঙ্কিত লম্ব CD।

প্রমাণ করতে হবে যে, CD² = AD. BD.

অঙ্কন: AB কে ব্যাস ধরে বৃত্ত আঁকলে তা : বিন্দু দিয়ে যাবে। CD-কে E পর্যন্ত বর্ধিত করি যা বৃত্তকে E বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ: CD DE [$\because$ ব্যাসের উপর লম্বভাবে জ্যাটি রয়েছে তাই বলা যায় কেন্দ্র হতে অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]

AB ও CE জ্যাদ্বয় পরস্পরকে ছেদ করে।

আমরা জানি, কোনো বৃত্তের দুইটি জ্যা যদি বৃত্তের অভ্যন্তরস্থ কোনো বিন্দুতে ছেদ করে, তবে একটির অংশদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপরটির অংশদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান।

AD. DB = DC. DE = CD. CD [$\because$ CD-DE]

সুতরাং CD² = AD. DB. (প্রমাণিত)

বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, ∆ABC-এ A, B ও C হতে বিপরীত বাহুর উপর লম্ব AD, BE ও CF, O বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ করতে হবে যে, AO. OD =BO.OE=CO.OF

প্রমাণ: $\angle$ BEC = $\angle$ BFC

[প্রত্যেকেই এক সমকোণ]

∴ B, F, E, C বিন্দুগুলো সমবৃত্ত।

∴ $\frac{BO}{CO}=\frac{OF}{OE}$

বা, BO.OE = CO. OF

অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায়, AO.OD = BO. OF

সুতরাং AO . OD = BO.OE = CO.OF (প্রমাণিত)

বিশেষ নির্বাচন: মনে করি, AB ব্যাসের উপর ADCB একটি অর্ধবৃত্ত। যার AC ও BD জ্যাদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণ করতে হবে যে, AB² = AC. AP + BD.BP.

অঙ্কন: PM $\perp$ AB অঙ্কন করি। A, D ও B, C যোগ করি।

প্রমাণ: AB চাপের উপর দন্ডায়মান অর্ধবৃত্তস্থকোণ ∠ACB ও ∠ADB

∴ ∠ACB = ∠ADB = এক সমকোণ [$\because$ অর্ধবৃত্তস্থ সমকোণ]

ΔΑΡΜ Δ ABC এ.

∠PMA = ∠ACB [প্রত্যেকে সমকোণ]

∠PAM=∠CAB [সাধারণ কোণ]

∴ ΔAPM ও Δ ABC সদৃশকোণী অর্থাৎ সদৃশ

∴ $\frac{AM}{AC}=\frac{AP}{AB}$ [$\because$অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান]

বা. AC.AP = AB.AM........(1)

আবার,

Δ BMP ও ΔABD এ,

∠PMB = ∠ADB [প্রত্যেকে সমকোণ]

∠PBM = ∠DBA [সাধারণ কোণ]

∴ Δ BMP ও Δ ABD সদৃশকোণী অর্থাৎ সদৃশ

∴ $\frac{BP}{AB}=\frac{BM}{BD}$[ $\because$অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান]

বা, BD.BP =AB. BQ ……...(2)

সমীকরণ (1) ও (2) নং যোগ করে পাই,

AC.AP+BD.BP. = AB.AM + AB. BM

= AB(AM + BM)

= AB.AB [$\because$ AM + BM = AB]

= AB²

∴ AB² = AC.AP + BD.BP (প্রমাণিত)

মনে করি, ABC সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 সে.মি.।

আমরা জানি, কোনো ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর অন্তর্গত আয়তক্ষেত্র ঐ ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাস এবং ঐ বাহুদ্বয়ের সাধারণ বিন্দু থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের সমান।

সুতরাং, চিত্রে AB. AC = 2R. AD [এখানে AD লম্ব ও 2R পরিবৃত্তের ব্যাস]

AB² = 2R. AD ……….. (1) [ABC সমবাহু ত্রিভুজ হওয়ায় AB = AC]

△ ABC-এর BO = AO = 3 সে.মি.

