সরল দোলকটির কার্যকর দৈর্ঘ্য কত ?

দোলনরত একটি সরল দোলক সাম্যাবস্থায় এসে থেমে যায় না, কারণ এটি তার জড়তা (Inertia) এবং গতিবেগের (Momentum) কারণে সাম্যাবস্থা অতিক্রম করে যায়।

দোলক যখন সাম্যাবস্থার দিকে আসে, তখন এর স্থিতিশক্তি গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হয় এবং সাম্যাবস্থায় এর গতিশক্তি সর্বোচ্চ হয়। এই সর্বোচ্চ গতিশক্তির কারণে সৃষ্ট জড়তা দোলককে সাম্যাবস্থায় থেমে যেতে দেয় না, বরং এটিকে বিপরীত দিকে ঠেলে দেয় যতক্ষণ না এর সমস্ত গতিশক্তি আবার স্থিতিশক্তিতে রূপান্তরিত হয়। বাহ্যিক কোনো শক্তি প্রয়োগ না করলে বা ঘর্ষণজনিত কারণে শক্তি ক্ষয় না হলে এটি আদর্শগতভাবে অনির্দিষ্টকাল ধরে দুলতে থাকবে।

উদ্দীপকে উল্লিখিত সরল দোলকের দোলনকালের পরিবর্তন ও অভিকর্ষজ ত্বরণের তারতম্যের সম্পর্ক বিশ্লেষণ করে B পাহাড়ের উচ্চতা নির্ণয় করতে হবে এবং এর মাধ্যমে A পাহাড়ের উচ্চতার সাথে তুলনা করে সিদ্ধান্ত নিতে হবে। ভূপৃষ্ঠ থেকে যত উপরে যাওয়া যায়, অভিকর্ষজ ত্বরণের মান তত কমতে থাকে, যার ফলস্বরূপ সরল দোলকের দোলনকাল বৃদ্ধি পায়। এই গাণিতিক সম্পর্ক ব্যবহার করে B পাহাড়ের উচ্চতা নির্ণয় করা সম্ভব।

প্রথমত, B পাহাড়ে সরল দোলকটির দোলনকাল নির্ণয় করা যাক। উদ্দীপকে দেওয়া আছে, B পাহাড়ে দোলকটি এক ঘণ্টায় (3600 সেকেন্ডে) 1780টি পূর্ণ দোলন সম্পন্ন করে।

B পাহাড়ে সরল দোলকটির দোলনকাল, \(T_B = \frac{\text{মোট সময়}}{\text{মোট দোলন সংখ্যা}}\)

\(T_B = \frac{3600 \text{ s}}{1780}\)

\(T_B \approx 2.02247 \text{ s}\)

এখন, দোলনকাল ব্যবহার করে B পাহাড়ে অভিকর্ষজ ত্বরণ (\(g_B\)) নির্ণয় করা যাক। আমরা জানি, সরল দোলকের দোলনকাল \(T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\)। যেহেতু দোলকের দৈর্ঘ্য (L) অপরিবর্তিত থাকে, তাই \(T^2 \propto \frac{1}{g}\)।

সুতরাং, \(\frac{g_B}{g_0} = \frac{T_0^2}{T_B^2}\)

\(g_B = g_0 \frac{T_0^2}{T_B^2}\)

এখানে, ভূপৃষ্ঠে দোলনকাল \(T_0 = 2\) s এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g_0 = 9.81\) m/s²।

\(g_B = 9.81 \text{ ms}^{-2} \times \frac{(2 \text{ s})^2}{(2.02247 \text{ s})^2}\)

\(g_B = 9.81 \times \frac{4}{4.0904}\)

\(g_B \approx 9.596 \text{ ms}^{-2}\)

এবার, B পাহাড়ের উচ্চতা \(h_B\) নির্ণয় করা যাক। পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে h উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g_h\) হলে, আমরা জানি: \(g_h = g_0 \left(\frac{R}{R+h}\right)^2\)।

এখানে, \(g_h = g_B\) এবং পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(R \approx 6.4 \times 10^6\) m।

\(g_B = g_0 \left(\frac{R}{R+h_B}\right)^2\)

\(\frac{g_B}{g_0} = \left(\frac{R}{R+h_B}\right)^2\)

\(\sqrt{\frac{g_B}{g_0}} = \frac{R}{R+h_B}\)

\(R+h_B = R \sqrt{\frac{g_0}{g_B}}\)

\(h_B = R \left(\sqrt{\frac{g_0}{g_B}} - 1\right)\)

\(h_B = 6.4 \times 10^6 \text{ m} \left(\sqrt{\frac{9.81 \text{ ms}^{-2}}{9.596 \text{ ms}^{-2}}} - 1\right)\)

\(h_B = 6.4 \times 10^6 ( \sqrt{1.0223} - 1)\)

\(h_B = 6.4 \times 10^6 (1.01108 - 1)\)

\(h_B = 6.4 \times 10^6 \times 0.01108\)

\(h_B \approx 70912 \text{ m}\)

\(h_B \approx 70.912 \text{ km}\)

উপরে গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায়, B পাহাড়ের উচ্চতা প্রায় 70.912 km। উদ্দীপকে A পাহাড়ের উচ্চতা দেওয়া আছে 8.85 km। যেহেতু 70.912 km > 8.85 km, তাই গাণিতিকভাবে প্রমাণিত হয় যে, B পাহাড়টির উচ্চতা A পাহাড়ের তুলনায় অনেক বেশি উঁচু।