সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন

একটি রাশি (ভাজ্য) অপর একটি রাশি (ভাজক) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে, ভাজ্যকে ভাজকের একটি গুণিতক বলে এবং ভাজককে ভাজ্যের গুণনীয়ক বা উৎপাদক বলে। যেমন: $10 ÷ 2 = 5.$

এখানে, 10 হলো 5 ও 2 এর গুণিতক এবং 2 ও 5 হলো 10 এর গুণনীয়ক বা উৎপাদক।

যে রাশি দুই বা ততোধিক রাশির প্রত্যেকটির গুণনীয়ক, ঐ 'রাশিকে প্রদত্ত রাশিগুলোর সাধারণ গুণনীয়ক রলে। যেমন: 5x ও 3x এর সাধারণ গুণনীয়ক হলো x।

কোনো একটি রাশি অপর এক অথবা একাধিক রাশি দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে প্রথম রাশিটিকে শেষোক্ত রাশূিলোর গুণিতক বলে। যেমন: $x^{3}y$ রাশিটি $x, x^2, x^3, xy, y$ ইত্যাদি রাশি দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য। তাই $x^{3}y$ রাশিটিকে $x, x^2, x^3, xy, y$ ইত্যাদি রাশিগুলোর গুণিতক বলে।

কোনো রাশি দুই বা ততোধিক রাশির প্রত্যেকটি দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হলে প্রথমোক্ত রাশিটিকে শেষোক্ত রাশি দুটির বা রাশিসমূহের সাধারণ গুণিতক বলে। যেমন : $xy; x^{2}y, x{y}^2$  এই তিনটি রাশির একটি সাধারণ গুণিতক হলো $x^2{y}^2$ , কারণ $x^2{y}^2$ ঐ তিনটি রাশির প্রত্যেকটি দ্বারা বিভাজ্য।

দুই বা ততোধিক রাশির গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু.) হলো এমন একটি রাশি যা সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় এবং যা দ্বারা প্রদত্ত রাশিগুলো নিঃশেষে বিভাজ্য হয়।
যেমন: 2xy ও 7xy এর গ.সা.গু. হলো xy ।

সমাধান : $3x^2{y}^{3}z=3\times x\times x\times y\times y\times y\times z$
$9x^{3}y{z}^2=3\times 3\times x\times x\times x\times y\times z\times z$
এখানে, সাধারণ গুণনীয়কগুলো হলো : 3, x, x, y, z
নির্ণেয় গ.সা.গু. = $3\times x\times x\times y\times z=3x^{2}yz.$

 $4a^4{b}^2{c}^3=2\times 2\times a\times a\times a\times a\times b\times b\times c\times c\times c$
$8a^2{b}^3{c}^4=2\times 2\times 2\times a\times a\times b\times b\times b\times c\times c\times c\times c$

এখানে, সাধারণ গুণনীয়কগুলো হলো : 2, 2, a, a, b, b, c, c, c

নির্ণেয় গ.সা.গু. = $2\times 2\times a\times a\times b\times b\times c\times c\times c=4a^2{b}^2{c}^3.$

$5p^{2}q r^2=5\times p\times p\times q\times r\times r$

$25p{q}^2{r}^2=5\times 5\times p\times q\times q\times q\times q\times q\times r\times r$

এখানে, সাধারণ গুণনীয়কগুলো হলো : 5, p, q, r, r

নির্ণেয় গ.সা.গু. $= 5 \times p\times q\times r\times r = 5pq{r}^2.$

সমাধান : $9a^3{b}^2{c}^2=3\times 3\times a\times a\times a\times b\times b\times c\times c$
$12a^{2}bc=2\times 2\times 3\times a\times a\times b\times c$
$15a{b}^3{c}^3=3\times 5\times a\times b\times b\times b\times c\times c\times c$

এখানে, সাধারণ গুণনীয়কগুলো হচ্ছে 3, a, b, c
নির্ণেয় গ.সা.গু. = $3 \times a \times b \times c$ = 3abc.

