সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন

এখানে প্রদত্ত উপাত্ত বিচ্ছিন্ন। এক্ষেত্রে ব্যবধানের শ্রেণি মধ্যবিন্দু বের করে সরাসরি গণসংখ্যা বহুভুজ আঁকা সুবিধাজনক।

X-অক্ষ বরাবর ছক কাগজের প্রতি 1 ঘরকে শ্রেণি ব্যবধানের মধ্যবিন্দুর 2 একক ধরে এবং Y- অক্ষ বরাবর ছক কাগজের। ঘরকে গণসংখ্যার 1 একক ধরে প্রদত্ত উপাত্তের গণসংখ্যার বহুভুজ আঁকা হলো।

অজিভ রেখা অঙ্কনের সারণি:

X-অক্ষ বরাবর ছক কাগজের প্রতি 1 ঘরকে শ্রেণিব্যাপ্তির উচ্চসীমার 2 একক এবং Y-অক্ষ বরাবর ছক কাগজের প্রতি। ঘরকে ক্রমযোজিত গণসংখ্যার 2 একক ধরে প্রদত্ত উপাত্তের অজিভ রেখা আঁকা হলো।

মধ্যক নির্ণয়ের ক্রমযোজিত গণসংখ্যার সারণি হলো:

এখানে, n = 50; যা একটি জোড় সংখ্যা।

মধ্যক = $\frac{50}{2}$তম ও $\left(\frac{50}{2}+1\right)$ তম পদ দুইটির মানের সমষ্টি / 2

= 25তম ও 26তম পদ দুইটির মানের সমষ্টি/2

$=\frac{60+60}{2}$= 60

নির্ণেয় মধ্যক 60.

সংখ্যাভিত্তিক কোনো তথ্য বা ঘটনা হচ্ছে একটি পরিসংখ্যান। কোনো ঘটনা সম্পর্কিত সংখ্যাসূচক 'তথ্যাদিকে ঐ ঘটনার পরিসংখ্যান বলে। অর্থাৎ পরিসংখ্যান হলো জ্ঞান-বিজ্ঞানের ঐ শাখা যা তথ্য বা উপাত্ত সংগ্রহ ও বিশ্লেষণ করে কার্যকরী সিদ্ধান্ত গ্রহণ করতে আমাদের সাহায্য করে।

অনুসন্ধানাধীন উপাত্ত হলো পরিসংখ্যানের কাঁচামাল।

বিজ্ঞান ও প্রযুক্তির উন্নয়নের অগ্রযাত্রায় তথ্য ও উপাত্তের অবদানের ফলে পৃথিবী পরিণত হয়েছে বিশ্বগ্রামে। তথ্য ও উপাত্তের দ্রুত সঞ্চালন ও বিস্তারের জন্য সম্ভব হয়েছে বিশ্বায়নের। তাই উন্নয়নের ধারা অব্যাহত রাখা ও বিশ্বায়নে অংশগ্রহণ ও অবদান রাখতে হলে তথ্য ও উপাত্ত সম্বন্ধে আমাদের সম্যক জ্ঞান অর্জন করা অপরিহার্য।

কোনো ঘটনা বা বিষয় সম্পর্কিত অর্থপূর্ণ বিশেষ বর্ণনাকে তথ্য বলে। আর কোনো তথ্যের সংখ্যাত্মক প্রকাশকে ঐ তথ্যের উপাত্ত বলে। যেমন: 'অহনার বয়স ১১ বছর' এটি একটি তথ্য কিন্তু ১১ হলো উপাত্ত।

কোনো উপাত্ত সারণিভুক্ত করতে হলে-
(i) প্রথমে তার পরিসর নির্ণয় করতে হবে।
(ii) তারপর উপযুক্ত শ্রেণি ব্যবধান দিয়ে ভাগ করে শ্রেণিসংখ্যা নির্ণয় করতে হবে।
(iii) উপাত্তের সংখ্যাসূচক তথ্যসমূহ কোনো না কোনো শ্রেণিতে পড়বেই। তাই শ্রেণির বিপরীতে সাংখ্যিক মানের জন্য ট্যালি চিহ্ন ব্যবহার করে গণসংখ্যা নির্ণয় করতে হবে।
(iv) যে শ্রেণিতে যতগুলো ট্যালি চিহ্ন পড়বে তত হবে। ঐ শ্রেণির গণসংখ্যা যা ট্যালি চিহ্নের বিপরীতে গণসংখ্যা কলামে লিখতে হবে।

এখানে, উপাত্তের পরিসর = 55, সর্বনিম্ন মান = 43

আমরা জানি, পরিসর = (সর্বোচ্চ মান - সর্বনিম্ন মান) + 1

বা, 55 = (সর্বোচ্চ মান - 43) + 1

বা, 55 - 1 = সর্বোচ্চ মান 43

∴ সর্বোচ্চ মান = 97

সুতরাং, উপাত্তের সর্বোচ্চ মান 97.

এখানে, শ্রেণির উচ্চসীমা 65 এবং মধ্যমান 62.5

আমরা জানি, মধ্যমান = উচ্চসীমা + নিম্নসীমা/2

বা, 62.5 = 65 + নিম্নসীমা/2

বা, 65 + নিম্নসীমা = 125

বা, নিম্নসীমা = 125 - 65 = 60

নির্ণেয় শ্রেণির নিম্নসীমা 60.

দেওয়া আছে, উপাত্তের সর্বনিম্ন সংখ্যা 27, পরিসর= 63

উপাত্তের সর্বোচ্চ সংখ্যা = কত?

আমরা জানি, পরিসর = (সর্বোচ্চ সংখ্যা - সর্বনিম্ন সংখ্যা) + 1

বা, 63 = (সর্বোচ্চ সংখ্যা – 27) + 1

বা, 63 - 1 = সর্বোচ্চ সংখ্যা - 27

বা. 62 = সর্বোচ্চ সংখ্যা - 27

বা, সর্বোচ্চ সংখ্যা = 89

সুতরাং, উপাত্তের সর্বোচ্চ সংখ্যা 89।

দেওয়া আছে, উপাত্তের সর্বোচ্চ মান= 75 এবং পরিসর = 34

উপাত্তের সর্বনিম্ন মান = কত?

আমরা জানি, পরিসর (সর্বোচ্চ মান - সর্বনিম্ন মান) + 1

বা, 34 = (75 - সর্বনিম্ন মান) + 1

বা, 34-1 = 75 - সর্বনিম্ন মান

বা, 33 = 75- সর্বনিম্ন মান

বা, সর্বনিম্ন মান = 75-33

∴ সর্বনিম্ন মান = 42

সুতরাং, উপাত্তের সর্বনিম্ন মান 42.

