সমাধান করুনঃ 

দেওয়া আছে:

\[18y^x - y^{2x} = 81 \quad \ldots(1)\]

\[3^x = y^2 \quad \ldots(2)\]

প্রথম সমীকরণ থেকে পাই,

ধরি, \(A = y^x\)।

তাহলে, \(18A - A^2 = 81\)

\(A^2 - 18A + 81 = 0\)

\((A - 9)^2 = 0\)

\(A = 9\)

\(A\) এর মান প্রতিস্থাপন করে পাই,

\[y^x = 9 \quad \ldots(3)\]

এখন, সমীকরণ (2) থেকে পাই,

\(3^x = y^2\)

সমীকরণ (3) কে \(y\) এর জন্য সমাধান করি:

\(y = 9^{\frac{1}{x}}\)

\(y\) এর এই মানটি সমীকরণ (2) এ বসিয়ে পাই,

\(3^x = (9^{\frac{1}{x}})^2\)

\(3^x = 9^{\frac{2}{x}}\)

\(3^x = (3^2)^{\frac{2}{x}}\)

\(3^x = 3^{\frac{4}{x}}\)

উভয় পাশের ভিত্তি একই হওয়ায়, ঘাতগুলো সমান হবে:

\(x = \frac{4}{x}\)

\(x^2 = 4\)

\(x = \pm 2\)

এখন \(x\) এর দুটি মানের জন্য \(y\) এর মান নির্ণয় করি।

ক্ষেত্রে 1: যখন \(x = 2\)

সমীকরণ (3) থেকে পাই,

\(y^2 = 9\)

\(y = \pm 3\)

অতএব, সমাধানগুলো হলো \((2, 3)\) এবং \((2, -3)\)

ক্ষেত্রে 2: যখন \(x = -2\)

সমীকরণ (3) থেকে পাই,

\(y^{-2} = 9\)

\(\frac{1}{y^2} = 9\)

\(y^2 = \frac{1}{9}\)

\(y = \pm \frac{1}{3}\)

অতএব, সমাধানগুলো হলো \((-2, \frac{1}{3})\) এবং \((-2, -\frac{1}{3})\)

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধানসমূহ হলো: \((2, 3), (2, -3), (-2, \frac{1}{3}), (-2, -\frac{1}{3})\)