সান্দ্রতা কাকে বলে ?

বৃষ্টির ফোঁটা গোলাকার হওয়ার প্রধান কারণ হলো তরলের পৃষ্ঠটান (Surface Tension)।

তরলের অণুগুলো পরস্পরের প্রতি আকর্ষণ বল প্রয়োগ করে। তরলের অভ্যন্তরের অণুগুলো চারদিক থেকে সমানভাবে আকর্ষিত হলেও পৃষ্ঠের অণুগুলো কেবল নিচের দিকে ও পাশের অণুগুলো দ্বারা আকর্ষিত হয়, ফলে পৃষ্ঠের অণুগুলো একটি নিট নিম্নমুখী বল অনুভব করে। এই বলের কারণে তরল তার পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলকে সর্বনিম্ন করতে চায়। একটি নির্দিষ্ট আয়তনের জন্য গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল সর্বনিম্ন হয়। তাই, বৃষ্টির ফোঁটা তার পৃষ্ঠটানের প্রভাবে গোলাকার রূপ ধারণ করে।

কোনো বস্তুর উপর বল প্রয়োগের ফলে যদি বস্তুটির বিকৃতি ঘটে, তবে প্রযুক্ত বল দ্বারা কৃতকার্য বস্তুর মধ্যে স্থিতিশক্তি হিসেবে সঞ্চিত হয়। প্রতি একক আয়তনে সঞ্চিত এই শক্তিকে একক আয়তনে স্থিতিশক্তি বলে। এটি বিকৃতিজনিত পীড়ন ও বিকৃতির গুণফলের অর্ধেকের সমান অর্থাৎ, \(U_v = \frac{1}{2} \times \text{পীড়ন} \times \text{বিকৃতি}\)।

উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত তথ্য অনুযায়ী, প্রথম তারের দৈর্ঘ্য \(L = 1\) m, মুক্তপ্রান্তে ঝুলানো ভর \(m = 0.05\) kg এবং তারের ব্যাস \(d_1 = 2\) mm \(= 2 \times 10^{-3}\) m। আমরা জানি, অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g = 9.8\) m/s\(^2\)।
অতএব, প্রথম তারের উপর প্রযুক্ত বল, \(F = mg = 0.05 \times 9.8 = 0.49\) N।
তারের প্রস্থচ্ছেদ, \(A_1 = \pi \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{2 \times 10^{-3}}{2}\right)^2 = \pi (1 \times 10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6}\) m\(^2\)।

প্রথম তারের পীড়ন, \(\sigma_1 = \frac{F}{A_1} = \frac{0.49}{\pi \times 10^{-6}}\) N/m\(^2\)।
প্রথম তারের ইয়ং এর গুণাঙ্ক \(Y = 2 \times 10^{11}\) Nm\(^{-2}\) (উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত)।
আমরা জানি, ইয়ং এর গুণাঙ্ক \(Y = \frac{\text{পীড়ন}}{\text{বিকৃতি}}\) সুতরাং, বিকৃতি, \(\varepsilon_1 = \frac{\sigma_1}{Y} = \frac{0.49}{\pi \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{11}}\)।
এখন, প্রথম তারের একক আয়তনে স্থিতিশক্তি, \(U_{v1} = \frac{1}{2} \times \sigma_1 \times \varepsilon_1\)
\[ U_{v1} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{0.49}{\pi \times 10^{-6}} \right) \times \left( \frac{0.49}{\pi \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{11}} \right) \] \[ U_{v1} = \frac{(0.49)^2}{4 \pi^2 \times 10^{-12} \times 10^{11}} \] \[ U_{v1} = \frac{0.2401}{4 \pi^2 \times 10^{-1}} \] \[ U_{v1} = \frac{0.2401}{4 \times (3.14159)^2 \times 0.1} \] \[ U_{v1} = \frac{0.2401}{3.94784} \] \[ U_{v1} \approx 0.06082 \]
সুতরাং, প্রথম তারটির একক আয়তনে স্থিতিশক্তি প্রায় \(0.06082\) Jm\(^{-3}\)।

একটি সরল দোলকের দোলনকাল তার কার্যকর দৈর্ঘ্যের বর্গমূলের সমানুপাতিক। যখন একটি তারের সাহায্যে কোনো ভর ঝুলিয়ে সরল দোলক তৈরি করা হয়, তখন তারের স্থিতিস্থাপকতার কারণে ভরটি ঝোলানোর পর তারের দৈর্ঘ্য কিছুটা বৃদ্ধি পায়। এই বর্ধিত দৈর্ঘ্য দোলকের কার্যকর দৈর্ঘ্যে অবদান রাখে। যে তারের দৈর্ঘ্য যত বেশি বৃদ্ধি পাবে, তার কার্যকর দৈর্ঘ্য তত বেশি হবে এবং ফলস্বরূপ তার দোলনকালও তত বেশি হবে। দোলনকাল বেশি হলে দোলকটি ধীরে চলবে।

