সমাধান করুন:

Created: 3 years ago | Updated: 11 months ago

Updated: 11 months ago

179

(ক)

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: $4 x^{2} + 12 x + 9 .$

উত্তরঃ

$4 x^{2} + 12 x + 9 = {(2 x)}^{2} + 2.2 x . 3 + {(3)}^{2} = {(2 x + 3)}^{2} = (2 x + 3) (2 x + 3)$

PRONAY TIRKI

2 years ago

(খ)

রম্বস ও বর্গের দুটি করে বৈশিষ্ট্য লিখুন।

উত্তরঃ

বর্গের দুটি বৈশিষ্ট্য:

১. সকল বাহু সমান ২. কোণগুলো সমকোণ।

রম্বসের দুটি বৈশিষ্ট্য:

১. সকল বাহু সমান ২. কোণগুলো সমকোণ নয়।

PRONAY TIRKI

2 years ago

179

MCQ: 254 CQ: 113

Practice

চতুর্ভুজ ও চতুর্ভুজের প্রকারভেদ (Quadrilaterals & Types of Quadrilaterals)

চারটি রেখাংশ দ্বারা আবদ্ধ চিত্র একটি চতুর্ভুজ। চিত্র দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রটি একটি চতুর্ভুজক্ষেত্র।

চতুর্ভুজের চারটি বাহু আছে। যে চারটি রেখাংশ দ্বারা ক্ষেত্রটি আবদ্ধ হয়, এ চারটি রেখাংশই চতুর্ভুজের বাহু।

A, B, C ও D বিন্দু চারটির যেকোনো তিনটি সমরেখ নয়। AB, BC, CD ও DA রেখাংশ চারটি সংযোগে ABCD চতুর্ভুজ গঠিত হয়েছে। AB, BC, CD ও DA চতুর্ভুজটির চারটি বাহু। A, B, C ও D চারটি কৌণিক বিন্দু বা শীর্ষবিন্দু ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA ও ∠DAB চতুর্ভুজের চারটি কোণ। A ও B শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে C ও D শীর্ষের বিপরীত শীর্ষবিন্দু। AB ও CD পরস্পর বিপরীত বাহু এবং AD ও BC পরস্পর বিপরীত বাহু। এক শীর্ষবিন্দুতে যে দুইটি বাহু মিলিত হয়, এরা সন্নিহিত বাহু। যেমন, AB ও BC বাহু দুইটি সন্নিহিত বাহু। AC ও BD রেখাংশদ্বয় ABCD চতুর্ভুজের দুইটি কর্ণ। চতুর্ভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে এর পরিসীমা বলে। ABCD চতুর্ভুজের পরিসীমা (AB + BC + CD + DA) এর দৈর্ঘ্যের সমান। চতুর্ভুজকে অনেক সময় ‘☐’ প্রতীক দ্বারা নির্দেশ করা হয়।

চতুর্ভুজের প্রকারভেদ (Types of Quadrilaterals)

চারটি বাহু ও চারটি কোণ দ্বারা গঠিত বন্ধ জ্যামিতিক আকৃতিকে চতুর্ভুজ (Quadrilateral) বলে। একটি চতুর্ভুজের অভ্যন্তরীণ কোণসমূহের সমষ্টি সর্বদা ৩৬০°।

চতুর্ভুজের সাধারণ বৈশিষ্ট্য

চারটি বাহু থাকে
চারটি কোণ থাকে
দুটি কর্ণ থাকে
অভ্যন্তরীণ কোণসমূহের সমষ্টি = ৩৬০°

১. সামান্তরিক (Parallelogram)

যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল ও সমান, তাকে সামান্তরিক বলে।

বৈশিষ্ট্য

বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল
বিপরীত কোণ সমান
কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে

উদাহরণ: আয়তক্ষেত্র, বর্গক্ষেত্র, রম্বস

২. আয়তক্ষেত্র (Rectangle)

যে সামান্তরিকের চারটি কোণই সমকোণ (৯০°), তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।

বৈশিষ্ট্য

সব কোণ ৯০°
বিপরীত বাহু সমান
কর্ণদ্বয় সমান
কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে

উদাহরণ: বইয়ের পৃষ্ঠা, দরজার আকৃতি

৩. বর্গক্ষেত্র (Square)

যে আয়তক্ষেত্রের চারটি বাহুই সমান, তাকে বর্গক্ষেত্র বলে।

বৈশিষ্ট্য

চারটি বাহু সমান
চারটি কোণই ৯০°
কর্ণদ্বয় সমান
কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং লম্বভাবে ছেদ করে

উদাহরণ: দাবার ঘর, টাইলস

৪. রম্বস (Rhombus)

যে সামান্তরিকের চারটি বাহুই সমান কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নাও হতে পারে, তাকে রম্বস বলে।

বৈশিষ্ট্য

চারটি বাহু সমান
বিপরীত কোণ সমান
কর্ণদ্বয় লম্বভাবে পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে

