সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হলো বৃত্তীয় চতুর্ভুজ বা বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ যার চারটি শীর্ষবিন্দু বৃত্তের উপর অবস্থিত।

চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ

মনে করি, কোণদ্বয় x° ও 2x°.

আমরা জানি, বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের পরস্পর বিপরীত কোণ দুইটির সমষ্টি 180°.

$\therefore x°+2x°=180°$

$3x=180°$

$x=\frac{180°}{3}=60$

$x°=60°$

$2x°=2\times 60°=120°$

নির্ণেয় কোণ দুইটির পরিমাণ 60° ও 120°.

এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQRS একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ

$\angle PQR=2\angle PSR$

$\angle PSR=\frac{1}{2}\angle PQR$

PQRS চুর্ভুজে $\angle PQR$ এর বিপরীত কোণ $\angle PSR$

$\angle PQR+\angle PSR=180°$

[বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180°]

$\angle PQR+\frac{1}{2}\angle PSR=180°$

$\frac{3}{2}\angle PQR=180°$

$\angle PQR=\frac{2\times 180°}{3}$

$\angle PQR=120°$

নির্ণেয় $\angle PQR$ এর মান $120°$

আমরা জানি, বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি আয়ত। তাই এর প্রতিটি কোণ এক সমকোণ বা 90° এবং AD বাহুকে E পর্যন্ত বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ $\angle$CDE কোণটিও সমকোণ হবে।

$\angle CDE+\angle ABC=90°+90°=180°$

চিত্রে, ABCD বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের $\angle$ABC = $110°$

আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি $180°$

$\angle ADC+\angle ABC=180°$

$\angle ADC+110°=180°$

$\angle ADC=180°-110°=70°$

$\angle ADC=70°$

$∆ABC$এ

$\angle ABC=180°-(\angle CAB+\angle ACB)$

$=180°-(20°+90°)$

[AB ব্যাস, অর্ধবৃত্তস্থ $\angle ABC=90°$]

=$180°-110°=70°$

বৃত্তে অন্তর্লিখিত ABCD চতুর্ভুজের

$\angle ABC+\angle ADC= 180°$

[ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি 180°]

$70°+\angle ADC= 180°$

$\angle ADC= 180°-70°=110°$

যেহেতু, $AD=CD$

$\therefore$ $\angle DAC=\angle ACD$

এখন, $∆ACD$ এ $\angle ADC+\angle ACD+\angle DAC=180°$

$110°+\angle ACD+\angle ACD=180°$

$2\angle ACD=180°-110°=70°$

$\angle ACD=\frac{70°}{2}=35°$

PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজে, $\angle QPS+\angle QRS=180°$

[বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি 180°]

$70°+\angle QRS=180°$

$\angle QRS=180°-70°=110°$

আবার, $\angle SRT=180°-\angle QRS=180°-110°=70°$

$\frac{1}{2}\angle SRT=\frac{1}{2}\times 70°=35°$

$\frac{1}{2}\angle SRT=35°$

এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ। বৃত্তে অন্তর্লিখিত ABCD চতুর্ভুজে ∠BAD এর বিপরীত কোণ ∠BCD

আমরা জানি, বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180°.

$\therefore$ ∠BAD + ∠BCD = 180°.

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD একটি বৃত্তস্থ সামান্তরিক যার AB = CD ও AB || CD এবং AD = BC ও AD || BC.

আবার, ∠ABC = ∠ADC = 90° [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]

অনুরূপে ∠DAB = ∠DCB = 90°

অর্থাৎ, ∠A = ∠B = ∠C=∠D=90°

যেহেতু ABCD চতুর্ভুজের শুধুমাত্র বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল এবং প্রত্যেকটি কোণ 90°

সুতরাং, বৃত্তস্থ ABCD সামান্তরিক একটি আয়ত। (দেখানো হলো)

আমরা জানি, বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।

$\angle BCD+\angle BAD = 180°$

$\angle BCD + 85°= 180°$

$\angle BCD= 180°-85°$

$\angle BCD=95°$

এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABCD বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r= OA = 2.5 সে.মি.

ABCD বৃত্তের 'ক্ষেত্রফল

$=\pi ² = 3.1416 \times (2.5)²$ বর্গ সে.মি

$= 3.1416 \times 6.25$ বর্গ সে.মি.

$= 19.635$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় বৃত্তের ক্ষেত্রফল 19.635 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

O, A; O, B; O, Cও O, D যোগ করি।

এখন, ∠BOC + ∠AOD=2(∠BAC+ ∠ABD)

[বৃত্তের' একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]

= 2$\angle$BAE+$\angle$ABE

$= 2 \times 90° [\therefore \Delta {\rm B}{\rm A}E$ সমকোণী]

$= 180°$

$\therefore$ $\angle BOC+\angle AOD = 180°.$

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ PQRS-এর বহিঃস্থ ∠PST = অন্তঃস্থ বিপরীত ∠RQP

$\angle PST=\angle RQP=76°$

$∆STP$ এ $\angle STP+\angle PST+\angle SPT=180°$

[ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°]

$\angle STP=180°-\left(\angle PST+\angle SPT\right)$

$\angle STP=180°-\left(76°+34°\right)$

$=180°-110°=70°$

$\angle STP=70°$

O কেন্দ্রবিশিস্ট বৃত্তে PQRS অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের বহিঃস্ব কোণ ∠QRT = 80°

যেহেতু বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণের সমান। তাহলে, ∠QRT = ∠SPQ.

