সমাধান করুন:

Created: 10 months ago | Updated: 10 months ago

Updated: 10 months ago

PSC BARC – PA - 2025 গণিত 2025 ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্য সময় ও কাজ (Time and work) সরল মুনাফা (Simple Interest) বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি

101

(ক)

একটি প্রিন্টার ৮% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। প্রিন্টারটি আরও ৪০০ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রয় করলে ৮% লাভ হতো। প্রিন্টারটির ক্রয়মূল্য কত?

উত্তরঃ

৮% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য (১০০-৮)= ৯২ টাকা

৮% লাভে বিক্রয়মল্য (১০০+৮)= ১০৮ টাকা

বিক্রয়মূল্য বেশি (১০৮ – ৯২) = ১৬ টাকা

বিক্রয়মূল্য ১৬ টাকা বেশি হলে ক্রয়মল্য ১০০ টাকা

“ ১ ” “ ” " $\frac{১ ০ ০}{১ ৬}$ "

“ ৪০০ ” “ ” " $\frac{১ ০ ০ \times ৪ ০ ০}{১ ৬}$ "

= ২৫০০ টাকা

উত্তর: ২৫০০ টাকা

Najjar Hossain Raju

10 months ago

(খ)

প্রতিদিন ৯ ঘন্টা কাজ করে ১০ জন লোক একটি বর্গাকৃতি জমির ধান ২ দিনে কাটতে পারে। উক্ত জমির ধান ১ দিনে ১২ ঘন্টা কাজ করে শেষ করতে অতিরিক্ত কতজন লোক লাগবে?

উত্তরঃ

প্রতিদিন ৯ ঘন্টা হলে ২দিনে হয় (৯ $\times$ ২) = ১৮ ঘন্টা।

∴ ১ জন লোক ১৮ ঘন্টা করলে ১০ জন লোক করে মোট

= (১৮ $\times$ ১০) = ১৮০ ঘন্টা।

এখন, ১দিনে ১২ ঘন্টা কাজ করলে মোট লোক লাগবে = $\frac{১ ৮ ০}{১ ২}$ জন = ১৫ জন।

∴ অতিরিক্ত লোক লাগবে (১৫ - ১০) = ৫ জন।

Najjar Hossain Raju

10 months ago

(গ)

জেমি ও সুমি একই ব্যাংক থেকে একই দিনে ১০% সরল সুদে আলাদা আলাদা পরিমাণ অর্থ ঋণ নেয়। জেমি ২ বছর পর সুদাসলে যত টাকা শোধ করে ৩ বছর পর সুমি সুদে আসলে তত টাকা শোধ করে। তাদের ঋণের অনুপাত নির্ণয় করুন।

উত্তরঃ

জেমির ক্ষেত্রে,

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ১০ টাকা

১ “ ১ ” " $\frac{১ ০}{১ ০ ০}$ "

ক “ ২ ” " $\frac{১ ০ \times ২ \times ক}{১ ০ ০}$ "

$= \frac{ক}{৫}$ টাকা

সুতরাং সুদ আসল $= ক + \frac{ক}{৫}$ টাকা

$= \frac{৫ ক + ক}{৫}$ টাকা

$= \frac{৬ ক}{৫}$ টাকা

সুমির ক্ষেত্রে,

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ১০ টাকা

১ “ ১ ” " $\frac{১ ০}{১ ০ ০}$ "

খ “ ৩ ” " $\frac{১ ০ \times ৩ \times খ}{১ ০ ০}$ "

$= \frac{৩ খ}{১ ০}$ টাকা

সুতরাং সুদ আসল $= খ + \frac{৩ খ}{১ ০}$ টাকা

$= \frac{১ ০ খ + ৩ খ}{১ ০}$ টাকা

$= \frac{১ ৩ খ}{১ ০}$ টাকা

প্রশ্নমতে,

$\frac{৬ ক}{৫} = \frac{১ ৩ খ}{১ ০}$

বা, ৬০ক = ৬৫খ

বা, ১২ক = ১৩খ

বা, $\frac{ক}{খ} = \frac{১ ৩}{১ ২}$

∴ ক : খ = ১৩ : ১২

সুতরাং জেমি ও সুমির ঋণর অনুপাত = ১৩ : ১২

উত্তর: ১৩ : ১২

Najjar Hossain Raju

10 months ago

(ঘ)

$a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4} = 3$ যদি এবং $a^{2} + a b + b^{2} = 3$ হয়, তবে $a^{2} + b^{2}$ এর মান কত?

