সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন

চলকের মান দ্বারা একাধিক সমীকরণ সিদ্ধ হলে সমীকরণগুলোকে একসাথে সহসমীকরণ বলে।

সরল সহসমীকরণ বলতে দুই চলকবিশিষ্ট দুইটি সরল সমীকরণকে বুঝায় যখন এদের একত্রে উপস্থাপন করা হয় এবং চলক দুইটি একই বৈশিষ্ট্যের হয়।

যে মান একাধিক সহসমীকরণকে সিদ্ধ করে অর্থাৎ চলকের যে মানের জন্য একাধিক সরল সহসমীকরণের উভয় পক্ষ একই হয় তাকে সাধারণ সমাধান বলে।

যে সমীকরণজোটের একটি মাত্র সমাধান পাওয়া যায় সেই সমীকরণজোটকে সমঞ্জস ও অনির্ভরশীল সমীকরণজোট বলে।

যে সমীকরণজোটের একাধিক সমাধান বিদ্যমান অর্থাৎ একাধিক মান দ্বারা সমীকরণজোটটি সিদ্ধ হয় সেই সমীকরণজোটকে নির্ভরশীল সমীকরণজোট বলে।

যদি সমীকরণজোটের চলকের সহগের অনুপাত ও ধ্রুব পদের অনুপাত সমান হয় তবে ঐ সমীকরণজোটের একাধিক সমাধান বিদ্যমান।

যদি একটি সমীকরণজোটের চলকের সহগের অনুপাত সমান হয় কিন্তু ধ্রুব পদের অনুপাত সমান হয় না তবে সমীকরণজোটটি অসমঞ্জস।

প্রদত্ত সমীকরণজোট :

2x - 9y = 6

4x - 18y = 12

x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত  $= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}$

y এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $= \frac{- 9}{- 18}= \frac{1}{2}$

ধ্রুবকপদদ্বয়ের অনুপাত $= \frac{6}{12}=\frac{1}{2}$

আমরা পাই , $\frac{2}{4}= \frac{- 9}{- 18}= \frac{6}{12}$

$\therefore$ সমীকরণজোটটি সমঞ্জস এবং পরস্পর নির্ভরশীল।

প্রদত্ত সমীকরণজোট,    $$\begin{gathered} 5x + 4y = 31 \\ x - 3y = - 9 \end{gathered}$$

এখানে, x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $= \frac{5}{1}= 5$

এবং y এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = $\frac{4}{-3}$

যেহেতু  $5\ne \frac{4}{-3}$

সুতরাং সমীকরণজোটটি সঙ্গতিপূর্ণ, পরস্পর অনির্ভরশীল এবং একটিমাত্র (অনন্য) সমাধান আছে।

প্রদত্ত সমীকরণ জোট, $\left.\begin{array}{c}2x-3y=-5\\ 3x+y=9\end{array}\right\}$

x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{2}{3}$

y এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{-3}{1}$ বা, -3

ধ্রুবক পদদ্বয়ের অনুপাত $\frac{-5}{9}$

আমরা পাই  $\frac{2}{3}\ne -3$

অতএব, সমীকরণজোটটি সমঞ্জস্য ও পরস্পর অনির্ভরশীল।

∴ সমীকরণজোটটির একটি মাত্র (অনন্য) সমাধান আছে।

প্রদত্ত সমীকরণজোট :

8x + 5y - 11 = 0

বা, 8x + 5y = 11

3x - 4y - 10 = 0

বা, 3x - 4y = 10

১ম সমীকরণকে $a_{1}x+b_{1}y=c_1$ এবং ২য় সমীকরণকে $a_{2}x+b_{2}y=c_2$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

$a_1=8, b_1=5, c_1=11$

এবং $a_2=3, b_2=-4, c_2=10$

সুতরাং, $\frac{a_1}{a_2}=\frac{8}{3} ;\frac{ b_1}{b_2}=\frac{-5}{4}$; $\frac{c_1}{c_2}=\frac{11}{10}$

অর্থাৎ $\frac{a_1}{a_2}\ne \frac{b_1}{b_2}$

∴ সমীকরণজোটটি সমঞ্জস এবং এর একটি মাত্র সাধারণ সমাধান আছে।

প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়  3x + 2y = 10  ________ (i)