AO যোগ করে বর্ধিত করায় AD মধ্যমা।

এখন, যেহেতু BO = AO = 3 সে.মি.

∴ $OD=\frac{3}{2}$সে.মি. [∴ O সম্পাত বিন্দু]

∴ AD = AO + OD

$=3+\frac{3}{2}$ সে.মি. [ মধ্যমাত্রয় সম্পাত বিন্দুতে পরস্পরকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে ]

$=\frac{9}{2}$ সে.মি.

এখন, সমীকরণ (1)-এ সংশ্লিষ্ট মান বসিয়ে পাই,

$A{B}^2=2R.AD=2\times 3\times \frac{9}{2}=27$

∴ $AB=\sqrt{27}=\sqrt{9.3}=3\sqrt{3}$

∴ △ ABC এর বাহুর দৈর্ঘ্য $3\sqrt{3}$ সে.মি.।

বিশেষ নির্বাচন: দেওয়া আছে, ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের A থেকে BC এর উপর লম্ব AD এবং ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ R। প্রমাণ করতে হবে যে, 2R. AD = AB².

অঙ্কন: Ο, Δ ABC এর পরিকেন্দ্র। A, O যোগ করে P পর্যন্ত বর্ধিত করি যা পরিধিকে P বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, AO + OP = 2R বা AP = 2R। C, P যোগ করি।

প্রমাণ: △ ABD এবং △ ACP -এ ∠ADB = ∠ACP উভয়ে এক সমকোণ

∠ABD = ∠APC [একই জ্যা AC এর উপর অবস্থিত]

অবশিষ্ট ∠BAD = অবশিষ্ট ∠CAP

∴ △ ABD ও △ACP সদৃশ্যকোণী ও সদৃশ,

তাহলে, $\frac{AB}{AD}=\frac{AP}{AC}$[ অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান]

বা, AB. AC = AD. AP

বা, AB. AB = 2R. AD [ AB = AC ও AP = 2R]

সুতরাং AB² = 2R. AD. (প্রমাণিত)

বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, ABC ত্রিভুজের ∠A এর সমদ্বিখন্ডক রেখাংশ BC কে D বিন্দুতে এবং ABC পরিবৃত্তকে E বিন্দুতে ছেদ করে। দেখাতে হবে যে, AD² = AB. AC - BD. DC

অঙ্কন: E, C যোগ করি।

প্রমাণ: △ ABD এবং △ CDE-এ,

∠ABD = ∠CED

এবং ∠ADB = ∠CDE [ বিপ্রতীপ কোণ ]

∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ।

∴ $\frac{AD}{CD}=\frac{BD}{DE}$ [অনুরূপ বাহুর অনুপাত সমান]

বা, AD. DE = CD. BD [বজ্রগুণন করে]

আবার, △ ABD এবং A ACE-এর মধ্যে

∠BAD = ∠CAE [AD, ZA-এর সমদ্বিখন্ডক]

∠ABD = ∠AEC [ $\because$একই বৃত্তাংশদ্ধ কোণ]

∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ,

∴ $\frac{{\rm A}{\rm B}}{AD}=\frac{A{\rm E}}{AC}$

বা, AB.AC = AD. AE [বস্তু গুণন করে]

= AD (AD + DE) [AE = AD+DE]

$=A{D}^2 + AD. DE$

= AD²+ CD. BD [ $\because$CD.BD = AD.DE]

বা, $A{D}^2=AB.AC-CD.BD$

সুতরাং $A{D}^2=AB.AC-BD.DC$ (দেখানো হলো)

বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, ABC ত্রিভুজের BE ও CF যথাক্রমে AC ও AB এর উপর লম্ব। দেখাতে হবে যে, △.ABC: △ AEF = AB² : AE².

