উত্তরঃ
সরল দৈব নমুনায়ন (Simple Random Sampling): সরল দৈব নমুনায়ন হলো এমন একটি পদ্ধতি যেখানে সমগ্রকের প্রতিটি একক বা উপাদানের নমুনাভুক্ত হওয়ার সমান এবং স্বাধীন সুযোগ থাকে। এই পদ্ধতিতে নমুনা চয়নের জন্য লটারি পদ্ধতি, দৈব সংখ্যা সারণি বা কম্পিউটার সফটওয়্যার ব্যবহার করা যেতে পারে। এটি সবচেয়ে মৌলিক এবং পক্ষপাতমুক্ত নমুনায়ন পদ্ধতি।
ধারাবাহিক নমুনায়ন (Systematic Sampling): ধারাবাহিক নমুনায়ন হলো এমন একটি পদ্ধতি যেখানে সমগ্রকের উপাদানগুলোকে একটি নির্দিষ্ট ক্রমে সাজানো হয় এবং একটি দৈব প্রারম্ভিক বিন্দু নির্বাচন করে সেখান থেকে একটি নির্দিষ্ট অন্তর বা বিরতিতে উপাদানসমূহকে নমুনা হিসেবে চয়ন করা হয়। যেমন, যদি k-তম প্রতি একককে নির্বাচন করা হয়, তবে তাকে k-তম প্রতিটি উপাদানকে বেছে নেওয়া হবে। এটি সরল দৈব নমুনায়নের চেয়ে সহজ হলেও, যদি সমগ্রকে কোনো লুকানো পর্যায়ক্রমিক প্যাটার্ন থাকে, তবে তা নমুনায়নে পক্ষপাত সৃষ্টি করতে পারে।
সমস্যা সমাধান:
প্রদত্ত সমগ্রকের উপাদানসমূহ, Y = {2, 4, 6, 8, 10}
সমগ্রকের মোট উপাদান সংখ্যা, N = 5
নমুনার আকার, n = 2
নমুনায়ন পদ্ধতি: পুনঃস্থাপনসহ দৈব নমুনায়ন (Sampling with replacement)
১. সমগ্রকের গড় (\(\bar{Y}\)) নির্ণয়:
\[ \bar{Y} = \frac{\sum Y}{N} = \frac{2+4+6+8+10}{5} = \frac{30}{5} = 6 \]
২. সমগ্রকের ভেদাঙ্ক (\(\sigma^2\)) নির্ণয়:
প্রতিটি উপাদানের সাথে সমগ্রক গড়ের পার্থক্য এবং তাদের বর্গ:
- \((2-6)^2 = (-4)^2 = 16\)
- \((4-6)^2 = (-2)^2 = 4\)
- \((6-6)^2 = (0)^2 = 0\)
- \((8-6)^2 = (2)^2 = 4\)
- \((10-6)^2 = (4)^2 = 16\)
পার্থক্যের বর্গের সমষ্টি, \( \sum (Y - \bar{Y})^2 = 16+4+0+4+16 = 40 \)
\[ \sigma^2 = \frac{\sum (Y - \bar{Y})^2}{N} = \frac{40}{5} = 8 \]
৩. ২ আকারের সম্ভাব্য সকল দৈব নমুনা (পুনঃস্থাপনসহ) চয়ন এবং তাদের গড় (\(\bar{y}\)) নির্ণয়:
পুনঃস্থাপনসহ মোট সম্ভাব্য নমুনা সংখ্যা = \(N^n = 5^2 = 25\)
| নমুনা (\(y_1, y_2\)) |
নমুনা গড় (\(\bar{y}\)) |
নমুনা গড়ের বর্গ (\(\bar{y}^2\)) |
| (2,2) | 2 | 4 |
| (2,4) | 3 | 9 |
| (2,6) | 4 | 16 |
| (2,8) | 5 | 25 |
| (2,10) | 6 | 36 |
| (4,2) | 3 | 9 |
| (4,4) | 4 | 16 |
| (4,6) | 5 | 25 |
| (4,8) | 6 | 36 |
| (4,10) | 7 | 49 |
| (6,2) | 4 | 16 |
| (6,4) | 5 | 25 |
| (6,6) | 6 | 36 |
| (6,8) | 7 | 49 |
| (6,10) | 8 | 64 |
| (8,2) | 5 | 25 |
| (8,4) | 6 | 36 |
| (8,6) | 7 | 49 |
| (8,8) | 8 | 64 |
| (8,10) | 9 | 81 |
| (10,2) | 6 | 36 |
| (10,4) | 7 | 49 |
| (10,6) | 8 | 64 |
| (10,8) | 9 | 81 |
| (10,10) | 10 | 100 |
মোট নমুনা গড় (\(\sum \bar{y}\)) = 150
মোট নমুনা গড়ের বর্গ (\(\sum \bar{y}^2\)) = 1000
প্রমাণ (i): \(E(\bar{y}) = \bar{Y}\)
নমুনা গড়ের প্রত্যাশিত মান, \( E(\bar{y}) = \frac{\sum \bar{y}}{N^n} = \frac{150}{25} = 6 \)
যেহেতু সমগ্রকের গড় \(\bar{Y} = 6\) এবং নমুনা গড়ের প্রত্যাশিত মান \(E(\bar{y}) = 6\),
সুতরাং, \(E(\bar{y}) = \bar{Y}\) (প্রমাণিত)।
প্রমাণ (ii): \(V(\bar{y}) = \frac{\delta^2}{n}\)
নমুনা গড়ের ভেদাঙ্ক, \(V(\bar{y}) = E(\bar{y}^2) - [E(\bar{y})]^2\)
আমরা পেয়েছি, \( E(\bar{y}^2) = \frac{\sum \bar{y}^2}{N^n} = \frac{1000}{25} = 40 \)
এবং \(E(\bar{y}) = 6\)
সুতরাং, \( V(\bar{y}) = 40 - (6)^2 = 40 - 36 = 4 \)
অপরদিকে, \(\frac{\delta^2}{n}\) এর মান:
আমরা পেয়েছি, সমগ্রকের ভেদাঙ্ক \(\sigma^2 = 8\) এবং নমুনার আকার \(n = 2\)। (এখানে প্রশ্নে \(\delta^2\) ব্যবহার করা হলেও, পরিসংখ্যানে সমগ্রকের ভেদাঙ্ককে সাধারণত \(\sigma^2\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। গাণিতিক সমাধানে \(\sigma^2\) ব্যবহার করা হয়েছে এবং প্রশ্নে উল্লিখিত \(\delta^2\) এর সমতুল্য ধরা হয়েছে।)
সুতরাং, \( \frac{\sigma^2}{n} = \frac{8}{2} = 4 \)
যেহেতু \(V(\bar{y}) = 4\) এবং \( \frac{\sigma^2}{n} = 4 \),
সুতরাং, \(V(\bar{y}) = \frac{\delta^2}{n}\) (প্রমাণিত)।