∠SPQ= 80°

ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AD বাহুকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ ∠CDE = বিপরীত অন্তঃস্থ ∠ABC

$\angle$ABC=$\angle$CDE = 85$°$

আবার, ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের $\angle$BCD+ $\angle$BAD = 180$°$

বা, $\angle$BAD=180$°$ - $\angle$BCD = 180$°$- 135$°$= 45$°$

$\therefore$$\angle$ABC+$\angle$BAD = 85$°$+ 45$°$= 130$°$

এখানে, বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ, ABCD এর ∠BAD = 95°। আমরা জানি, বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180°।

$\therefore$$\angle BAD + BCD = 180°$

বা, $\angle BAD=180°-\angle BAD=180°-95°=85°$

$\therefore$ $\angle BCD=85°$

ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজে, $\angle$ABC+ $\angle$ADC = 180$°$

বা, $\angle$ADC=180$°$ - $\angle$ABC = 180 deg - 118$°$$\angle$ADC = 62$°$

△ ADC এ $\angle$ACD+ $\angle$ADC+ $\angle$CAD = 180$°$

বা, $\angle$CAD=180$°$ - $\angle$ACD- $\angle$ADC = 180$°$- 30$°$- 62$°$

=180°-92° = 88°

$\angle$CAD = 88$°$

এখানে, একই চাপে BCD এর উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle$BOD এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle$BAD

$\angle$BOD = 2$\angle$BAD [বৃত্তের একই চাপের উপর দড়ায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

2$\times$x   [$\angle$BAD=2x]

= 2x

আবার, ∠BOD + প্রবৃদ্ধ BOD = 360$°$

বা, 2x + 4x = 360$°$

বা, 6x = 360$°$

$\therefore$$X=\frac{360°}{6}=60°$

$\therefore$$\angle BAD+\angle BCD = 180°$

বা, $X+\angle BCD = 180°$

বা, $\angle BCD = 180°-x=180°-60°=120°$

$\therefore$ $\angle BCD =120°$

এখানে, বৃত্তস্থ $\angle$QPS = 3x

এবং কেন্দ্রস্থ $\angle$QOS = 2x + 60

আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের ওপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

$\angle$QOS - 2$\angle$QPS

বা, 2x + 60$°$= 2$\times$3x

বা, 2x + 60$°$= 6x

বা, 60$°$ = 6x - 2x = 4x

x=15$°$

$\angle$QPS = 3x = 3$\times$15$°$ = 45$°$

এখন, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ PQRS এর $\angle$QPS+ $\angle$QRS = 180$°$

$\angle$QRS=180$°$ - $\angle$QPS = 180$°$- 45$°$ = 135$°$

$\angle$QRS = 135$°$

এখানে, বৃত্তস্থ কোণ $\angle$QPS = 3x এবং কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle$QOS = 2x + 60

$2x+60°=2\times 3x$

$60°=6x-2x$

$60°=4x$

$x=\frac{60}{4}=15°$

$x=15°$

$\angle QPS = 3x = 3\times 15°= 45°$

$\angle QRS = 180°-\angle QPS$

=$180°-45°$

$= 135°$

$\angle PQR = 180°-\angle PSR$

$= 180°-90°$

$=90°$

$\therefore \angle QRS+\angle PQR =135°+90°=225°$

চিত্র হতে, $\angle$ADC = 110$°$

যেহেতু বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180°। সেহেতু $\angle$ABC+ $\angle$ADC = 180$°$

বা, $\angle$ABC + 110$°$ = 180$°$

বা,$\angle$ABC = 180$°$- 110$°$

$\angle$ABC = 70$°$

এখানে, $\angle$A = 83°

আমরা জানি, বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180°।

$\angle A+\angle C=180°$

$83°+\angle C=180°$

$\angle C=180°-83°=97°$

$\angle C=97°$

এখানে, ABCD চতুর্ভুজের $\angle$A+ $\angle$C = 180$°$

এখন, $\angle$A+ $\angle$ B+ $\angle$C+ $\angle$D = 360$°$

[চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি চার সমকোণ৷ বা 360°]

$\angle$ A+ $\angle$C+ $\angle$B+ $\angle$ D = 360$°$

$$\begin{gathered} 180°+\angle B+\angle D=360° \\ \angle B+\angle D=360°-180° \\ \angle B+\angle D=180° \end{gathered}$$