অঙ্কন: E, F যোগ করি।

প্রমাণ: BC কে ব্যাস ধরে বৃত্ত অঙ্কন করলে তা E ও F বিন্দু দিয়ে যাবে। কেননা ∠BEC = ∠BFC 90° এবং উহারা BC এর উপর অবস্থিত।

∴ BCEF বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একবাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান।

∴ ∠AFE = ∠ACB

এবং ∠AEF = ∠ABC

ΔABC ও ΔAEF-এ,

∠A সাধারণ কোণ এবং অপর কোণদ্বয় সমান।

∴ উহারা সদৃশ।

∴ $\frac{\Delta ABC}{\Delta AEF}=\frac{A{B}^2}{A{E}^2}$

সুতরাং  ΔABC : ΔAEF = AB² : AE². (দেখানো হলো)

যদি সমান সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট দুইটি বহুভুজের একটির কোণগুলো যথাক্রমে অপরটির কোণগুলোর সমান হয়, তবে বহুভুজ দুইটিকে সদৃশকোণী বহুভুজ বলে।

সমান সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট দুটি বহুভুজের একটির শীর্ষ বিন্দুগুলোকে যদি যথাক্রমে অপরটির শীর্ষবিন্দুগুলোর সঙ্গে এমনভাবে মিল করা যায় যে, বহুভুজ দুইটির-
(ক) অনুরূপ কোণগুলো সমান হয় এবং
(খ) অনুরূপ দুইটি বাহুর অনুপাত সমান হয়।
তবে বহুভুজ দুইটিকে সদৃশ (similar) বহুভুজ বলা হয়।

দুইটি ত্রিভুজের একটির দুই কোণ অপরটির দুই কোণের সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সদৃশকোণী এবং এর ফলে এগুলো সদৃশ হয়। কারণ যেকোনো ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।

△ABC ও △ ADE সদৃশ হলে, এদের অনুরূপ বাহুদ্বয়ের অনুপাত সমান।

∴ $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$

বা, $\frac{18}{6}=\frac{x}{5}$

∴ x = 15

নির্ণেয় মান x = 15

দুইটি বহুভুজ সদৃশ হওয়ার শর্ত দুইটি হলো:

(i) অনুরূপ কোণগুলো সমান হবে।

(ii) অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাতগুলো সমান হবে।

দেওয়া আছে, △ ABC ও △ DEF সদৃশ এবং এদের অনুরূপ বাহু AB ও DE এর অনুপাত 2 : 3

আমরা জানি, দুইটি সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত এদের যেকোনো দুইটি অনুরূপ বাহুর বর্গের অনুপাতের সমান।

△ ABC : △ DEF : $=A{B}^2: D{E}^2=\left(2^2\right): \left(3^2\right)=4 : 9$

নির্ণেয় △ ABC : △DEF = 4 : 9

আমরা জানি, দুইটি ত্রিভুজ সদৃশকোণী হলে এদের অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক।

অর্থাৎ $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$

বা, $\frac{5}{DE}=\frac{6}{12}$

বা, $6DE = 5 \times 12$

বা, $DE=\frac{5\times 12}{6}$

∴ DE = 10

নির্ণেয় DE = 10 সে.মি.।

আমরা জানি,

দুইটি ত্রিভুজ সদৃশকোণী হলে এদের অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক।

অর্থাৎ, $\frac{AB}{RP}=\frac{BC}{PQ}$

বা, $\frac{4}{3}=\frac{BC}{2}$

বা, BC = 4

নির্ণেয় BC = 4 সে.মি.।

△ PQR এ ∠ P+ ∠ Q+ ∠R = 180°

বা, ∠P + 60° + 40° = 180°

বা, ∠ P = 180° - 60° - 40°

∴ ∠P = 80°

আমরা জানি, দুইটি ত্রিভুজের বাহুগুলো সমানুপাতিক হলে অনুরূপ বাহুর বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।

অর্থাৎ ∠ P = ∠ X

বা, 80°= ∠ X

∴ X = 80°

নির্ণেয় ∠X = 80°

প্রদত্ত চিত্র হতে, ∆ABC ও ∆CDE এ ∠ABC = ∠DEC = 70° ∠ECD = ∠ACB [বিপ্রতীপ কোণ]