দেওয়া আছে, উপাত্তের সর্বনিম্ন মান 30 এবং উপাত্তের পরিসর = 42

আমরা জানি, পরিসর (সর্বোচ্চ মান - সর্বনিম্ন মান) + 1

বা, 42 = (সর্বোচ্চ মান - 30) + 1

বা, 42 - 1 = সর্বোচ্চ মান - 30

বা, 41 +30 = সর্বোচ্চ মান

∴ সর্বোচ্চ মান = 71

নির্ণেয় সর্বোচ্চ মান 71.

দেওয়া আছে, উপাত্তের সর্বোচ্চ মান = 95

উপাত্তের পরিসর 64, উপাত্তের সর্বনিম্ন মান = কত?

আমরা জানি, পরিসর (সর্বোচ্চ মান - সর্বনিম্ন মান) + 1

বা, 64 = (95 - সর্বনিম্ন মান) + 1

বা, 64 - 1 = 95 – সর্বনিম্ন মান

∴ সর্বনিম্ন মান = 32

সুতরাং, উপাত্তের সর্বনিম্ন মান 32.

দেওয়া আছে, উপাত্তের সর্বোচ্চ মান = 91 এবং উপাত্তের পরিসর = 64

আমরা জানি, পরিসর (সর্বোচ্চ মান - সর্বনিম্ন মান) + 1

বা, 64 = (91 – সর্বনিম্ন মান) + 1

বা, 64-1 = 91 - সর্বনিম্ন মান

বা, সর্বনিম্ন মান = 91 -63 = 28

নির্ণেয় সর্বনিম্ন মান 28.

এখানে, সর্বোচ্চ মান= 97 এবং পরিসর = 48

আমরা জানি, পরিসর = (সর্বোচ্চ মান - সর্বনিম্ন মান) + 1

বা, 48 = (97 – সর্বনিম্ন মান) + 1

বা, 48 - 1 = 97 - সর্বনিম্ন মান

বা, 47 = 97 - সর্বনিম্ন মান

∴ সর্বনিম্ন মান = 97 - 47 = 50

দেওয়া আছে, উপাত্তের সর্বোচ্চ মান = 98 এবং পরিসর = 62

আমরা জানি, পরিসর (সর্বোচ্চ মান - সর্বনিম্ন মান) + 1

বা, 62 = (98 - সর্বনিম্ন মান) + 1

বা, 62 - 1 = 98 – সর্বনিম্ন মান

বা, সর্বনিম্ন মান = 98 - 61 = 37

দেওয়া আছে, শ্রেণির মধ্যমান= 47.5 এবং উচ্চসীমা = 51

∴ শ্রেণির নিম্নসীমা = কত?

আমরা জানি, শ্রেণির মধ্যমান = শ্রেণির নিম্নসীমা + শ্রেণির উচ্চসীমা/2

বা, 47.5 = শ্রেণির নিম্নসীমা + 51 / 2

বা, 95 = শ্রেণির নিম্নসীমা + 51

বা, 95 - 51 = শ্রেণির নিম্নসীমা

∴ শ্রেণির নিম্নসীমা = 44.

দেওয়া আছে, সর্বোচ্চ মান = 105, সর্বনিম্ন মান 76

∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ মান - সর্বনিম্ন মান)

= (105 - 76)+1=29+1=30

নির্ণেয় পরিসর 30

প্রদত্ত উপাত্তের সর্বোচ্চ মান = 100 এবং সর্বনিম্ন মান = 30

∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ মান – সর্বনিম্ন মান) + 1

= (100-30)+1 = 70+1 = 71

∴ প্রদত্ত উপাত্তের পরিসর 71.

প্রদত্ত উপাত্তের সর্বোচ্চ মান = 90 এবং সর্বনিম্ন মান= 35

∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ মান – সর্বনিম্ন মান) + 1

=(90-35)+1 = 55+1 = 56

নির্ণেয় পরিসর 56.

প্রদত্ত উপাত্তের সর্বোচ্চ মান = 68 এবং সর্বনিম্ন মান 35

∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ মান – সর্বনিম্ন মান) + 1

= (68 - 35) + 1 = 33 + 1 = 34

নির্ণেয় পরিসর 34

এখানে, সর্বোচ্চ মান = 90 এবং সর্বনিম্ন মান = 25

আমরা জানি, পরিসর = (সর্বোচ্চ মান - সর্বনিম্ন মান) + 1

= (90 - 25) + 1 = 65 + 1 = 66 .

∴ উপাত্তগুলোর পরিসর 66.

এখানে, উপাত্তের সর্বনিম্ন মান = 33 এবং সর্বোচ্চ মান = 50

∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ মান – সর্বনিম্ন মান) + 1

= (50 - 33) + 1 = 17 + 1 = 18

নির্ণেয় পরিসর 18.

এখানে,

পারিশ্রমিক নির্দেশক উপাত্তের সবচেয়ে ছোট সংখ্যা = 130

এবং সবচেয়ে বড় সংখ্যা = 200

আমরা জানি, পরিসর = (বড় সংখ্যা- ছোট সংখ্যা) + 1

= (200-130)+1 = 70 +1 = 71.

উপাত্তগুলোর পরিসর 71.

এখানে, সর্বনিম্ন নম্বর = 35 এবং পরিসর = 56

আমরা জানি, পরিসর = সর্বোচ্চ নম্বর - সর্বনিম্ন নম্বর + 1

বা, 56 = সর্বোচ্চ নম্বর - 35 + 1

বা, সর্বোচ্চ নম্বর = 56+34 = 90

∴ সর্বোচ্চ নম্বর 90.

এখানে, সর্বোচ্চ মান = 98

সর্বনিম্ন মান = 47

∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ মান – সর্বনিম্ন মান) + 1

= (98-47)+1 = 51+1 = 52

∴ শ্রেণিসংখ্যা= পরিসর/শ্রেণি ব্যবধান

$=\frac{52}{5}$10.4 $\approx$11

নির্ণেয় শ্রেণিসংখ্যা 11.

এখানে, সর্বোচ্চ মান = 89, সর্বনিম্ন মান = 50

∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ মান – সর্বনিম্ন মান) + 1

=(89-50)+1 = 39+1 = 40

আমরা জানি, শ্রেণিসংখ্যা = পরিসর/শ্রেণি ব্যবধান

∴ শ্রেণি ব্যবধান = পরিসর/শ্রেণিসংখ্যা

$=\frac{40}{5}=5$

নির্ণেয় শ্রেণি ব্যবধান 5 ।

প্রদত্ত উপাত্তের সর্বোচ্চ মান= 68 এবং সর্বনিম্ন মান = 35

∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ মান – সর্বনিম্ন মান) + 1

= (68-35)+1 = 33+1 = 34

দেওয়া আছে, শ্রেণিব্যাপ্তি = 5

∴ শ্রেণির সংখ্যা = পরিসর/শ্রেণিব্যাপ্তি $=\frac{34}{5}$= 6.8 বা 7

সুতরাং, শ্রেণিব্যাপ্তি 5 হলে শ্রেণিসংখ্যা হবে 7.