উত্তরঃ

মনে করি, $a^{2} + a b + b^{2} = 3 - - - - - - - (i)$

$a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4} = 3$

বা, ${a^{2}}^{2} + 2 a^{2} b^{2} + {b^{2}}^{2} - a^{2} b^{2} = 3$

বা, $(a^{2} + b^{2})^{2} - (a b)^{2} = 3$

বা, $a^{2} + a b + b^{2}) (a^{2} - a b + b^{2}) = 3$

বা, $3 (a^{2} - a b + b^{2}) = 3$

বা, $(a^{2} - a b + b^{2}) = 1 - - - - - - (i i)$

সমীকরণ (i) + (ii)

বা, $(a^{2} + a b + b^{2} + a^{2} - a b + b^{2}) = 3 + 1$

বা, $2 (a^{2} + b^{2}) = 4$

$(a^{2} + b^{2}) = 2$

উত্তর: 2

Najjar Hossain Raju

10 months ago

101

MCQ: 654 CQ: 332

Practice

সময় ও কাজ (Time and work)

সময় ও কাজ Time and work

সমস্যা সমাধানের নিয়ম: সময় ও কাজ বিষয়ক সমস্যায় দুই বা তিনটি ভিন্ন জাতীয় রাশি যুক্ত থাকে। ঐ গুলো হলঃ ক) সময়ের পরিমাণ খ) কাজের পরিমাণ গ) কাজ সম্পাদনকারীর সংখ্যা

নিয়ম: (I) কাজের পরিমাণ অপরিবর্তিত রেখে-

কাজ সম্পাদনকারীর সংখ্যা কমালে কাজের সময় বাড়বে। এ ক্ষেত্রে গুণ করতে হয়।
কাজ সম্পাদনকারীর সংখ্যা বাড়ালে কাজের সময় কমবে। এক্ষেত্রে ভাগ করতে হবে।

নিয়ম (II) কাজ সম্পাদনকারীর সংখ্যা অপরিবর্তিত রেখে-

কাজের পরিমাণ কমালে সময়ের পরিমাণ কম হয়। এক্ষেত্রে ভাগ করতে হয়।
কাজের পরিমাণ বাড়ালে সময়ের পরিমাণ বেশি হয়। এক্ষেত্রে গুণ করতে হয়।

যে গাণিতিক অধ্যায়ে কোনো নির্দিষ্ট কাজ সম্পন্ন করতে ব্যক্তি বা যন্ত্র কত সময় নেয় এবং তাদের কাজের হার কীভাবে নির্ণয় করা যায় তা আলোচনা করা হয়, তাকে সময় ও কাজ (Time and Work) বলে।

কাজের মৌলিক ধারণা

কোনো কাজ সম্পূর্ণ করতে মোট কাজের পরিমাণ সাধারণত ১ ধরা হয়। একজন ব্যক্তি যত বেশি দক্ষ, সে তত দ্রুত কাজ শেষ করতে পারে।

মৌলিক সূত্র

$W = P \times T$

এখানে,
W = কাজ (Work)
P = কর্মদক্ষতা (Power / Efficiency)
T = সময় (Time)

একজন ব্যক্তির কাজের হার

যদি একজন ব্যক্তি একটি কাজ T দিনে শেষ করে, তবে তার ১ দিনের কাজ হবে:

$\frac{1}{T}$

দুইজন একসাথে কাজ করলে

দুইজন ব্যক্তির কাজের হার যোগ করে মোট কাজের হার নির্ণয় করা হয়।

$\frac{1}{T_{1}} + \frac{1}{T_{2}}$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