2x - 3y = - 2 _________ (ii)

x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $= \frac{3}{2}$

y এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $= \frac{2}{- 3}$

এখানে, $\frac{3}{2} \ne \frac{2}{- 3}$

∴ প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় সমঞ্জস এবং পরস্পর অনির্ভরশীল। সমীকরণদ্বয়ের একটি মাত্র সমাধান রয়েছে।

প্রদত্ত সরল সমীকরণজোট, 4x - 5y = - 7

                                            5x - y = 7

x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{4}{5}; y$ এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $= \frac{- 5}{- 1}= 5$

যেহেতু $\frac{4}{5}\ne 5$

সুতরাং সমীকরণজোটটি পরস্পর অনির্ভরশীল। (দেখানো হলো)

প্রদত্ত সমীকরণজোট, 7x + 2y = 20

                                  3x - 4y = - 6

এখানে, x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{7}{3}$

y এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{2}{- 4}$ বা, $- \frac{1}{2}$

যেহেতু $\frac{7}{3}\ne \frac{- 1}{2}$

সুতরাং সমীকরণজোটটির একটিমাত্র (অনন্য) সমাধান আছে।

প্রদত্ত সমীকরণ জোট : 2x + 3y = 23

                                    3x - 2y = 2

x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $= \frac{2}{3}$

y এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $= \frac{3}{- 2}= \frac{- 3}{2}$

আমরা পাই, $\frac{2}{3} \ne \frac{-3}{2}$

অর্থাৎ, সমীকরণদ্বয় সমঞ্জস, অনির্ভরশীল এবং একটিমাত্র সমাধান বিদ্যমান।

প্রদত্ত সমীকরণজোট: - 7x + 8y = 9

                                      5x - 4y = - 3

x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $= \frac{- 7}{5}$

y এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $= \frac{8}{- 4}= - 2$

আমরা পাই, $\frac{- 7}{5}\ne -2$

অর্থাৎ, সমীকরণজোটটি সমঞ্জস এবং এর একটিমাত্র সমাধান আছে।

প্রদত্ত সমীকরণজোট, 3x + 5y = 7 এবং 6x + 10y = 15

∴ সমীকরণজোটটির x এর সহগদ্বয়ের সমষ্টি = 3 + 6 = 9

∴ সমীকরণজোটটির x এর সহগদ্বয়ের সমষ্টি 9.

প্রদত্ত সমীকরণজোট, 3x - 4y = 0

                         এবং 2x - 3y = - 1

x-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{2}$

y-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $=\frac{b_1}{b_2}=\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3}$

∴ $\frac{a_1}{a_2}\ne \frac{b_1}{b_2}$

∴ সমীকরণজোটটি অনির্ভরশীল ও এর একটি মাত্র সমাধান আছে।

দেওয়া আছে,

$\frac{1}{2}x + \frac{1}{3 }y = 1$

রা, 3x + 2y = 6 ________ (i)

এবং $\frac{1}{3}x + \frac{1}{2} y = 1$

বা, 2x + 3y = 6 _______ (ii)

x এর সহগগুলোর অনুপাত $= \frac{3}{2}$

y এর সহগগুলোর অনুপাত $= \frac{2}{3}$

এখানে, $\frac{3}{2}\ne \frac{2}{3}$

∴ সমীকরণজোটটি সমঞ্জস, অনির্ভরশীল এবং এর একটিমাত্র সমাধান আছে।

দেওয়া আছে,

$ax+by=a^2+b^2$ _________ (i)

এবং 2bx - ay = ab _________ (ii)

(i) ও (ii) নং সমীকরণে a = 1 এবং b = 2 বসিয়ে পাই

x + 2y = 5 ________ (iii)

4x - y = 2 ________ (iv)

x এর সহগগুলোর অনুপাত $= \frac{1}{4}$

y এর সহগগুলোর অনুপাত $= \frac{2}{- 1}$

এখানে $\frac{1}{4} \ne \frac{2}{- 1}$

সমীকরণজোটটি সংগতিপূর্ণ।

প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় হতে আমরা পাই,

x-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{2}{4}$বা, $\frac{1}{2}$

y-এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{1}{2}$

ধ্রুবক পদদ্বয়ের সহগদ্বয়ের অনুপাত $\frac{3}{6}$ বা, $\frac{1}{2}$

আমরা পাই, $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$

সমীকরণজোটটি নির্ভরশীল হবে।