এবং অবশিষ্ট ∠BAC= অবশিষ্ট ∠CDE

∴ ∆ABC ও ∆ CDE সদৃশকোণী

∴ $\frac{AC}{CD}=\frac{BC}{CE}$

বা, $\frac{4}{8}=\frac{2}{CE}$

বা, 4CE = 16

∴ $CE=\frac{16}{4}=4$

নির্ণেয় CE এর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি.।

এখানে, ∆ABC ও ∆DEF সদৃশ এবং এদের অনুরূপ বাহু BC ও EF।

আমরা জানি, দুইটি সদৃশ ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত এদের যেকোনো দুই অনুরূপ বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলম্বয়ের অনুপাতের সমান।

অর্থাৎ, △ ক্ষেত্র, ABC/△ ক্ষেত্র DEF $=\frac{B{C}^2}{E{F}^2}$

বা, $\frac{4}{3}=\frac{B{C}^2}{E{F}^2}$

বা, $\frac{3}{4}=\frac{B{C}^2}{E{F}^2}$

বা, 3 : 4 = $B{C}^2$ : $E{F}^2$

∴ $E{F}^2$: $B{C}^2$ = 3 : 4 (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, ∠A = ∠R, AB = 5QR এবং AP = 10 সে.মি.।

ΔABP ও ΔPQR এ, ∠APB = ∠QPR [বিপ্রতীপ কোণ]

∠BAP = ∠QRP [দেওয়া আছে]

এবং অবশিষ্ট ∠ABP = অবশিষ্ট ∠PQR

∴ ΔABP ও ΔPQR সদৃশকোণী

∴ $\frac{AB}{QR}=\frac{AP}{PR}$

বা, $\frac{5QR}{QR}=\frac{10}{PR}$

বা, $5=\frac{10}{PR}$

বা,  $PR=\frac{10}{5}=2$

নির্ণেয় PR এর মান 2 সে.মি.।

প্রদত্ত চিত্রে, ∠Q = ∠S [দেওয়া আছে]

অর্থাৎ ∠PQR = ∠RST

∠PRQ = ∠SRT [বিপ্রতীপ কোণ]

এবং অবশিষ্ট ∠QPR = অবশিষ্ট ∠RTS

∴ Δ PQR ও Δ RST সদৃশকোণী। (দেখানো হলো)

ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাবুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।

ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র: ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র বলা হয়। ভরকেন্দ্রকে সাধারণত G দ্বারা প্রকাশ করা হয়। ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রে মধ্যমাগুলো 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত হয়।

ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো হতে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাহাই লম্ববিন্দু বা লম্বকেন্দ্র।

∆ABC এর শীর্ষবিন্দু A, B, C হতে বিপরীত বাহু যথাক্রমে BC, AC ও AB এর উপর অঙ্কিত লম্ব AD, BE ও CF পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে। এখানে O হচ্ছে ∆ABC এর লম্ববিন্দু।

মনে করি, ABC ত্রিভুজের AD একটি মধ্যমা যার পাদবিন্দু। D এবং ভরকেন্দ্র G.

আমরা জানি, ভরকেন্দ্র ত্রিভুজের যেকোনো মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। তাহলে, △ ABC এর AG : GD = 2 : 1

দেওয়া আছে, মধ্যমার পাদবিন্দু হতে ভরকেন্দ্রের দূরত্ব 6 সে.মি.।

প্রশ্নমতে, AG : 6 = 2 : 1 বা, $\frac{AG}{6}=\frac{2}{1}$∴ AG = 12

∴ মধ্যমা AD এর দৈর্ঘ্য = AG + GD = (12+6) সে.মি. = 18 সে.মি. নির্ণেয় মধ্যমার দৈর্ঘ্য 18 সে.মি.।

নববিন্দুবৃত্ত: কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুত্রয়, শীর্ষবিন্দুগুলো থেকে বিপরীত বাহুত্রয়ের উপর অঙ্কিত লম্বত্রয়ের পাদবিন্দুত্রয় এবং শীর্ষবিন্দু ও লম্ববিন্দুর সংযোগ রেখাত্রয়ের মধ্যবিন্দুত্রয়, সর্বমোট এই নয়টি বিন্দু একই বৃত্তের উপর অবস্থান করে। এই বৃত্তকেই নববিন্দুবৃত্ত বলে।

দেওয়া আছে, AG = 2 সে.মি.