প্রদত্ত উপাত্তের সর্বোচ্চ মান 88 এবং সর্বনিম্ন মান = 61

∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ মান – সর্বনিম্ন মান) + 1

= (88-61)+1 = 27+1 = 28

দেওয়া আছে, শ্রেণি ব্যবধান = 5

∴ শ্রেণির সংখ্যা = পরিসর/শ্রেণি ব্যবধান

$=\frac{28}{5}$= 5.6 বা 6

সুতরাং, 5 শ্রেণি ব্যবধান ধরে শ্রেণি সংখ্যা = 6টি।

প্রদত্ত উপাত্তের সর্বোচ্চ মান = 73 এবং সর্বনিম্ন মান = 45

∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ মান – সর্বনিম্ন) + 1 = (73-45) + 1 = 28+1 =29

দেওয়া আছে, শ্রেণিব্যাপ্তি = 5

∴ শ্রেণিসংখ্যা = পরিসর/শ্রেণিব্যাপ্তি

$=\frac{29}{5}$=5.8 বা 6

সুতরাং, শ্রেণিব্যাপ্তি 5 ধরে শ্রেণিসংখ্যা 6.

পরিসর = (সর্বোচ্চ মান - সর্বনিম্ন মান) + 1

প্রদত্ত উপাত্তের সর্বোচ্চ মান = 95 এবং সর্বনিম্ন মান = 40

∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ মান – সর্বনিম্ন মান) + 1

= (95-40)+1 = 55+1 = 56

দেওয়া আছে, শ্রেণিব্যাপ্তি = 5

∴ শ্রেণির সংখ্যা = পরিসর/শ্রেণিব্যাপ্তি

$=\frac{56}{5}$= 11.2 বা 12

সুতরাং, শ্রেণিব্যাপ্তি 5 হলে শ্রেণিসংখ্যা হবে 12টি।

প্রদত্ত উপাত্তের সর্বোচ্চ মান= 85 এবং সর্বনিম্ন মান = 45

∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ মান – সর্বনিম্ন মান) +1

= (85-45)+1 = 40+1 = 41

দেওয়া আছে, শ্রেণিব্যাপ্তি = 5

∴ শ্রেণিসংখ্যা = পরিসর/শ্রেণিব্যাপ্তি

$=\frac{41}{5}$ = 8.2 বা 9

সুতরাং, শ্রেণিব্যাপ্তি 5 ধরে শ্রেণিসংখ্যা 9টি।

এখানে, সর্বোচ্চ মান= 98 এবং সর্বনিম্ন মান = 32

∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ মান – সর্বনিম্ন মান) + 1

= (98-32) + 1 =66+1=67

আছে, শ্রেণি ব্যবধান = 6

∴ শ্রেণিসংখ্যা = পরিসর/শ্রেণি ব্যবধান

$=\frac{67}{6}$= 11.17 বা 12

সুতরাং, শ্রেণি ব্যবধান 6 ধরে শ্রেণিসংখ্যা 12টি।

সূত্রের সাহায্যে উদ্দীপকের পরিসর

= (সর্বশেষ শ্রেণির উচ্চসীমা -  প্রথম শ্রেণির নিম্নসীমা) + 1

= (100-31) +1 = 69 + 1 = 70

প্রথম শ্রেণির শ্রেণিসীমা = (40-31)+ 1 = 9+1 = 10

যেহেতু প্রদত্ত উপাত্তের প্রত্যেক শ্রেণির শ্রেণিসীমা সমান। সুতরাং, প্রদত্ত উপাত্তের শ্রেণিসীমা 10.

নির্ণেয় পরিসর 70 এবং শ্রেণিসীমা 10.

প্রদত্ত উপাত্তের সর্বনিম্ন মান = 36 এবং সর্বোচ্চ মান = 9

∴ উপাত্তের পরিসর = (সর্বোচ্চ মান - সর্বনিম্ন মান) +1

= (91-36)+1 = 55 + 156

দেওয়া আছে, শ্রেণিব্যাপ্তি = 7

∴ শ্রেণিসংখ্যা = পরিসর/শ্রেণিব্যাপ্তি $=\frac{56}{7}$

= 8

শ্রেণিব্যাপ্তি 7 ধরে গণসংখ্যা নিবেশন সারণিটি হলো:

এখানে নম্বর নির্দেশক উপাত্তের সবচেয়ে ছোট সংখ্যা 32 এবং বড় সংখ্যা 98 ।

সুতরাং উপাত্তের পরিসর (98-32) + 1 = 66+1 = 67

এখন শ্রেণি ব্যবধান 10 নেওয়া হলে, শ্রেণি সংখ্যা = $\frac{67}{10}$= 6.7 বা 7.

শ্রেণি ব্যবধান 10 নিয়ে 7 শ্রেণিতে উপাত্তসমূহ বিন্যাস করলে গণসংখ্যা নিবেশন সারণি হবে নিম্নরূপ:

কোনো শ্রেণির গণসংখ্যা ও তার পূর্ববর্তী শ্রেণিগুলোর গণসংখ্যার যোগফলকে ঐ শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা বলে।

ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি :

ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি:

ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি:

ক্রমযোজিত গণসংখ্যা নিবেশন সারণি:

পরিসংখ্যানের উপাত্তে ব্যবহৃত সংখ্যাকে চলক বলে। চলক দুই প্রকার। যথা: বিচ্ছিন্ন চলক ও অবিচ্ছিন্ন চলক।

বিচ্ছিন্ন চলক: যে সকল চলকের মান শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যা হয় তা বিচ্ছিন্ন চলক। যেমন: জনসংখ্যামূলক উপাত্তের চলক।

অবিচ্ছিন্ন চলক: যে সকল চলকের, মান, যেকোনো, বাস্তুর মান এে পারে, সে সকল অবিচ্ছিন্ন চলক। যেমন: বয়স, উচ্চতা, ওজন ইত্যাদি সংশ্লিষ্ট নির্দেশক উপাত্তের চলক।

বিচ্ছিন্ন ও অবিচ্ছিন্ন চলকের মধ্যকার পার্থক্যসমূহ হলো:

যে চলকের মান যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে তাকে অবিচ্ছিন্ন চলক বলে। পরীক্ষায় প্রাপ্ত জিপিএ (1-5) এর মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে।