উদ্দীপকে উল্লিখিত তার দুটির দৈর্ঘ্য (L) 1 m, ঝুলানো ভরের পরিমাণ (m) 0.05 kg এবং উপাদানের ইয়ং এর গুণাঙ্ক (Y) \(2 \times 10^{11} \text{ Nm}^{-2}\) উভয় তারের জন্য একই। তার দুটির ব্যাস যথাক্রমে \(d_1 = 2 \text{ mm}\) এবং \(d_2 = 4 \text{ mm}\)। তারের প্রসারণ (\(\Delta L\)) ইয়ং এর গুণাঙ্ক সূত্রানুসারে নিম্নরূপ:
\(\Delta L = \frac{FL}{AY}\)
যেখানে F হলো তারে প্রযুক্ত বল (\(mg\)), A হলো তারের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল এবং Y হলো ইয়ং এর গুণাঙ্ক।
প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল \(A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2\)।
সুতরাং, \(\Delta L = \frac{mgL}{\pi (d/2)^2 Y} = \frac{4mgL}{\pi d^2 Y}\)
দেখা যাচ্ছে যে, প্রসারণ \(\Delta L\) তারের ব্যাসের বর্গ (\(d^2\)) এর ব্যস্তানুপাতিক। অর্থাৎ, যার ব্যাস কম, তার প্রসারণ বেশি হবে।
দোলকের কার্যকর দৈর্ঘ্য হবে \(L_{eff} = L + \Delta L\)।
দোলনকাল \(T = 2\pi \sqrt{\frac{L_{eff}}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{L + \Delta L}{g}}\)
এই সূত্রানুসারে, যার \(\Delta L\) বেশি হবে, তার \(L_{eff}\) বেশি হবে এবং দোলনকাল \(T\)ও বেশি হবে, যার ফলে দোলকটি ধীরে চলবে।

গাণিতিক বিশ্লেষণ:
দেওয়া আছে,
তারের দৈর্ঘ্য, \(L = 1 \text{ m}\)
ঝুলানো ভর, \(m = 0.05 \text{ kg}\)
ইয়ং এর গুণাঙ্ক, \(Y = 2 \times 10^{11} \text{ Nm}^{-2}\)
অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g = 9.8 \text{ ms}^{-2}\)

প্রথম তারের জন্য (\(d_1 = 2 \text{ mm} = 2 \times 10^{-3} \text{ m}\)):
ব্যাসার্ধ, \(r_1 = 1 \times 10^{-3} \text{ m}\)
প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল, \(A_1 = \pi r_1^2 = \pi (1 \times 10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6} \text{ m}^2 \approx 3.14159 \times 10^{-6} \text{ m}^2\)
দৈর্ঘ্য প্রসারণ, \(\Delta L_1 = \frac{mgL}{A_1Y} = \frac{0.05 \times 9.8 \times 1}{3.14159 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{11}} = \frac{0.49}{6.28318 \times 10^5} \approx 7.7987 \times 10^{-7} \text{ m}\)
কার্যকর দৈর্ঘ্য, \(L_{eff1} = L + \Delta L_1 = 1 + 7.7987 \times 10^{-7} = 1.00000077987 \text{ m}\)
দোলনকাল, \(T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L_{eff1}}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{1.00000077987}{9.8}} \approx 2\pi \times 0.31943834 \approx 2.00700078 \text{ s}\)

দ্বিতীয় তারের জন্য (\(d_2 = 4 \text{ mm} = 4 \times 10^{-3} \text{ m}\)):
ব্যাসার্ধ, \(r_2 = 2 \times 10^{-3} \text{ m}\)
প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল, \(A_2 = \pi r_2^2 = \pi (2 \times 10^{-3})^2 = 4\pi \times 10^{-6} \text{ m}^2 \approx 12.56636 \times 10^{-6} \text{ m}^2\)
দৈর্ঘ্য প্রসারণ, \(\Delta L_2 = \frac{mgL}{A_2Y} = \frac{0.05 \times 9.8 \times 1}{12.56636 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{11}} = \frac{0.49}{2.513272 \times 10^6} \approx 1.9497 \times 10^{-7} \text{ m}\)
কার্যকর দৈর্ঘ্য, \(L_{eff2} = L + \Delta L_2 = 1 + 1.9497 \times 10^{-7} = 1.00000019497 \text{ m}\)
দোলনকাল, \(T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L_{eff2}}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{1.00000019497}{9.8}} \approx 2\pi \times 0.31943824 \approx 2.00700016 \text{ s}\)

দেখা যাচ্ছে যে, \(T_1 \approx 2.00700078 \text{ s}\) এবং \(T_2 \approx 2.00700016 \text{ s}\)।
সুতরাং, \(T_1 > T_2\)।

গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যাচ্ছে যে, 2 mm ব্যাসের তারের দোলনকাল 4 mm ব্যাসের তারের দোলনকালের চেয়ে বেশি। অর্থাৎ, প্রথম তারের তৈরি দোলকটি ধীরে চলবে। এর কারণ হলো, তারের ব্যাস কম হলে তার প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল কম হয়, ফলে একই বল প্রয়োগে তারের প্রসারণ বেশি হয়। প্রসারণ বেশি হওয়ায় দোলকের কার্যকর দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পায় এবং দোলনকালও বৃদ্ধি পায়, যার ফলে এটি ধীরে চলে।