১ম রাশি = $x^2-3x=x(x-3)$
২য় রাশি = $x^2-9=(x)^2-(3)^2=(x+3)(x-3)$
৩য় রাশি = $x^2-4x+3=x^2-3x-x+3$
$\qquad\;\;=x(x-3)-1(x-3)=(x-3)(x-1)$

নির্ণেয় গ. সা. গু. = $x-3$.

সমাধান : ১ম রাশি = 24 (x + y)² = 2 · 2 · 2 · 3 (x + y) (x + y)
২য় রাশি = 32 (x² − y²) = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · (x + y) (x − y)
নির্ণেয় গ. সা. গু. = $2 \times 2 \times 2 \times (x + y) = 8 (x + y).$

১ম রাশি = (a + 2)² = (a + 2) (a + 2)
২য় রাশি = a² + 2a = a(a + 2)
৩য় রাশি = a² + 5a + 6
  = a² + 2a + 3a + 6
  = a(a + 2) + 3(a + 2)
  = (a + 2) (a + 3)

নির্ণেয় গ.সা.গু = a + 2

প্রথম রাশি $=x^2-4=x^2-2^2=(x+2)(x-2)$

দ্বিতীয় রাশি = xy - 2y = y(x - 2)

নির্ণেয় গ.সা.গু. = (x - 2).

১ম রাশি = 4a² − 1
  = (2a)² − (1)²
  = (2a + 1) (2a − 1)

দ্বিতীয় রাশি = 2a² + 3a − 2
  = 2a² + 4a − a − 2
  = 2a(a + 2) − 1(a + 2)
  = (a + 2) (2a − 1)

তৃতীয় রাশি = 6a² − a − 1
  = 6a²− 3a + 2a − 1
  = 3a(2a − 1) + 1(2a − 1)
  = (2a − 1) (3a + 1)

নির্ণেয় গসাগু = (2a − 1).

$3xy = 3\times x\times y$

$6x^{2}y=2\times 3\times x\times x\times y$

$9x{y}^2=3\times 3\times x\times y\times y$

এখানে, সাধারণ গুণনীয়কগুলো হচ্ছে 3, x, y

নির্ণেয় গ.সা.গু $= 3\times x\times y = 3xy .$

১ম রাশি = $x^2-25$
     = $(x{)}^2-(5{)}^2=(x+5)(x-5)$

২য় রাশি = $(x-5{)}^2$
     = (x − 5)(x − 5)

এখানে, প্রদত্ত রাশি দুটির সাধারণ মৌলিক উৎপাদক (x − 5)
নির্ণেয় গ.সা.গু. (x − 5).

১ম রাশি $=x^2+ 9=(x^2+9)$

২য় রাশি $=x^2+7x+12$

$=x^2+3x+4x+12$

= x(x + 3) + 4(x + 3)

= (x + 3)(x + 4)

৩য় রাশি $= 3x + 9 = 3(x + 3)$

দেখা যাচ্ছে, রাশিগুলোর মধ্যে কোনো সাধারণ মৌলিক উৎপাদক নাই। আবার, যেকোনো রাশির উৎপাদক ।। তাই রাশিগুলোর একটি সাধারণ উৎপাদক । হবে।

রাশিগুলোর গ.সা.গু. = 1

নির্ণেয় গ.সা.গু. 1.

$১৭\frac{১১}{১৭}\%$

রাশিগুলোর সহগ সংখ্যা 3 ও 5 এর ল.সা.গু. হলো 15। প্রদত্ত রাশিগুলোর অন্তর্ভুক্ত সর্বাধিক ঘাতবিশিষ্ট উৎপাদকগুলো যথাক্রমে $x^2, y^3 ও z^2$ ।

নির্ণেয় ল.সা.গু. = $15x^2{y}^3{z}^2.$

রাশিগুলোর সহগ সংখ্যা ৪ ও ৭ এর ল.সা.গু. হলো 28।
প্রদত্ত রাশিগুলোর অন্তর্ভুক্ত সর্বাধিক ঘাতবিশিষ্ট উৎপাদকগুলো যথাক্রমে $a^2$, $b^2$ ও $c^2$।

নির্ণেয় ল.সা.গু. = $28a^2b^2c^2$.

