সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ কর

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হর bc ও ac এর ল. সা. গু. = abc

∴ $\frac{a}{bc}=\frac{a\times a}{bc\times a}[\because abc÷bc=a]$

$= \frac{a^2}{abc}$

এবং $\frac{a}{ac}=\frac{a\times b}{ac\times b}[\because abc÷ac=b]$

$= \frac{ab}{abc}$

নির্ণেয় সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুইটি $\frac{a^2}{abc}, \frac{ab}{abc}$

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হর pq ও qr এর ল. সা. গু. = pqr

∴ $\frac{x}{pq} = \frac{x \times r}{pq \times r} \quad [ \because pqr \div pq = r ]$

$= \frac{rx}{pqr}$

এবং $\frac{y}{pr} = \frac{y \times q}{pr \times q} \quad [ pqr \div pr = q ]$

$= \frac{qy}{pqr}$

নির্ণেয় সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুইটি $\frac{rx}{pqr}, \frac{qy}{pqr}$

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হর 3m ও 2n এর ল. সা. গু. = 6mn

এখানে, $\frac{2x}{3m} = \frac{2x \times 2n}{3m \times 2n} \quad [ \because 6mn \div 3m = 2n ]$

$= \frac{4nx}{6mn}$

এবং $\frac{3y}{2n} = \frac{3y \times 3m}{2n \times 3m} \quad [ \because 6mn \div 2n = 3m ]$

$= \frac{9my}{6mn}$

নির্ণেয় সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুইটি $\frac{4nx}{6mn}, \frac{9my}{6mn}$

প্রদত্ত ভগ্নাংশ দুইটির হর (a - b) ও (a + b) এর ল. সা. গু. = (a - b)(a + b)

এখানে, $\frac{a}{a-b} = \frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)} \quad [ \because \frac{(a-b)(a+b)}{(a-b)} = (a+b) ]$

$= \frac{a(a+b)}{a^2 - b^2}$

এবং $\frac{b}{a+b} = \frac{b(a-b)}{(a+b)(a-b)} \quad [ \because \frac{(a-b)(a+b)}{(a+b)} = (a-b) ]$

$= \frac{b(a-b)}{a^2 - b^2}$

নির্ণেয় সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুইটি $\frac{a(a+b)}{a^2 - b^2}, \frac{b(a-b)}{a^2 - b^2}$

১ম ভগ্নাংশের হর = $a^2 - 2ab = a(a - 2b)$
২য় ভগ্নাংশের হর = $a + 2b$
∴ হরগুলোর ল. সা. গু. = $a(a - 2b)(a + 2b)$

∴$\frac{x^2}{a^2-2ab}=\frac{x^2(a+2b)}{(a^2-2ab)(a+2b)}$

[লব ও হরকে (a+2b) দ্বারা গুণ করে]

$$= \frac{x^2(a + 2b)}{a(a - 2b)(a + 2b)} = \frac{(a + 2b)x^2}{a(a^2 - 4b^2)}$$

এবং $\frac{y^2}{a+2b}=\frac{y^2\times a(a-2b)}{(a+2b)\times a(a-2b)}$

[লব ও হরকে a(a-2b) দ্বারা গুণ করে]

$$= \frac{a(a - 2b)y^2}{a(a^2 - 4b^2)}$$

নির্ণেয় সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুটি $$\frac{(a + 2b)x^2}{a(a^2 - 4b^2)}, \quad \frac{a(a - 2b)y^2}{a(a^2 - 4b^2)}$$

১ম ভগ্নাংশের হর = $a^2 - 4$
         = $a^2 - 2^2 = (a + 2)(a - 2)$

২য় ভগ্নাংশের হর = $a(a + 2)$

∴ হরগুলোর ল. সা. গু. = $a(a + 2)(a - 2)$

এখানে, $\frac{3}{a^2-4}=\frac{3}{(a+2)(a-2)}$

$=\frac{3a}{(a+2)(a-2)a}$[লব ও হরকে a দ্বারা গুণ করে]

$=\frac{3a}{a(a^2-4)}$

এবং $\frac{2}{a(a+2)}=\frac{2(a-2)}{a(a+2)(a-2)}$

[লব ও হরকে (a-2) দ্বারা গুণ করে]

$=\frac{2(a-2)}{a(a^2-4)}$

নির্ণেয় সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুইটি $$\frac{3a}{a(a^2 - 4)}, \quad \frac{2(a - 2)}{a(a^2 - 4)}$$

সমাধান : ১ম ভগ্নাংশের হর = $a^2 - 9$
         = $a^2 - 3^2 = (a + 3)(a - 3)$
২য় ভগ্নাংশের হর = $a + 3$
∴ হরগুলোর ল. সা. গু. = $(a + 3)(a - 3)$