কাজের পরিমাণ সাধারণত ১ ধরা হয়।
সময় যত কম, দক্ষতা তত বেশি।
একাধিক ব্যক্তি একসাথে কাজ করলে সময় কমে যায়।
এটি বাস্তব জীবনের শ্রম ও উৎপাদন ব্যবস্থায় ব্যবহৃত হয়।

উদাহরণ

একজন ব্যক্তি একটি কাজ ১২ দিনে শেষ করে। তাহলে ১ দিনে সে কাজের 1/12 অংশ করতে পারবে।

অন্য একজন ব্যক্তি একই কাজ ১৮ দিনে শেষ করে। একসাথে কাজ করলে তারা দ্রুত কাজ সম্পন্ন করতে পারবে।

মনে রাখার উপায়

যে যত দক্ষ, সে তত দ্রুত কাজ শেষ করে এবং তার কাজের হার তত বেশি হয়।

সময় ও কাজ (Time and Work) – যৌথ কাজের অংক

যখন দুই বা ততোধিক ব্যক্তি একসাথে কোনো কাজ সম্পন্ন করে, তখন তাদের কাজের হার যোগ করে মোট সময় নির্ণয় করা হয়। এই ধরনের অংকে সাধারণত “এক দিনে কাজের অংশ” ব্যবহার করা হয়।

প্রদত্ত তথ্য

ধরি,
ক ব্যক্তি একটি কাজ ১০ দিনে শেষ করতে পারে
খ ব্যক্তি একই কাজ ১৫ দিনে শেষ করতে পারে

ধাপ ১: এক দিনের কাজ নির্ণয়

ক ব্যক্তির ১ দিনের কাজ:

$\frac{1}{10}$

খ ব্যক্তির ১ দিনের কাজ:

$\frac{1}{15}$

ধাপ ২: একসাথে ১ দিনের কাজ

$\frac{1}{10} + \frac{1}{15}$

LCM = 30 ধরে,

$\frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$

ধাপ ৩: মোট সময় নির্ণয়

যদি ১ দিনে কাজের অংশ হয় 1/6, তাহলে সম্পূর্ণ কাজ শেষ করতে সময় লাগবে:

$6 দিন$

উত্তর

ক ও খ একসাথে কাজটি ৬ দিনে শেষ করতে পারবে।

এই ধরনের অংকের শর্ট নিয়ম

প্রথমে প্রতিজনের ১ দিনের কাজ বের করতে হবে।
তারপর সব কাজের হার যোগ করতে হবে।
মোট কাজ = ১ ধরে সময় নির্ণয় করতে হবে।

মনে রাখার টিপস

যৌথ কাজের ক্ষেত্রে “দ্রুততার যোগফল = মোট কাজের গতি বৃদ্ধি” — তাই সময় কমে যায়।

Related Question

View All

(ক)

x + \frac{1}{x} = 3

হলে,

x^{9} + \frac{1}{x^{9}}

এর মান নির্ণয় করুন।

BCS 43rd BCS Written গণিত বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি

1.9k

উত্তরঃ

x + 1/x = 3

⇒ x²+ 1/x = 3

⇒ x² + 1 = 3x

⇒ x² - 3x + 1 = 0

⇒ x² -3 . x . 1 + 1² = 0

⇒ (x-1)² = 0

⇒ x - 1 = 0

x = 1

প্রদত্ত রাশি,

x⁹ + 1/x⁹

= 1⁹ + 1/1⁹

= 1 + 1/1

= 2/1

= 2 (Answer)

Azizar Rahman Aziz

3 years ago

1.9k

(ক)

a = \sqrt{5} + \sqrt{3}

হলে,

\frac{a^{2} + 2}{2 a}

এর মান নির্ণয় করুন।

BCS 43rd BCS Written গণিত বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি

609

উত্তরঃ

দেওয়া আছে,

$a = \sqrt{5} + \sqrt{3}$

প্রদত্ত রাশির মান নির্ণয় করতে হবে: $\frac{a^2+2}{2a}$

প্রথমে $a^2$ এর মান নির্ণয় করি:

$a^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2$

$a^2 = (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{5})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2$

$a^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3$

$a^2 = 8 + 2\sqrt{15}$

এখন, প্রদত্ত রাশিতে $a$ এবং $a^2$ এর মান বসিয়ে পাই:

$\frac{a^2+2}{2a} = \frac{(8 + 2\sqrt{15}) + 2}{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}$

$= \frac{10 + 2\sqrt{15}}{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}$

$= \frac{2(5 + \sqrt{15})}{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}$

$= \frac{5 + \sqrt{15}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

লব ও হরকে হরের অনুবন্ধী রাশি $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ দ্বারা গুণ করে পাই:

$= \frac{(5 + \sqrt{15})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}$

$= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + \sqrt{15}\sqrt{5} - \sqrt{15}\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$

$= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + \sqrt{75} - \sqrt{45}}{5 - 3}$

$= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + \sqrt{25 \times 3} - \sqrt{9 \times 5}}{2}$

$= \frac{5\sqrt{5} - 5\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{5}}{2}$

$= \frac{2\sqrt{5}}{2}$

$= \sqrt{5}$

সুতরাং, $\frac{a^2+2}{2a}$ এর মান $\sqrt{5}$।

Satt AI

1 month ago

609

(ক)

x + \frac{1}{x} = 5

হলে

x^{4} + \frac{1}{x^{4}}

এর মান নির্ণয় করুন।

BCS 41st BCS Written গণিত বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি

উত্তরঃ

নাজমুল আহসান

2 years ago

(খ)

যদি

x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 7

হয় তবে,

\frac{x^{6} + 1}{x^{3}}

এর মান নির্ণয় করুন।

BCS 40th BCS Written গণিত বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি

772

উত্তরঃ

দেওয়া আছে,

\[ x^2 + \frac{1}{x^2} = 7 \]

আমরা জানি,

\[ \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \]

\[ \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \]

মান বসিয়ে পাই,

\[ \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 7 + 2 \]

\[ \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 9 \]

\[ x + \frac{1}{x} = \sqrt{9} \]

\[ x + \frac{1}{x} = 3 \]

এখন, আমাদের নির্ণয় করতে হবে $\frac{x^6+1}{x^3}$ এর মান।

\[ \frac{x^6+1}{x^3} = \frac{x^6}{x^3} + \frac{1}{x^3} \]

\[ = x^3 + \frac{1}{x^3} \]

আমরা জানি, $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$

সুতরাং,

\[ x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \left(x + \frac{1}{x}\right) \]

\[ = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3 \left(x + \frac{1}{x}\right) \]

$x + \frac{1}{x} = 3$ এর মান বসিয়ে পাই,

\[ = (3)^3 - 3(3) \]

\[ = 27 - 9 \]

\[ = 18 \]

সুতরাং, $\frac{x^6+1}{x^3}$ এর মান 18।

Satt AI

1 month ago

772

(ক)

2 x^{2} - 3 x = 2

হলে

x^{3} + \frac{1}{x^{3}}

এর মান নির্ণয় করুন।

BCS 37th BCS Written গণিত বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি

2.4k

উত্তরঃ

দেওয়া আছে,

2x^2-3x=2

=> 2x^2-2=3x

=>2x(x-1/x)=3x

=>x-1/x=3x/2x

=>x-1/x=3/2

প্রদত্ত রাশি: x^3-1/x^3 (প্রশ্নে ভুল আছে)

=(x-1/x)^3 + 3x.1/x (x-1/x)

=(3/2)^3 +3(3/2)

=27/8 + 9/2

=(27+36)/8

=63/8

Ans: 63/8

Md. Mehedi Hasan

2 years ago

2.4k

(ক)

x + \frac{1}{x} = 3

হলে,

x^{4} + x^{3} + x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}

এর মান নির্ণয় করুন।

BCS 36th BCS Written গণিত বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি

661

Add Explanation

661

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

Notification

সমাধান করুন:

Related Question

Related Question

Promotion