উদাহরণ: ঘুড়ির বিশেষ আকৃতি

৫. ট্রাপিজিয়াম (Trapezium)

যে চতুর্ভুজের কেবল একজোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল, তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।

বৈশিষ্ট্য

একজোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল
অন্য দুই বাহু অসমান্তরাল

উদাহরণ: সেতুর পার্শ্ব নকশা

৬. সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম (Isosceles Trapezium)

যে ট্রাপিজিয়ামের অসমান্তরাল বাহুদ্বয় সমান, তাকে সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম বলে।

বৈশিষ্ট্য

অসমান্তরাল বাহুদ্বয় সমান
ভিত্তিকোণসমূহ সমান
কর্ণদ্বয় সমান

৭. ঘুড়ি (Kite)

যে চতুর্ভুজের দুই জোড়া সন্নিহিত বাহু সমান, তাকে ঘুড়ি বলে।

বৈশিষ্ট্য

দুই জোড়া সন্নিহিত বাহু সমান
একজোড়া বিপরীত কোণ সমান
একটি কর্ণ অপর কর্ণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে

উদাহরণ: খেলনার ঘুড়ি

চতুর্ভুজের কোণসমষ্টি

$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = 360 °$

উদাহরণ

একটি চতুর্ভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে ৮০°, ৯০° ও ১০০° হলে চতুর্থ কোণ নির্ণয় করি।

$x = 360 ° - (80 ° + 90 ° + 100 °)$ $x = 90 °$

মনে রাখার উপায়

সব বর্গক্ষেত্র আয়তক্ষেত্র এবং রম্বস
সব আয়তক্ষেত্র সামান্তরিক
সব রম্বস সামান্তরিক
সব সামান্তরিক চতুর্ভুজ, কিন্তু সব চতুর্ভুজ সামান্তরিক নয়

Related Question

View All

(ক)

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন:

(a - 1) x^{2} + a^{2} x y + (a + 1) y

BCS 43rd BCS Written গণিত উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization)

492

উত্তরঃ

প্রদত্ত রাশিটি হলো:

\[ (a-1)x^2 + a^2xy + (a+1)y^2 \]

এটি একটি দ্বিঘাত সমমাত্রিক রাশি (homogeneous quadratic expression)। এই ধরনের রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার জন্য মধ্যপদকে (middle term) এমন দুটি পদে বিভক্ত করতে হয় যাদের গুণফল প্রথম ও শেষ পদের সহগের গুণফলের সমান এবং যোগফল মধ্যপদের সহগের সমান।

১. এখানে,

প্রথম পদের সহগ (coefficient) হলো $(a-1)$।
শেষ পদের সহগ হলো $(a+1)$।
মধ্যপদের সহগ হলো $a^2$।

২. প্রথম ও শেষ পদের সহগের গুণফল নির্ণয় করি:

\[ (a-1)(a+1) = a^2 - 1 \]

৩. এখন, আমাদের এমন দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের গুণফল $(a^2 - 1)$ এবং যোগফল $a^2$।

এই সংখ্যা দুটি হলো $(a^2 - 1)$ এবং $1$।

কারণ, $(a^2 - 1) \times 1 = a^2 - 1$ এবং $(a^2 - 1) + 1 = a^2$।

৪. মধ্যপদ $a^2xy$ কে $(a^2-1)xy + xy$ আকারে বিভক্ত করা যাক:

\[ (a-1)x^2 + (a^2-1)xy + xy + (a+1)y^2 \]

৫. এখন, পদগুলোকে জোড়ায় জোড়ায় ভাগ করে সাধারণ উৎপাদক (common factor) নেওয়া যাক:

প্রথম দুটি পদ থেকে $x$ কমন নেওয়া যায়:

\[ x \{(a-1)x + (a^2-1)y\} \]

শেষ দুটি পদ থেকে $y$ কমন নেওয়া যায়:

\[ y \{x + (a+1)y\} \]

সুতরাং, রাশিটি দাঁড়ায়:

\[ x \{(a-1)x + (a^2-1)y\} + y \{x + (a+1)y\} \]

৬. আমরা জানি, $(a^2-1)$ কে $(a-1)(a+1)$ আকারে লেখা যায়। এই মানটি প্রতিস্থাপন করি:

\[ x \{(a-1)x + (a-1)(a+1)y\} + y \{x + (a+1)y\} \]

৭. প্রথম বন্ধনীর ভেতর থেকে $(a-1)$ কমন নেওয়া যাক:

\[ x (a-1) \{x + (a+1)y\} + y \{x + (a+1)y\} \]

৮. এখন, $\{x + (a+1)y\}$ উভয় পদে একটি সাধারণ উৎপাদক। এই সাধারণ উৎপাদকটি কমন নেওয়া যাক:

\[ \{x + (a+1)y\} \{x(a-1) + y\} \]

৯. সুতরাং, প্রদত্ত রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণকৃত রূপটি হলো:

\[ \{x + (a+1)y\} \{(a-1)x + y\} \]