△ ABC-এ, G ভরকেন্দ্র। তাহলে, AD মধ্যমা।

∴ $\frac{AG}{GD}=\frac{2}{1}$

বা, $\frac{GD}{AG}=\frac{1}{2}$ [ব্যস্তকরণ করে]

বা, $\frac{GD + AG}{AG}$$=\frac{1 + 2}{2}$ [যোজন করে]

বা, $\frac{AD}{AG}=\frac{3}{2}$

∴ $AD =\frac{3}{2}\times AG=\frac{3}{2}\times 4=6$

নির্ণেয় AD = 6 সে.মি.

ব্রহ্মগুপ্তের উপপাদ্য: বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোনো চতুর্ভুজের কর্ণ দুইটি যদি পরস্পর লম্ব হয়, তবে তাদের ছেদ বিন্দু হতে কোনো বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব বিপরীত বাহুকে দ্বিখণ্ডিত করে।

টলেমির উপপাদ্য: বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্র ঐ চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের সমষ্টির সমান।

এখানে, PQR সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র E এবং ব্যাসার্ধ, R = PE = QE = 6 সে.মি.।

PM এবং QN মধ্যমান্বয় বা লম্বদ্বয় E বিন্দুতে ছেদ করায় E হচ্ছে ভরকেন্দ্র বা লম্বকেন্দ্র।

∴ $PM =\frac{2}{3}PE$

$=\frac{2}{3}\times 6$ সে.মি. = 9 সে.মি.

আবার, PQ.PR = 2R. PM

বা, PQ.PQ = 2 $\times$ 6$\times$9 [ $\because$PQR সমবাহু ত্রিভুজ]

বা, $P{Q}^2=108$

বা, $PQ=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$

∴ PQ = 10.392 (প্রায়)

নির্ণেয় ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 10.392 সে.মি. (প্রায়)।

এখানে, ABC সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র E এবং ব্যাসার্ধ, R = AE = BE = 4 সে.মি.।

AM এবং BN মধ্যমাদ্বয় বা লম্বদ্বয় E বিন্দুতে ছেদ করায় E হচ্ছে ভরকেন্দ্র বা লম্ব।

∴ $AM=\frac{3}{2}AE=\frac{3}{2}\times 4$ সে.মি. $=\frac{12}{2}$ সে.মি. = 6 সে.মি.

আবার, AB.AC = 2R. AM

বা, $AB.AB = 2 \times 4 \times 6$ [$\because$ ABC সমবাহু ত্রিভুজ]

বা, $A{B}^2=48$

বা, $AB=\sqrt{48}$ $=\sqrt{16\times 3}=4\sqrt{3}$

∴ AB = 6.928 (প্রায়)

নির্ণেয় ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য 6.928 সে.মি. (প্রায়)।

দেওয়া আছে, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 4 সে.মি.

∴ সমবাহু ত্রিভুজের অন্তঃবৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{4}{2\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$ সে.মি.

∴ অন্তর্বৃত্তের ক্ষেত্রফল $={\mathrm{\pi r}}^2=3.1416{\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}^2$বর্গ সে.মি.

=4.189 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 4.189 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

দেওয়া আছে, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 6 সে.মি.

∴ সমবাহু ত্রিভুজের অন্তবৃত্তের ব্যাসার্ধ,

$r=\frac{a}{2\sqrt{3}}$ একক

$=\frac{6}{2\sqrt{3}}$ সে.মি.

$=\sqrt{3}$ সে.মি.

সুতরাং সমবাহু ত্রিভুজের অর্ন্তবৃত্তের ক্ষেত্রফল = ${\mathrm{\pi r}}^2$ বর্গ একক

$=\mathrm{\pi }\times {\left(\sqrt{3}\right)}^2$ বর্গ সে.মি.

= 3 $\mathrm{\pi }$ বর্গ সে.মি.

$= 3\times 3.1416=9.42$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 9.42 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

দেওয়া আছে, ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ 8 সে.মি.

