সমবাহু ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

বিশেষ নির্বচন:

মনে করি, একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য \(a = 3.5\text{ সে.মি.}\) দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণ:

  
1. যেকোনো একটি রশ্নি \(BD\) থেকে \(a = 3.5\text{ সে.মি.}\)-এর সমান করে \(BC\) অংশ কেটে নিই।
  
2. \(B\) ও \(C\) বিন্দুকে কেন্দ্র করে \(a\)-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে \(BC\)-এর একই পাশে দুটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পর \(A\) বিন্দুতে ছেদ করে।
  
3. \(A, B\) এবং \(A, C\) যোগ করি।

তাহলে, \(\triangle ABC\)-ই নির্দিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজ।

উদ্দীপকে উল্লিখিত তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য a = 5 সে.মি., b = 5 সে.মি. এবং c = 6 সে.মি. ব্যবহার করে প্রথমে একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করতে হবে। এর জন্য, ৬ সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশকে ভূমি ধরে, ভূমির দুই প্রান্ত থেকে ৫ সে.মি. ব্যাসার্ধের দুটি বৃত্তচাপ অঙ্কন করতে হবে। বৃত্তচাপদ্বয়ের ছেদবিন্দুকে ভূমির প্রান্তবিন্দুগুলোর সাথে সংযুক্ত করলেই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজটি অঙ্কিত হবে। ত্রিভুজটির অন্তঃবৃত্ত অঙ্কনের জন্য, যেকোনো দুটি কোণের সমদ্বিখণ্ডক অঙ্কন করতে হবে। এই সমদ্বিখণ্ডকদ্বয়ের ছেদবিন্দুটিই হবে ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্র।

অন্তঃকেন্দ্র থেকে ত্রিভুজের যেকোনো একটি বাহুর উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের দৈর্ঘ্যই হবে অন্তঃবৃত্তের ব্যাসার্ধ। এই ব্যাসার্ধ নিয়ে অন্তঃকেন্দ্রকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করলেই ত্রিভুজটির অন্তঃবৃত্তটি পাওয়া যাবে। অন্তঃবৃত্ত হলো ত্রিভুজের অভ্যন্তরে অবস্থিত বৃহত্তম বৃত্ত যা ত্রিভুজের তিনটি বাহুকেই স্পর্শ করে।

বিশেষ নির্বচন:

মনে করি, একটি ত্রিভুজের ভূমি \(a = 6 \text{ সে.মি.}\), ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ \(\angle x = 30^\circ\) এবং অপর দুই বাহুর অন্তর \(d = 2 \text{ সে.মি.}\) দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণ:

  
1. যেকোনো একটি রশ্মি \(BE\) নিই। \(BE\) থেকে ভূমি \(a = 6 \text{ সে.মি.}\) এর সমান করে \(BC\) অংশ কেটে নিই।
  
2. \(BC\) রেখাংশের \(B\) বিন্দুতে \(\angle x = 30^\circ\) এর সমান \(\angle CBF\) আঁকি।
  
3. \(BF\) রশ্মি থেকে বাহুদ্বয়ের অন্তর \(d = 2 \text{ সে.মি.}\) এর সমান করে \(BD\) অংশ কেটে নিই।
  
4. \(C, D\) যোগ করি।
  
5. \(CD\) রেখাংশের \(C\) বিন্দুতে \(\angle BDC\) এর সমান করে \(\angle DCG\) আঁকি যেন \(CG\) রশ্মি \(BF\) রশ্মিকে ছেদ করে।
  
6. \(CG\) রশ্মি \(BF\) রশ্মিকে \(A\) বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে, \(\Delta ABC\)-ই নির্দিষ্ট ত্রিভুজ।

১. যেকোনো রশ্মি BX থেকে ভূমি BC = a = 5 সে.মি. কেটে নিই।
২. BC রেখাংশের B বিন্দুতে \(\angle CBF = 2y = 45^\circ\) অঙ্কন করি।
৩. BF রশ্মি থেকে BD = d = 2 সে.মি. অংশ কেটে নিই।
৪. C, D যোগ করি।
৫. CD রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক PQ অঙ্কন করি। PQ রেখা BF রশ্মিকে A বিন্দুতে ছেদ করে।
৬. A, C যোগ করি।
তাহলে \(\triangle ABC\) ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

অঙ্কন অনুসারে, A বিন্দু CD রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক PQ এর উপর অবস্থিত। লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু থেকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান হয়, তাই AC = AD। আবার, BD = AB - AD। যেহেতু AC = AD, তাহলে BD = AB - AC = d। সুতরাং, অঙ্কিত ত্রিভুজের ভূমি a, ভূমি সংলগ্ন কোণ \(2y\) এবং অপর দুই বাহুর অন্তর d এর সমান হয়েছে।