সত্যক সারণি কী? (জ্ঞানমূলক)

বুলিয়ান অ্যালজেবরায় \(A(A+A) = A\) একটি মৌলিক উপপাদ্য যা অর (OR) ও অ্যান্ড (AND) গেটের আইডিপোটেন্ট (Idempotent) সূত্র ব্যবহার করে প্রমাণ করা যায়।

প্রথমে \(A+A\) অংশটি সরলীকরণ করা হয়। বুলিয়ান অ্যালজেবরার অর (OR) অপারেশনের আইডিপোটেন্ট সূত্র অনুযায়ী, \(A+A = A\)। অর্থাৎ, একটি চলকের সাথে সেই একই চলকের অর অপারেশন করলে ফলাফল চলকটি নিজেই হয়। এই মানটি মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করলে আমরা পাই \(A \cdot A\)। এটি অ্যান্ড (AND) অপারেশনের আইডিপোটেন্ট সূত্র অনুযায়ী \(A\) এর সমান। অর্থাৎ, একটি চলকের সাথে সেই একই চলকের অ্যান্ড অপারেশন করলেও ফলাফল চলকটি নিজেই হয়। এভাবেই \(A(A+A)=A\) উপপাদ্যটি প্রমাণিত হয়, যা লজিক সার্কিট সরলীকরণে গুরুত্বপূর্ণ।

উদ্দীপকের সত্যায়ক সারণি-১ (Truth Table-1) অনুযায়ী, যখন X ও Y উভয়ের মান ০ হয়, তখনই কেবল K-এর মান ১ হয়। অন্যান্য ক্ষেত্রে K-এর মান ০। এর বুলিয়ান এক্সপ্রেশন (Boolean expression) হলো \(K = \bar{X}\bar{Y}\) । এই এক্সপ্রেশনটি ডিমর্গানের সূত্র (De Morgan's Theorem) অনুযায়ী সরল করলে দাঁড়ায় \(K = \overline{X+Y}\) ।

কোনো লজিক গেইট (Logic gate) এর ট্রুথ টেবিল (Truth table) থেকে আউটপুট (Output) এর বুলিয়ান এক্সপ্রেশন (Boolean expression) নির্ণয়ের জন্য সাধারণত সাম অফ প্রোডাক্টস (Sum of Products - SOP) পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। এই পদ্ধতিতে, আউটপুট যেখানে ১ হয়, সেই ইনপুট (Input) কম্বিনেশনগুলোর প্রোডাক্ট টার্ম (Product term) বের করে তাদের যোগফল হিসেবে এক্সপ্রেশন লেখা হয়। প্রাপ্ত এক্সপ্রেশনটিকে বুলিয়ান অ্যালজেব্রা (Boolean algebra) এর বিভিন্ন সূত্র (Theorems) যেমন ডিমর্গানের সূত্র, অ্যাসোসিয়েটিভ সূত্র (Associative law), ডিস্ট্রিবিউটিভ সূত্র (Distributive law) ইত্যাদি ব্যবহার করে সরল করা হয়। সরলীকরণ (Simplification) এর মাধ্যমে লজিক সার্কিট (Logic circuit) এর জটিলতা (Complexity) কমানো যায়।

উদ্দীপকের সত্যায়ক সারণি-১ এ দেখা যায়, ইনপুট X এবং Y যখন ০, ০ হয় তখন আউটপুট K এর মান ১। অন্য সকল ক্ষেত্রে আউটপুট K এর মান ০। এটি একটি NOR গেইট (NOR gate) এর বৈশিষ্ট্য। চিত্র-১ এ প্রদর্শিত লজিক গেইটটিও একটি NOR গেইট। সুতরাং, K-এর সরলীকৃত মান \(\overline{X+Y}\) উদ্দীপকের ট্রুথ টেবিল ও গেইটের কার্যকারিতা উভয়কেই সমর্থন করে।

উদ্দীপকের চিত্র-১ এ একটি NOR গেইট নির্দেশিত হয়েছে। NOR গেইট একটি সার্বজনীন গেইট (Universal Gate), যার অর্থ হলো এই গেইট ব্যবহার করে যেকোনো মৌলিক ও যৌগিক লজিক ফাংশন যেমন XOR গেইট বাস্তবায়ন করা সম্ভব। এই প্রশ্নে NOR গেইট ব্যবহার করে XOR এর সমতুল্য সার্কিট বাস্তবায়ন করা হবে।