∴ পরীক্ষায় প্রাপ্ত জিপিএ অবিচ্ছিন্ন চলক।

সহজে বোঝার ও চিত্তাকর্ষক করার জন্য আমরা উপাত্তসমূহকে লেখচিত্রের মাধ্যমে উপস্থাপন করি।

উপাত্তসমূহ লেখচিত্রের মাধ্যমে উপস্থাপনের গুরুত্ব:

(i) লেখচিত্রের সাহায্যে আমরা অনেক দ্রুত তথ্য সম্পর্কে ধারণা নিতে পারি। এক্ষেত্রে কোনো গাণিতিক হিসাবনিকাশের প্রয়োজন হয় না।

(ii) লেখচিত্রের মাধ্যমে তথ্যকে অনেক সংক্ষেপে সহজ ও আকর্ষণীয় করে তোলা যায়। ফলে যাদের পরিসংখ্যান সম্পর্কে ন্যূনতম জ্ঞান নেই তারাও লেখচিত্র দেখে তথ্য সম্পর্কে একটি সাধারণ ধারণা পেতে পারে।

কোনো অবিচ্ছিন্ন উপাত্তের শ্রেণি ব্যবধানের বিপরীতে গণসংখ্যা নির্দেশক বিন্দুসমূহকে পর্যায়ক্রমে রেখাংশ দ্বারা যুক্ত করে যে লেখচিত্র পাওয়া যায়, তা হলো গণসংখ্যা বহুভুজ।

কোনো উপাত্তের শ্রেণি বিন্যাসের পর শ্রেণি ব্যবধানের উচ্চসীমা x-অক্ষ বরাবর এবং শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা y-অক্ষ বরাবর স্থাপন করে যে লেখচিত্র পাওয়া যায় তাই অজিভ রেখা।

উপাত্তসমূহের কেন্দ্রীয় মানের দিকে পুঞ্জীভূত হওয়ার প্রবণতাকে কেন্দ্রীয় প্রবণতা বলে। কেন্দ্রীয় মান একটি সংখ্যা এবং এই সংখ্যা উপাত্তসমূহের প্রতিনিধিত্ব করে। এই সংখ্যা দ্বারা কেন্দ্রীয় প্রবণতা পরিমাপ করা হয়।

কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ তিনটি। যথা:
(i) গাণিতিক গড়;
(ii) মধ্যক ও
(iii) প্রচুরক।

কেন্দ্রিয় মান এমন একটি সংখ্যা যা উপাত্তসমূহের প্রতিনিধিত্ব করে। কেন্দ্রিয় মান দ্বারা উপাত্তসমূহের কেন্দ্রিয় প্রবণতা পরিমাপ করা হয়। উপাত্তসমূহের কেন্দ্রিয় মান তিনটি। যথা: গাণিতিক গড়, মধ্যক ও প্রচুরক।

উপাত্তসমূহের সমষ্টিকে তার মোট সংখ্যা দ্বারা ভাগ করে যে মান পাওয়া যায়, তাকে গাণিতিক গড় বলে।

তবে উপাত্তসমূহ খুব বেশি হলে, শ্রেণি বিন্যাসের মাধ্যমে সারণিবদ্ধ করে সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গাণিতিক গড় নির্ণয় করা হয়।

এখানে, n = 50 এবং $\sum f_1{x}_1= 2624$

আমরা জানি, গড়, $\overline{x}=\frac{\sum f_1{x}_1}{n}$

$=\frac{2624}{50}$

= 52.48

নির্ণেয় গড়, $\overline{x}$ = 52.48

আমরা জানি,

১ম সংখ্যক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি = n²

∴ ১ম 50টি স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি = (50)² = 2500

∴ ১ম ১০টি স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার গড় = $\frac{2500}{50}= 50$

নির্ণেয় গড় 50.

1 থেকে 19 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হচ্ছে 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

মৌলিক সংখ্যাগুলোর গড় $\frac{2+3+5+7+11+13+17+19}{8}$

$=\frac{77}{8}$ =9.63 (প্রায়)।

∴ 1 থেকে 19 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর গড় 9.63 (প্রায়)।

1 থেকে 21 পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যা 11টি। যথা: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21.

সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $=\frac{\left(1+21\right)\times 11}{2}$

$=\frac{22\times 11}{2}$

$= 11 \times 11 = 121$

∴ গড় $=\frac{121}{11}=11$

∴ 1 থেকে 21 পর্যন্ত সকল বিজোড় সংখ্যার গড় 11.

∴ $u_2=\frac{x_2-\overline{x}}{h}$

বা, $-2=\frac{12-a}{4}$

বা, 12 - a = - 8

∴ a = 12 + 8 = 20

ধাপ বিচ্যুতি $u_i=\frac{x_i-a}{h}$

বা, $x_i=u_{i}h+a$

∴ $x_3=u_{3}h+a$ $=-3\times 6+32$

$=-18+32=14.$

আনুমানিক গড়, a = 16 বিচ্যুতি গড়, $\overline{u}$ = - 1

শ্রেণি ব্যবধান, h = 4 গাণিতিক গড়, $\overline{x}$ = ?

আমরা জানি, $\overline{u}=\frac{\overline{x}-a}{h}$

বা, $1=\frac{\overline{x}-16}{4}$

বা, $\overline{x}-16=4$

বা, $\overline{x} = 4 + 16$

∴ $\overline{x} = 20$

নির্ণেয় গাণিতিক গড় 20.

প্রদত্ত সংখ্যাগুলো 19, 21, 26, 13, 11, 27, x, 29

এখানে, মোট সংখ্যা, n = 8

∴ সংখ্যাগুলোর গড় = সংখ্যাগুলোর সমষ্টি/মোট সংখ্যা

বা, $16.5=\frac{19+21+26+13+11+27+x+29}{8}$

বা, $16.5=\frac{146 + x}{8}$

বা, 132 = 146 + x

∴ x = 132 - 146 = - 14

নির্ণেয় মান: x = - 14.

প্রদত্ত সংখ্যাগুলো: 23, 25, 28, 17, 18, x, 35, 15

এখানে, মোট সংখ্যা, n = 8

সংখ্যাগুলোর গড় $=\frac{23+25+28+17+18+x+35+15}{8}$

বা, $22.5=\frac{161 + x}{8}$

বা, 180 = 161 + x

বা, 180 - 161 = x ∴ x = 19

নির্ণেয় মান: x = 19

প্রদত্ত সংখ্যাগুলো: 70, 75, 57, 71, 83, 95, 88, 79

এখানে, মোট সংখ্যা, n = 8

∴ সংখ্যাগুলোর গড় = $\frac{70+75+57+71+83+95+88+79}{8}$

$=\frac{618}{8}=77.25$

নির্ণেয় গড় 77.25.