রাশিদ্বয়ের সাংখ্যিক সহগ 6 ও ৪ এর ল.সা.গু. হলো 24. প্রদত্ত রাশিগুলোর অন্তর্ভুক্ত সর্বোচ্চ ঘাতবিশিষ্ট উৎপাদকগুলো যথাক্রমে  $m^2ও n^2$

নির্ণেয় ল.সা.গু. = $24 m^2ও n^2$

এখানে, প্রদত্ত রাশিগুলোর সাংখ্যিক সহগ 4, ৪ ও 6. এর ল.সা.গু. = 24

রাশিগুলোর অন্তর্ভুক্ত সর্বোচ্চ ঘাতবিশিষ্ট উৎপাদকগুলো যথাক্রমে $a^2, b^2, c.$

ল.সা.গু. = $24 a^2{b}^2 c.$

রাশিগুলোর সাংখ্যিক সহগ 1, 1ও 1 এর ল.সা.গু. = 1 রাশিগুলোর অন্তর্ভুক্ত সর্বোচ্চ ঘাতবিশিষ্ট উৎপাদকগুলো যথাক্রমে $a^7, b^4, c^3$

নির্ণেয় ল.সা.গু. = $a^7{b}^4 c^3$

রাশিগুলোর সাংখ্যিক সহগ 5, 10 ও 15. এর ল.সা.গু. = 30 রাশিগুলোর অন্তর্ভুক্ত সর্বোচ্চ ঘাতবিশিষ্ট উৎপাদকগুলো যথাক্রমে $a^2, b^3ও c^3$

নির্ণেয় ল.সা.গু = $30 a^2{b}^3{c}^3$

রাশিগুলোর সাংখ্যিক সহগ 3, 4, 5 ও 12 এর ল.সা.গু. = 60 রাশিগুলোর অন্তর্ভুক্ত সর্বোচ্চ ঘাতবিশিষ্ট উৎপাদকগুলো যথাক্রমে $x^4, y^4 ও z^2$

নির্ণেয় ল.সা.গু. = $60x^4 y^4 z^2$

১ম রাশি = $x^2 + 3x + 2 = x^2 + 2x + x + 2$
 = $x(x + 2) + 1(x + 2)$
 = $(x + 2)(x + 1)$

২য় রাশি = $x^2 - 1 = x^2 - 1^2 = (x + 1)(x - 1)$

৩য় রাশি = $x^2 + x - 2$
 = $x^2 + 2x - x - 2$
 = $x(x + 2) - 1(x + 2) = (x + 2)(x - 1)$

নির্ণেয় ল.সা.গু. = $(x + 1)(x - 1)(x + 2) = (x^2 - 1)(x + 2)$.

১ম রাশি = $x^2 - 4 = x^2 - (2)^2 = (x + 2)(x - 2)$

২য় রাশি = $x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2x + 2x + 4$
 = $x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x + 2)$

নির্ণেয় ল.সা.গু. = $(x + 2)(x + 2)(x - 2)$
      = $(x + 2)^2 (x - 2)$.

১ম রাশি = $3x^2 + 7x + 2$
 = $3x^2 + 6x + x + 2$
 = $3x(x + 2) + 1(x + 2)$
 = $(x + 2)(3x + 1)$

২য় রাশি = $2x^2 + 3x - 2$
 = $2x^2 + 4x - x - 2$
 = $2x(x + 2) - 1(x + 2)$
 = $(x + 2)(2x - 1)$

নির্ণেয় ল.সা.গু. = $(x + 2)(2x - 1)(3x + 1)$.

১ম রাশি = $x^2 + 10x + 21$
 = $x^2 + 7x + 3x + 21$
 = $x(x + 7) + 3(x + 7)$
 = $(x + 7)(x + 3)$

২য় রাশি = $x^4 - 49x^2$
 = $x^2(x^2 - 49) = x^2(x^2 - 7^2)$
 = $x^2(x + 7)(x - 7)$
 = $x \cdot x \cdot (x + 7)(x - 7)$

∴ রাশি দুইটির ল.সা.গু = $x \cdot x \cdot (x + 3) \cdot (x + 7) \cdot (x - 7)$
 = $x^2(x + 3)(x^2 - 7^2)$
 = $x^2(x + 3)(x^2 - 49)$.