উদ্দীপকের চিত্র-১ এ প্রদর্শিত লজিক গেইটটি হলো NOR গেইট, যার আউটপুট তার ইনপুটগুলির OR অপারেশনের পর NOT অপারেশন এর সমান। XOR (Exclusive-OR) গেইট একটি বিশেষ ধরনের লজিক গেইট যা দুটি ইনপুটের মধ্যে শুধুমাত্র একটি ১ হলে আউটপুট ১ দেয় এবং উভয় ইনপুট একই হলে (অর্থাৎ দুটিই ০ অথবা দুটিই ১ হলে) আউটপুট ০ দেয়। এর বুলিয়ান এক্সপ্রেশন হলো \(A \oplus B = AB' + A'B\)। সার্বজনীন গেইট (Universal Gate) হওয়ায়, NOR গেইট ব্যবহার করে XOR গেইটের এই নির্দিষ্ট আচরণ অর্জন করা সম্ভব।

XOR গেইটকে NOR গেইট ব্যবহার করে বাস্তবায়ন করার জন্য মোট ৫টি NOR গেইটের প্রয়োজন হয়। এর বাস্তবায়ন পদ্ধতি নিম্নরূপ:

    
1. প্রথমত, দুটি ইনপুট A এবং B ব্যবহার করে একটি NOR গেইট তৈরি করা হয়। এর আউটপুট হবে \((A+B)'\)। এটিকে সাময়িকভাবে \(N_1\) ধরা যাক।
    
2. দ্বিতীয়ত, ইনপুট A এবং \(N_1\) ব্যবহার করে একটি NOR গেইট তৈরি করা হয়। এর আউটপুট হবে \((A+N_1)' = (A+(A+B)')'\)। বুলিয়ান অ্যালজেব্রার নিয়ম অনুযায়ী, \((A+A'B')' = (A+B')'\)। এটিকে সাময়িকভাবে \(N_2\) ধরা যাক।
    
3. তৃতীয়ত, ইনপুট B এবং \(N_1\) ব্যবহার করে একটি NOR গেইট তৈরি করা হয়। এর আউটপুট হবে \((B+N_1)' = (B+(A+B)')'\)। বুলিয়ান অ্যালজেব্রার নিয়ম অনুযায়ী, \((B+A'B')' = (B+A')'\)। এটিকে সাময়িকভাবে \(N_3\) ধরা যাক।
    
4. চতুর্থত, \(N_2\) এবং \(N_3\) এর আউটপুট ব্যবহার করে একটি NOR গেইট তৈরি করা হয়। এর আউটপুট হবে \((N_2+N_3)' = ((A+B')' + (B+A')')'\)। এটিকে ডি-মরগানের উপপাদ্য প্রয়োগ করলে হয় \((A'B + AB')'\), যা XNOR গেইটের আউটপুট। এটিকে সাময়িকভাবে \(N_4\) ধরা যাক।
    
5. পঞ্চমত, \(N_4\) এর আউটপুটকে ইনপুট হিসেবে ব্যবহার করে একটি NOR গেইট তৈরি করা হয় (অর্থাৎ \(N_4\) কে নিজেই নিজের সাথে OR করে NOT করা হয়)। এর আউটপুট হবে \((N_4+N_4)' = (N_4)' = ((A'B + AB')')' = A'B + AB'\) যা XOR গেইটের সমতুল্য।

এই প্রক্রিয়া অনুসরণ করে, চিত্র-১ এ নির্দেশিত NOR গেইট ব্যবহার করে একটি XOR গেইট সফলভাবে বাস্তবায়ন করা যায়।

সুতরাং, উদ্দীপকের চিত্র-১ এ প্রদর্শিত NOR গেইটকে সার্বজনীন গেইট হিসেবে ব্যবহার করে ৫টি NOR গেইটের সমন্বয়ে XOR গেইটের সমতুল্য সার্কিট তৈরি করা সম্ভব। এই সার্কিটটি XOR গেইটের সত্য সারণি (Truth Table) অনুযায়ী কাজ করবে, যেখানে কেবলমাত্র একটি ইনপুট উচ্চ (1) হলে আউটপুট উচ্চ (1) হবে এবং অন্যথায় আউটপুট নিম্ন (0) হবে।