ধরি, $x_i = 7, 9, 0, 6, 3, 5$

∴ গাণিতিক গড় $\overline{x}=\frac{\sum x_i}{n}$$=\frac{7+9+0+6+3+5}{6}=\frac{30}{6}=5$

নির্ণেয় গাণিতিক গড় 5.

ধরি, $x_i=9, 15, 12, 8, 14, 19, 7, 12$

এখানে, মোট সংখ্যা, n = 8

গড়, $\overline{x}=\frac{\sum x_i}{n}$

$=\frac{ 9+ 15+ 12+ 8+ 14+19+7+12 }{8}$

$=\frac{96}{8}=12$

নির্ণেয় গড় 12

ধরি, x_i = {3, 7, 10, 11, 5, 4, 9, 8}

এখানে, মোট সংখ্যা, n = 8

∴ গড়, $\overline{x}=\frac{\sum x_i}{n}$

$=\frac{3 + 7 + 10 + 11 + 5 + 4 + 9 + 8}{8}$

$=\frac{57}{8}$

= 7.13

নির্ণেয় গড় 7.13.

সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের সূত্র:

গড় $\left(\overline{x}\right)=a+\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^k}{f}_1{u}_1}{n}\times h$

যেখানে, $\overline{x}$ = নির্ণেয় গড়, a = আনুমানিক গড়,$f_i=i$ তম শ্রেণির গণসংখ্যা $f_1{u}_1=i$ তম শ্রেণির গণসংখ্যা$\times$ধাপ বিচ্যুতি, h = শ্রেণিব্যাপ্তি, k = শ্রেণিসংখ্যা, n = মোট গণসংখ্যা।

কোনো তথ্যসারির মানগুলোকে ঊর্ধ্ব বা নিম্ন ক্রমে সাজানোর পর যে মানটি তথ্যসারিকে সমান দুইভাগে ভাগ করে সেই মানটিকে উক্ত তথ্যসারির মধ্যক বলে।

মধ্যক নির্ণয়ের সূত্র:

মধ্যক = $L+\left(\frac{n}{2}-F_c\right)\times \frac{h}{f_m}$

এখানে, L = মধ্যক শ্রেণির নিম্নমান

n = মোট গণসংখ্যা

$f_m$ = মধ্যক শ্রেণির গণসংখ্যা

$F_c$ = মধ্যক শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা

h = মধ্যক শ্রেণির শ্রেণি ব্যবধান।

প্রদত্ত উপাত্তসমূহকে মানের ঊর্ধ্ব ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই, 6, 7, 8, 11, 14, 17

এখানে, মোট উপাত্তসংখ্যা, n= 6; যা একটি জোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক = $\frac{n}{2}$তম পদ + $\left(\frac{n}{2}+1\right)$ তম পদ / 2

= $\frac{6}{2}$তম পদ + $\left(\frac{6}{2}+1\right)$তম পদ / 2

3 তম পদ + 4 তম পদ /2

$=\frac{8+11}{2}$$=\frac{19}{2}$

= 9.5

নির্ণেয় মধ্যক 9.5.

প্রদত্ত উপাত্তসমূহকে মানের উর্ধ্ব ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই-

10, 14, 16, 18, 22, 26, 28, 30

এখানে, মোট উপাত্ত সংখ্যা, n = 8; যা একটি জোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক = $\frac{n}{2}$তম পদ + $\left(\frac{n}{2}+1\right)$ তম পদ / 2

= $\frac{8}{2}$তম পদ + $\left(\frac{8}{2}+1\right)$ তম পদ

= 4 তম পদ + 5 তম পদ / 2

$=\frac{18+22}{2}$$=\frac{40}{2}=20$

নির্ণেয় মধ্যক 20.

প্রদত্ত উপাত্তসমূহকে মানের ঊর্ধ্ব ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই,

18, 21, 22, 24, 26, 27, 30, 33, 43, 45

এখানে, মোট উপাত্তসংখ্যা, n = 10; যা একটি জোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক =  $\frac{n}{2}$তম পদ + $\left(\frac{n}{2}+1\right)$ তম পদ / 2

= $\frac{10}{2}$তম পদ + $\left(\frac{10}{2}+1\right)$ তম পদ

= 5 তম পদ + 6 তম পদ / 2

= $\frac{26+27}{2}$

= $\frac{53}{2}$

=26.5

নির্ণেয় মধ্যক 26.5.

প্রদত্ত উপাত্তগুলোকে ঊর্ধ্ব ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই, 15, 18, 22, 23, 24, 27, 29, 31, 39

এখানে, মোট উপাত্ত সংখ্যা, n = 9 যা একটি বিজোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক $=\frac{n+1}{2}$তম পদের মান

$=\frac{9 + 1}{2}$ তম পদের মান

= 5 তম পদের মান = 24

সুতরাং, উপাত্তগুলোর মধ্যক 24.

প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে ঊর্ধ্ব ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই,

13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

এখানে, মোট উপাত্ত সংখ্যা, n= 8; যা একটি জোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক = $\frac{n}{2}$তম পদ + $\left(\frac{n}{2}+1\right)$ তম পদ / 2

= $\frac{8}{2}$তম পদ + $\left(\frac{8}{2}+1\right)$ তম পদ

= 4 তম পদ + 5 তম-পদ / 2

$=\frac{16+17 }{2}$

$=\frac{33}{2}$=16.5

নির্ণেয় মধ্যক 16.5.

প্রদত্ত উপাত্তসমূহকে মানের ঊর্ধ্ব ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই,

17, 19, 20, 21, 23, 26, 35, 39

এখানে, মোট উপাত্ত সংখ্যা, n= 8; যা একটি জোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক = $\frac{n}{2}$তম পদ + $\left(\frac{n}{2}+1\right)$ তম পদ / 2

= $\frac{8}{2}$তম পদ + $\left(\frac{8}{2}+1\right)$ তম পদ

= 4 তম পদ + 5 তম পদ / 2

$=\frac{21+23}{2}$

$=\frac{44}{2}$= 22

নির্ণেয় মধ্যক 22.