এখানে, $$\frac{a}{a^2 - 9} = \frac{a \times 1}{(a^2 - 9) \times 1} = \frac{a}{a^2 - 9}$$

এবং $\frac{b}{a+3}=\frac{b(a-3)}{(a+3)(a-3)}$[লব ও হরকে (a-3) দ্বারা গুণ করে]

$=\frac{b(a-3)}{a^2-9}$

নির্ণেয় সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুটি $\frac{a}{a^2-9},\frac{b(a-3)}{a^2-9}$

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর ল. সা. গু.
= (a + b) (a − b) (a − c)

১ম ভগ্নাংশ =$\frac{a}{a+b}=\frac{a(a-b)(a-c)}{(a+b)(a-b)(a-c)}$

[লব ও হরকে (a-;b) (a - c) দ্বারা গুণ করে

= $\frac{a(a − b)(a − c)}{(a^2 − b^2)(a − c)}$

২য় ভগ্নাংশ =$\frac{b}{a-b}=\frac{b(a+b)(a-c)}{(a-b)(a+b)(a-c)}$

[লব ও হরকে (a + b)(a - c) দ্বারা গুণ করে]

= $\frac{b(a + b)(a − c)}{(a^2 − b^2)(a − c)}$

৩য় ভগ্নাংশ =$\frac{c}{a-c}=\frac{c(a+b)(a-b)}{(a-c)(a+b)(a-b)}$

[লব ও হরকে (a + b) (a-b) দ্বারা গুণ করে]

= $\frac{c(a^2-b^2)}{(a-c)(a^2-b^2)}=\frac{c(a^2-b^2)}{(a^2-b^2)(a-c)}$

নির্দেশ অনুসারে উপরের তিনটি ভগ্নাংশের হর সমান হলে$\frac{a(a-b)(a-c)}{(a^2-b^2)(a-c)},\frac{b(a+b)(a-c)}{(a^2-b^2)(a-c)},\frac{c(a^2-b^2)}{(a^2-b^2)(a-c)}$

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর ল. সা. গু.

$$= a(a + b)(a - b)$$

১ম ভগ্নাংশ =$\frac{a}{a-b}=\frac{a\times a(a+b)}{(a-b)\times a(a+b)}$

[লব ও হরকে a(a + b) দ্বারা গুণ করে]

$$= \frac{a^2(a + b)}{a(a^2 - b^2)}$$

২য় ভগ্নাংশ =$$\frac{b}{a + b}$$

$=\frac{b\times a(a-b)}{(a+b)\times a(a-b)}$

[লব ও হরকে a(a - b) দ্বারা গুণ করে]

$$= \frac{ab(a - b)}{a(a^2 - b^2)}$$

৩য় ভগ্নাংশ =$$\frac{c}{a(a + b)}$$

$=\frac{c(a-b)}{a(a+b)(a-b)}$ [লব ও হরকে (a - b) দ্বারা গুণ করে]

$$= \frac{c(a - b)}{a(a^2 - b^2)}$$

নির্ণেয় সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ তিনটি যথাক্রমে $\frac{a^2(a+b)}{a(a^2-b^2)},\frac{ab(a-b)}{a(a^2-b^2)},\frac{c(a-b)}{a(a^2-b^2)}$

১ম ভগ্নাংশের হর

$$\begin{gathered} =x^2-x-2 \\ =x^2-2x+x-2 \\ =x(x-2)+1(x-2) \\ =(x-2)(x+1) \end{gathered}$$

২য় ভগ্নাংশের হর

$$\begin{gathered} =x^2+x-6 \\ =x^2+3x-2x-6 \\ =x(x+3)-2(x+3) \\ =(x+3)(x-2) \end{gathered}$$

∴ হরগুলোর ল. সা. গু. = (x + 1)(x - 2)(x + 3)

১ম ভগ্নাংশ =

$$\begin{gathered} \frac{2}{x^2-x-2} \\ =\frac{2}{(x+1)(x-2)} \\ =\frac{2(x+3)}{(x+1)(x-2)(x+3)} \end{gathered}$$

[লব ও হরকে (x+ 3) দ্বারা গুণ করে]

২য় ভগ্নাংশ =

$$\begin{gathered} \frac{3}{x^2+x-6} \\ =\frac{3}{(x+3)(x-2)} \\ =\frac{3(x+1)}{(x+3)(x-2)(x+1)} \end{gathered}$$

[লব ও হরকে (x+ 1) দ্বারা গুণ করে]

$=\frac{3(x+1)}{(x+3)(x-2)(x+3)}$

নির্ণেয় সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুইটি $\frac{2(x+3)}{(x+1)(x-2)(x+3)},\frac{3(x+1)}{(x+1)(x-2)(x+3)}$