Satt AI

2 weeks ago

492

(ক)

54 x^{4} + 27 x^{3} a - 16 x - 8 a

BCS 38th BCS Written গণিত উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization)

1.2k

উত্তরঃ

ভাগশেষ উপপাদ্য ব্যবহার করে করা যাক।
ধরি, $f (x) = 54 x^{4} + 27 x^{3} a - 16 x - 8 a$
x এর এমন মান নিব যেন f(x)=0 হয়।
$∴ f (- \frac{a}{2}) = 54 {(- \frac{a}{2})}^{4} + 27 {(- \frac{a}{2})}^{3} a - 16 (- \frac{a}{2}) - 8 a = 0$
এখানে, $x = - \frac{a}{2}$ হলে মান ০ হয়।

তাহলে বলা যায়, (2x+a), f(x) এর একটি উৎপাদক।

আবার, ধরি, $f (x) = 27 x^{3} - 8$
আবারও, x এর এমন মান নিব যেন f(x)=0 হয়।
$∴ f (\frac{2}{3}) = 27 {(\frac{2}{3})}^{3} - 8 = 0$

$∴ (3 x - 2), f (x)$ এর একটি উৎপাদক।

$A n s w e r : (2 x + a) (3 x - 2) (9 x^{2} + 6 x + 4)$

Rupkatha

1 year ago

1.2k

(খ)

12 x^{2} + 35 x + 18

BCS 38th BCS Written গণিত উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization)

375

Add Explanation

375

(খ)

a^{3} + 6 a^{2} b + 11 a b^{2} + 6 b^{3}

কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।

BCS 37th BCS Written গণিত উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization)

1.5k

উত্তরঃ

প্রদত্ত রাশি:

$a^3 + 6a^2b + 11ab^2 + 6b^3$

ধরি, $P(a) = a^3 + 6a^2b + 11ab^2 + 6b^3$

এখানে, যদি $a = -b$ বসানো হয়, তাহলে

$P(-b) = (-b)^3 + 6(-b)^2b + 11(-b)b^2 + 6b^3$

$ = -b^3 + 6b^2 \cdot b - 11bb^2 + 6b^3$

$ = -b^3 + 6b^3 - 11b^3 + 6b^3$

$ = (-1 + 6 - 11 + 6)b^3$

$ = (12 - 12)b^3$

$ = 0 \cdot b^3 = 0$

যেহেতু $P(-b) = 0$, উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) অনুসারে $(a - (-b))$ অর্থাৎ $(a+b)$ প্রদত্ত রাশির একটি উৎপাদক।

এখন, প্রদত্ত রাশিকে $(a+b)$ দ্বারা ভাগ করে অথবা পদগুলোকে সাজিয়ে পাই:

$a^3 + 6a^2b + 11ab^2 + 6b^3$

$ = a^3 + a^2b + 5a^2b + 5ab^2 + 6ab^2 + 6b^3$

$ = a^2(a+b) + 5ab(a+b) + 6b^2(a+b)$

এখন, $(a+b)$ কমন নিয়ে পাই:

$ = (a+b)(a^2 + 5ab + 6b^2)$

দ্বিতীয় উৎপাদকটিকে মধ্যপদ বিশ্লেষণ (middle term factorization) করে পাই:

$a^2 + 5ab + 6b^2$

$ = a^2 + 2ab + 3ab + 6b^2$

$ = a(a+2b) + 3b(a+2b)$

$ = (a+2b)(a+3b)$

সুতরাং, সম্পূর্ণ উৎপাদক বিশ্লেষণ হলো:

$(a+b)(a+2b)(a+3b)$

Satt AI

1 week ago

1.5k

(খ)

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন:

x (x - 1) (x - 2) (x - 3) - 24

BCS 36th BCS Written গণিত উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization)

796

Add Explanation

796

(খ)

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন:

x^{4} - 4 x + 3

BCS 35th BCS Written গণিত উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization)

1.2k

উত্তরঃ

x = 1 ধরলে সমীকরণের মান শূন্য হবে।

অর্থাৎ, সমীকরণটিতে x = 1 হলে, x - 1 = 0. তাহলে সমীকরণটি নিম্নরূপ হবে :

x^4 - x^3 + x^3 - x-^2 +x^2 - x - 3x + 3

= x^3(x -1) + x^2(x - 1) + x(x -1) - 3(x - 1)

= (x - 1)(x ^3 + x^2 + x - 3) (উত্তর)।

[x^4 এর সাথে minus x^3 করে x^3 কমন নিলে থাকবে (x - 1).

এখন, plus x^3 করলে কেটে যাবে। একইভাবে, minus x^2 করলে একই ভাবে কেটে যাবে।

এখন, minus x করলে কমন আসবে (x - 1). আর বাকি রইল minus 3x এর সাথে আছে plus 3.

এখন, 3 কমন নিলে আসবে (x - 1).

Samiul Alim

1 year ago

1.2k

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

সমাধান করুন:

Related Question

Related Question

Promotion