প্রদত্ত উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্ব ক্রমানুসারে সাজিয়ে, পাই, 1, 2, 4, 5, 6, 7

এখানে, মোট উপাত্ত সংখ্যা, n = 6; যা একটি জোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক = $\frac{n}{2}$তম পদ + $\left(\frac{n}{2}+1\right)$ তম পদ / 2

= $\frac{6}{2}$তম পদ + $\left(\frac{6}{2}+1\right)$ তম পদ

= 3 তম পদ + 4 তম পদ / 2

$=\frac{4+5}{2}$

= 4.5

প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে ঊর্ধ্ব ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই,

18, 19, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 36, 38

এখানে, মোট সংখ্যা, n = 10; যা একটি জোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক = $\frac{n}{2}$তম পদ + $\left(\frac{n}{2}+1\right)$ তম পদ / 2

= $\frac{10}{2}$তম পদ + $\left(\frac{10}{2}+1\right)$ তম পদ

= 5 তম পদ + 6 তম পদ / 2

$=\frac{24+26}{2}$

$=\frac{50}{2}$

= 25

নির্ণেয় মধ্যক 25.

প্রদত্ত উপাত্তসা মূহকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই, 2, 3, 5, 7, 7, 9, 10, 12

এখানে, মোট উপাত্ত সংখ্যা n = ; যা একটি জোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক = $\frac{n}{2}$তম পদ + $\left(\frac{n}{2}+1\right)$ তম পদ / 2

= $\frac{8}{2}$তম পদ + $\left(\frac{8}{2}+1\right)$ তম পদ

= 4 তম পদ + 5 তম পদ / 2

$=\frac{7+7}{2}$

$=\frac{14}{2}$

=7

নির্ণেয় মধ্যক 7.

তথ্যসারির ঊর্ধ্বক্রমে সাজানো মানগুলো হলো:

11, 13, y, 19, 21, x, 26, 27, z, 29.

তথ্যসারিতে মোট মান 10, যা একটি জোড় সংখ্যা।

দেওয়া আছে, তথ্যগুলোর মধ্যক = 23.5

∴ মধ্যক = $\frac{n}{2}$তম পদ + $\left(\frac{n}{2}+1\right)$ তম পদ / 2

বা, 23.5 = $\frac{10}{2}$তম পদ + $\left(\frac{10}{2}+1\right)$ তম পদ

বা, 23.5 = 5 তম পদ + 6 তম পদ / 2

$=\frac{21+ x}{2}$

বা, 21 + x = 47

∴ x = 26

নির্ণেয় x = 26

প্রদত্ত উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্ব ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই,

0, 3, 4, 9, 12, 16, 22, 26

এখানে, মোট উপাত্ত সংখ্যা; n = 8; যা একটি জোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক = $\frac{n}{2}$তম পদ + $\left(\frac{n}{2}+1\right)$ তম পদ / 2

= $\frac{8}{2}$তম পদ + $\left(\frac{8}{2}+1\right)$ তম পদ

= 4 তম পদ + 5 তম পদ / 2

$=\frac{9+12}{2}=\frac{21}{2}$

= 10.5

নির্ণেয় মধ্যক 10.5

প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে মানের ঊর্ধ্ব ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই, 13, 14, 15, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 20

এখানে, মোট সংখ্যা, n = 10; যা একটি জোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক = $\frac{n}{2}$তম পদ + $\left(\frac{n}{2}+1\right)$ তম পদ / 2

= $\frac{10}{2}$তম পদ + $\left(\frac{10}{2}+1\right)$ তম পদ

= 5 তম পদ + 6 তম পদ / 2

$=\frac{16+17}{2}$

$=\frac{33}{2}$= 16.5

প্রদত্ত উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্ব ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই,

6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14

এখানে, মোট উপাত্ত সংখ্যা, n = 8; যা একটি জোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক = $\frac{n}{2}$তম পদ + $\left(\frac{n}{2}+1\right)$ তম পদ / 2

= $\frac{8}{2}$তম পদ + $\left(\frac{8}{2}+1\right)$ তম পদ

= 4 তম পদ + 5 তম পদ / 2

$=\frac{10+11}{2}$

$=\frac{21}{2}$= 10.5

প্রদত্ত উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধ্ব ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই, 35, 40, 43, 46, 48, 48, 50, 50, 52, 55, 57, 60, 60, 61, 62, 63, 65, 66, 68, 70, 72, 72, 73, 74, 75, 78, 80, 83, 83, 90, এখানে, n = 30 যা একটি জোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক = $\frac{n}{2}$তম পদ + $\left(\frac{n}{2}+1\right)$ তম পদ / 2

= $\frac{30}{2}$তম পদ + $\left(\frac{30}{2}+1\right)$ তম পদ

= 15 তম পদ + 16 তম পদ / 2

$=\frac{62 + 63}{2}=\frac{125}{2}$= 62.5

নির্ণেয় মধ্যক 62.5.

প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে মানের উর্ধ্ব ক্রমানুসারে সাজিয়ে গাই, 13, 14, 15, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 20

এখানে, মোট সংখ্যা, n = 10; যা একটি জোড় সংখ্যা।

∴ ∴ মধ্যক = $\frac{n}{2}$তম পদ + $\left(\frac{n}{2}+1\right)$ তম পদ / 2

= $\frac{10}{2}$তম পদ + $\left(\frac{10}{2}+1\right)$ তম পদ

= 5 তম পদ + 6 তম পদ / 2

$=\frac{16+17}{2}$$=\frac{33}{2}$

=16.5

নির্ণেয় মধ্যক 16.5

এখানে, মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা, n = 95, যা বিজোড় সংখ্যা

∴ মধ্যক = $\frac{n+1}{2}$তম পদ = $\frac{95+1}{2}$তম পদ

$=\frac{96}{2}$তম পদ = 48 তম পদ = 70

নির্ণেয় মধ্যক 70.

মধ্যক শ্রেণি নির্ণয়ের জন্য প্রয়োজনীয় ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি ।

এখানে, n = 52 এবং $\frac{n}{2}=\frac{52}{2}=26$

অতএব, মধ্যক হলো 26 তম পদের মান। 26 তম পদের অবস্থান (43-47) শ্রেণিতে। সুতরাং, মধ্যক শ্রেণি (43-47).

ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি:

এখানে, n = 40 এবং $\frac{n}{2}$= $\frac{40}{2}$=20.

অতএব, মধ্যক হলো 20 তম পদের মান। 120 তম পদ পদের অবস্থান (161–165) শ্রেণিতে। সুতরাং, মধ্যক শ্রেণি (161 – 165)।

∴ মধ্যক শ্রেণির নিম্নসীমা 161.