∴ নববিন্দুবৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r=\frac{1}{2}\times$ ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ

$=\frac{1}{2}\times 8$$=\frac{1}{2}\times 8$ সে.মি. = 4 সে.মি.

∴ নববিন্দুবৃত্তের ক্ষেত্রফল $={\mathrm{\pi r}}^2$ বর্গ একক

$=3.1416 \times 4^2$

$=3.1416\times 16 = 50.2656$ বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় নববিন্দুবৃত্তের ক্ষেত্রফল 50.2656 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

এখানে, বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ ABCD এর প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 3 সে.মি.। সুতরাং, ABCD একটি বর্গ যার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a = 3 সে.মি.।

আমরা জানি, বর্ণের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে, বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{2}a$

∴ ABCD বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{2}\times 3$ সে.মি.

∴ কর্ণদ্বয়ের গুণফল $=\sqrt{2}\times 3\times \sqrt{2}\times 3$ বর্গ সে.মি. = 18 বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় কর্ণদ্বয়ের গুণফল 18 বর্গ সে.মি.।

এখানে, ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ = 6 সে.মি.

∴ নববিন্দুবৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r=\frac{1}{2}\times$ ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ

$=\frac{1}{2}\times 6$ সে.মি. = 3 সে.মি.

∴ নববিন্দুবৃত্তের ক্ষেত্রফল $={\mathrm{\pi r}}^2$ বর্গ একক

$= 3.1416 \times 3^2$ বর্গ সে.মি.

$= 3.1416 \times 9$ বর্গ সে.মি.

= 28.2744 বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় নববিন্দুবৃত্তের ক্ষেত্রফল 28.2744 বর্গ সে.মি.।

এখানে, ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ 7 সে.মি.

∴ নববিন্দুবৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r=\frac{1}{2}\times$ ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ

$=\frac{1}{2}\times 7$ সে.মি. = 3.5 সে.মি.

∴ নববিন্দুবৃত্তের ক্ষেত্রফল $={\mathrm{\pi r}}^2$ বর্গ একক

$=3.1416 \times {(3.5)}^2$ বর্গ সে.মি.

$= 3.1416 \times 12.25$ বর্গ সে.মি. = 38.4846 বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় নববিন্দুবৃত্তের ক্ষেত্রফল 38.4846 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

ধরি, ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ = r একক

ত্রিভুজের পরিবৃত্তের পরিধি = 2$\mathrm{\pi }$r একক

শর্তমতে, 2$\mathrm{\pi }$r = 24

বা, $r=\frac{24}{2\mathrm{\pi }}=\frac{12}{\mathrm{\pi }}=\frac{12}{3.1416}$ = 3.8197 (প্রায়)

ত্রিভুজের নববিন্দুবৃত্তের ব্যাসার্ধ, $R=\frac{1}{2}\times$ পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ

$=\frac{1}{2}\times 3.8197$ সে.মি. = 1.90985 সে.মি.

ত্রিভুজের নববিন্দুবৃত্তের ক্ষেত্রফল $={\mathrm{\pi R}}^2$

$= 3.1416 {(1.90985)}^2$ বর্গ সে.মি.

$= 3.1416 \times 3.647527$ বর্গ সে.মি. = 11.459 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় নববিন্দুবৃত্তের ক্ষেত্রফল 11.459 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

ধরি, ত্রিভুজের নববিন্দুবৃত্তের ব্যাসার্ধ = r একক

ত্রিভুজের নববিন্দুবৃত্তের পরিধি = $2\mathrm{\pi r}$ একক

শর্তমতে, $2\mathrm{\pi r}=20$

বা, $r=\frac{20}{2\mathrm{\pi }}=\frac{10}{\mathrm{\pi }}=\frac{10}{3.1416}$ = 3.18309 (প্রায়)।

ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল ${\mathrm{\pi R}}^2$ বর্গ একক

$=3.1416\times {(6.36618)}^2$ বর্গ সে.মি.

$=3.1416 \times 40.52824779$ বর্গ সে.মি.

= 127.3235 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল 127.3235 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।