ক্রমযোজিত গণসংখ্যার সারণি:

এখানে, মোট গণসংখ্যা, = 70

∴ $\frac{n}{2}=\frac{70}{2}=35$ ∴ $F_c=32$

মোট গণসংখ্যা, n = 4+18+22+16 = 60

∴ $\frac{n}{2}=\frac{60}{2}=30$

এখানে 30 তম পদ আছে (31-40) শ্রেণিতে।

∴ মধ্যক শ্রেণি (31-40)।

ক্রমযোজিত গণসংখ্যা নিবেশন সারণি:

এখানে, n = 50 এবং $\frac{n}{2}$$=\frac{50}{2}$= 25

অতএব, মধ্যক হলো 25 তম পদের মান। 25 তম পদের অবস্থান (61-65) শ্রেণিতে। সুতরাং মধ্যক শ্রেণি হলো (61-65)

অতএব, মধ্যক শ্রেণির পরের শ্রেণি হলো (66-70)

এখন, (66 – 70) শ্রেণির মধ্যবিন্দু = $\frac{66 + 70}{2}$= $\frac{136}{2}$= 68

সুতরাং, মধ্যক শ্রেণির পরের শ্রেণির মধ্যবিন্দু 68.

এখানে, n = 60 মধ্যক শ্রেণির নিম্নসীমা, L = 50

মধ্যক শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা, $F_c$ = 22

মধ্যক শ্রেণির গণসংখ্যা, $f_m$ = 20

শ্রেণি ব্যবধান, h = 5

$=L+\left(\frac{n}{2}-F_c\right)\times \frac{h}{f_m}$$=50+\left(\frac{60}{2}-22\right)\times \frac{5}{20}$

$=50+\left(30-22\right)\times \frac{5}{20}$

$=50+8\times \frac{2}{50}$ = 50 + 2 = 52

নির্ণেয় মধ্যক 52

কোনো উপাত্তে যে সংখ্যা সর্বাধিকবার উপস্থাপিত হয়, সেই সংখ্যাই উপাত্তের প্রচুরক। একটি উপাত্তের এক বা একাধিক প্রচুরক থাকতে পারে। কোনো উপাত্তে যদি কোনো সংখ্যাই একাধিকবার না থাকে তবে সেই উপাত্তে কোনো প্রচুরক নেই।

চলকের পরিচয়সহ প্রচুরক নির্ণয়ের সূত্রটি হলো নিম্নরূপ:

প্রচুরক = $L+\frac{f_1}{f_1+f_2}\times h$

এখানে, L = প্রচুরক শ্রেণির নিম্নমান:

$f_1$ = প্রচুরক শ্রেণি এবং ইহার পূর্ববর্তী শ্রেণির গণসংখ্যার পার্থক্য

$f_2$ = প্রচুরক শ্রেণি এবং ইহার পরবর্তী শ্রেণির গণসংখ্যার পার্থক্য

h = শ্রেণি ব্যবধান।

প্রদত্ত উপাত্তগুলোকে ঊর্ধ্ব ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই,

2, 2, 3, 5, 6, 7, 7, 9

এখানে, 2 এবং 7 সংখ্যাটি সর্বাধিক দুই বার করে আছে।

সুতরাং প্রদত্ত উপাত্তের প্রচুরক 2 এবং 7।

অতএব, প্রদত্ত উপাত্তের প্রচুরক আছে দুইটি। প্রচুরক দুইটি হলো 2 এবং 7।

প্রদত্ত উপাত্তগুলোকে ঊর্ধ্ব ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই,

37, 42, 45, 47, 50, 52, 53, 55, 55, 57, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 70, 70, 70, 70, 72, 73, 74, 75, 78, 82, 85, 87, 95

এখানে, 70 সংখ্যাটি সর্বাধিক 4 (চার) বার আছে।

সুতরাং, প্রদত্ত উপাত্তের প্রচুরক 70.

তাপমাত্রা (সেন্ট্রিগ্রেড) হলো: 20°, 22°, 17°, 34°, 20°, 35°, 21°, 24°, 25°, 27°. সংখ্যাসূচক উপাত্তের প্রচুরক কোনটি?

উপাত্তগুলোকে মানের-ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই,

17°, 20°, 20°, 21°, 22°, 24°, 25°, 27°, 34°, 35° এখানে 20° আছে 2 বার এবং বাকি সংখ্যাগুলো আছে 1 বার করে।

অর্থাৎ 20° সর্বাধিকবার আছে। সুতরাং, প্রচুরক 20°.

উদ্দীপকের ১ম দশটি উপাত্তকে ঊর্ধ্ব ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই, 45, 49, 58, 60, 60, 68, 68, 70, 75, 76

এখানে, 60 এবং 68 সংখ্যা দুটি সর্বাধিক 2 (দুই) বার আছে।

সুতরাং, উদ্দীপকের ১ম দশটি উপাত্তের প্রচুরক 60 এবং 68।

দেওয়া আছে, প্রচুরক = 49.75, L = 48, $f_1=7,f_2=17$

আমরা জানি, প্রচুরক$=L+\frac{f_1}{f_1+f_2}\times h$

বা, $49.75 = 48 +\frac{7}{7+17}\times h$

বা, $1.75=\frac{7}{24}\times h$

বা, 42 =7h বা, 41 7h = 42 বা, $h=\frac{42}{7}$

∴ h = 6

নির্ণেয় শ্রেণি ব্যবধান 6.

প্রদত্ত উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্ব ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই, 11, 12, 13, 15, 20, 26, 27, 27, 27, 30, 32

প্রদত্ত উপাত্তে 27 মানটি সবচেয়ে বেশি (3 বার) সংখ্যক বার আছে।

∴ প্রচুরক = 27.

এখানে, মোট উপাত্ত সংখ্যা, n = 11; যা একটি বিজোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক = $\frac{n+1}{2}$= $\frac{11+1}{2}$=$\frac{12}{6}$= 6 তম মান 26

নির্ণেয় প্রচুরক 27 এবং মধ্যক 26.

এখানে, গণসংখ্যা সর্বাধিক 20 বার আছে (51-60) শ্রেণিতে। সুতরাং, প্রচুরক শ্রেণি (51-60)।

∴ (51-60) শ্রেণির মধ্যবিন্দু = $\frac{51+60}{2}$

$=\frac{111}{2}$=55.5

সুতরাং, প্রচুরক শ্রেণির মধ্যমান 55.5.

এখানে, গণসংখ্যা সর্বাধিক 21 বার আছে (57-62) শ্রেণিতে।

সুতরাং, প্রচুরক শ্রেণি (57–62)।

∴ (57-62) শ্রেণির মধ্যমান = $\frac{57+62}{2}$= $\frac{119}{2}$= 59.5

সুতরাং, প্রচুরক শ্রেণির মধ্যমান 59.5.

এখানে, গণসংখ্যা সর্বাধিক 20 বার আছে (55-59) শ্রেণিতে।

সুতরাং, প্রচুরক শ্রেণি (55-59)।

∴ (55-59) শ্রেণির মধ্যমান = $\frac{55+59}{2}=\frac{114}{2}=57$

সুতরাং, প্রচুরক শ্রেণি (55-59) এর মধ্যমান 57.

এখানে, গণসংখ্যা সর্বাধিক 12 বার আছে (76-80) শ্রেণিতে। সুতরাং, প্রচুরক শ্রেণি (76-80)।

∴ (76-80) শ্রেণির মধ্যবিন্দু= $\frac{76+80}{2}=\frac{156}{2}$= 78

সুতরাং, প্রচুরক শ্রেণির মধ্যবিন্দু 78.

প্রদত্ত সারণিতে গণসংখ্যা সর্বাধিক 10 বার আছে (91 - 100) শ্রেণিতে।

সুতরাং প্রচুরক শ্রেণি (91 – 100).

∴ (91 - 100) শ্রেণির মধ্যমান= $\frac{91+100}{2}$=$\frac{191}{2}$=95.5

নির্ণেয় প্রচুরক শ্রেণির মধ্যমান 95.5.

এখানে, গণসংখ্যা সর্বাধিক 23 বার আছে (61-70) শ্রেণিতে। সুতরাং, প্রচুরক শ্রেণি (61–70)।

∴ (61–70) শ্রেণির মধ্যবিন্দু = $\frac{61 + 70}{2}$

$=\frac{131}{2}$

= 65.5

সুতরাং, প্রচুরক শ্রেণি (61–70) এর মধ্যবিন্দু 65.5.

এখানে, গণসংখ্যা সর্বাধিক 15 বার আছে (61 - 70) শ্রেণিতে। সুতরাং, প্রচুরক শ্রেণি (61 - 70)। অতএব, প্রচুরক শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণি হলো (51-60)

∴ (51-60) শ্রেণির মধ্যমান = $\frac{51+60}{2}$

$=\frac{111}{2}$

= 55.5

সুতরাং, প্রচুরক শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণি (51-60) এর মধ্যমান 55.5.

এখানে, সর্বাধিক গণসংখ্যা 13 রয়েছে (81–85) শ্রেণিতে। সুতরাং, প্রচুরক শ্রেণি (81-85)।

অতএব, প্রচুরক শ্রেণির পূর্বের শ্রেণি (76-80)।

∴ (76-80) শ্রেণির মধ্যবিন্দু = $\frac{76 + 80}{2}$

$=\frac{156}{2}$

= 78

সুতরাং, প্রচুরক শ্রেণির পূর্বের শ্রেণি (76-80) এর মধ্যবিন্দু 78.

প্রদত্ত গণসংখ্যা নিবেশন সারণির, (76 - 80) শ্রেণির গণসংখ্যা সবচেয়ে বেশি 13। সুতরাং, প্রচুরক শ্রেণি (76-80) ।

অতএব, প্রচুরক শ্রেণির পরবর্তী শ্রেণি (81-85)।

∴ প্রচুরক শ্রেণির পরবর্তী শ্রেণি (81–85) এর মধ্যবিন্দু

$=\frac{81+85}{2}=\frac{166}{2}$

= 83

প্রদত্ত সারণির (61 - 70) শ্রেণির গণসংখ্যা সবচেয়ে বেশি। সুতরাং, প্রচুরক শ্রেণি (61 – 70)।

∴ প্রচুরক শ্রেণি (61 - 70) এর নিম্নসীমা 61

এবং প্রচুরক শ্রেণি (61 – 70) এর মধ্যমান = $\frac{61+70}{2}=\frac{131}{2}$

=65.5

সুতরাং, প্রচুরক শ্রেণির নিম্নসীমা 61 এবং মধ্যমান 65.5.

এখানে, গণসংখ্যা সর্বাধিক 13 বার আছে (47-56) শ্রেণিতে।

সুতরাং, প্রচুরক শ্রেণি (47 – 56).

এখানে, $f_1= 13-10=3$

এবং $f_2=13-9=4$

সুতরাং, $f_1+f_2= 3+4=7$

প্রদত্ত সারণির সর্বোচ্চ গণসংখ্যা 11 আছে (55-64) শ্রেণিতে।

সুতরাং, প্রচুরক শ্রেণি (55-64)।

এখানে, $f_1= 11 - 8 = 3$

$f_2=11-9=2$

∴ $f_1+f_2=3+2=5$

সুতরাং $f_1+f_2=5$

প্রদত্ত সারণিতে বেশি সংখ্যক গণসংখ্যা 10 আছে (25-29) শ্রেণিতে।

∴ প্রচুরক শ্রেণি (25-29)

∴ $f_1=10-8=2$

$f_2=10-6=4$

∴ $f_1+f_2=2+4=6$

∴ $(f_1+f_2)$ এর মান 6.

এখানে,

L = যে শ্রেণিতে প্রচুরক অবস্থিত তার নিম্নসীমা = 61

$f_1$ = প্রচুরক শ্রেণির গণসংখ্যা - পূর্ববর্তী শ্রেণির গণসংখ্যা = 7

$f_2$ = প্রচুরক শ্রেণির গণসংখ্যা - পরবর্তী শ্রেণির গণসংখ্যা = 3

প্রচুরক $=L+\frac{f_1}{f_1+f_2}\times h$

বা, $L=71+\frac{7}{7+3}\times 10$

$=71+\frac{7}{10}\times 10$ = 71 + 7 = 78

নির্ণেয় প্রচুরক 78.

এখানে, L = 55, $f_1=5, f_2=7$ এবং h = 10

আমরা জানি, প্রচুরক $=L+\frac{f_1}{f_1+f_2}\times h$

$=55+\frac{5}{5+7}\times 10$

$=55+\frac{50}{12}$ = 55 + 4.17 = 59.17 $\approx$ 59.2

নির্ণেয় প্রচুরক 59.2.

এখানে, প্রচুরক 49.75, L = 48, $f_1=7$ এবং $f_2=17$

আমরা জানি, প্রচুরক $=L+\frac{f_1}{f_1+f_2}\times h$

বা, $49.75 = 48 + \frac{7}{7+17}\times h$

বা, 49.75 - 48 = $\frac{7h}{24}$

বা, 1.75 = $\frac{7h}{24}$

বা, $7h = 1.75 \times 24$

∴ $h = \frac{1.75\times 24}{7}=6$

নির্ণেয় শ্রেণি ব্যবধান 6.

এখানে, গণসংখ্যা সর্বাধিক 20 বার আছে (60 - 64) শ্রেণিতে। সুতরাং, প্রচুরক শ্রেণি (60-64)।

প্রচুরক $=L+\frac{f_1}{f_1+f_2}\times h$

$= 60+\frac{10}{10+8}\times 5=60+\frac{50}{18}$

= 60+2.78 = 62.78

নির্ণেয় প্রচুরক 62.78.