সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

দেওয়া আছে , $f\left(x\right)=x^4+5x-3$

                                    $\therefore$ $f\left(\frac{1}{3}\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^4+5\left(\frac{1}{3}\right)-3$

                                               $=\frac{ 1}{ 81} + \frac{5}{ 3} - 3 = \frac{1 + 135 - 243}{81} = \frac{- 107}{81}$

নির্ণেয় মান: $\frac{-107}{81}$

এখানে, $U=(x:x \in N$ এবং $x$ বিজোড় সংখ্যা।}

                  $= \{1, 3, 5, 7, 9, 12,13,.........\}$

                   $A= (x:x\in N$এবং $2\le x7\}$

                   $A=\{3,5,7\}$ যেহেতু সকল সেট সার্বিক সেট U এর উপসেট ]

                    $B=\{x:x\in N$ এবং $3 <x<8\}$

                    $\therefore B = \{5,7\}$

     এবং $C=\{x:x\in N:x²>5$ এবং $x^{3 }< 130\}$

অর্থাৎ যে সকল বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ 5 অপেক্ষা বড় এবং ঘন 130 অপেক্ষা ছোট তাদের সেট। 

এখানে, N = {1, 2, 3, 4, .....…} 

$f\left(y\right) = \frac{y³ - 3y² + 1}{y\left(1-y\right)}$ যেখানে , $y \ne 0, 1$

          $$\begin{gathered} f\left(2\right)=\frac{{\left(2\right)}^3-3\times {\left(2\right)}^2+1}{2 \left(1-2\right)} \\ =\frac{8-3\times 4+1}{2\times \left(-1\right)} \\ =\frac{9-12}{-2}=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2} \end{gathered}$$     নির্ণেয় মান: $\frac{3}{2}$

দেওয়া আছে, C = {1, 3, 5}

              এবং D = {2, 4, 7}

প্রশ্নানুসারে , অন্বয় S= $\{(x,y):x\in C,y\in D$ এবং $2x+y<1,0$

এখানে, $C\times D=\{1,3,5\}\times \{2,4,7\}$

                           $= (1,2),(1,4),(1,7),(3,2)/(3,4),(3,7),(5,4), (5,4), (5, 7)\}$

                      $\therefore S=\left\{\right(1,2),(1,4),(1,7),(3,2\left)\right\}$

S অন্বয়ের ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানসমূহ 1, 1, 1, 3

∴ ডোমেন, S = {1, 3}

দেওয়া আছে, P = {2,3, 5, 7, 11, 13}

P সেটের উপাদানসমূহ 2, 3, 5, 7, 11, 13  

এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান স্বাভাবিক মৌলিক সংখ্যা যা 2 এর সমান

বা তার চেয়ে বড় এবং 13 এর সমান বা তার চেয়ে ছোট

$\therefore P=\{x\in N:x$ মৌলিক সংখ্যা এবং $2\le x\le 13\}$

দেওয়া আছে, $S=\left\{\left(x,y\right)\right\}:x,y\in A$ এবং  $\{x+y+2=0\}$ যেখানে $A=\{-2,-1,0,1,2\}$

        S এ বর্ণিত শর্ত থেকে পাই, $x + y + 2 = 0$

        বা, $y = - x - 2$

এখন, প্রত্যেক $x\in A$ এর জন্য $y = - x - 2$ এর মান নির্ণয় করি:

যেহেতু -3,-4$\notin$ A

সেহেতু (1, - 3), (2, - 4)$\notin$ S

$\therefore S=\left\{\right(-2,0),(-1,-1),(0,-2\left)\right\}$

$\therefore$  ডোমেন $S=\{-2,-1,0\}$ এবং রেঞ্জ $S=\{-2,-1,0\}$

দেওয়া আছে, $f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x^4+x^2-1}{x^3-x}$

           $\therefore f\left(\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{x}}}\right)=\frac{{\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^4+{\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^2-1}{{\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^3-{\displaystyle \frac{1}{x}}}$

বা  ,$f\left(x\right)=\frac{{\displaystyle \frac{1}{x^4}}+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}-1}{{\displaystyle \frac{1}{x^3}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}}=\frac{{\displaystyle \frac{1+x^2-x^4}{x^4}}}{{\displaystyle \frac{1-x^2}{x^3}}}$

$=\frac{1+x^2-x^4}{x^4}\times \frac{x^3}{1-x^2}=\frac{1+x^2-x^4}{x(1-x^2}=\frac{1+x^2-x^4}{x-x^3}$

$\therefore f\left(x\right)=\frac{1+x^2-x^4}{x-x^3}$

প্রদত্ত রাশি, $=\frac{f\left(x\right)+1}{f\left(x\right)-2}=\frac{{\displaystyle \frac{1+x^2-x^4}{x-x^3}}+1}{{\displaystyle \frac{1+x^2-x^4}{x-x^3}}-2}$

$=\frac{{\displaystyle \frac{1+x^2-x^4+x-x^3}{x-x^3}}}{{\displaystyle \frac{1+x^2-x4-2x+2x^3}{x-x^3}}}$

নির্ণেয় মানঃ $\frac{1+x+x^2-x^3-x^4}{1-2x+x^2+2x^3-x^4}$

দেওয়া আছে , $f\left(x\right)=x^3-6x^2+11x-6$

$\therefore f\left(2\right)=2^3-6(2{)}^2+11\times 2-6$

$=8-24+22-6=30-30-0$

এবং $f\left(3\right)=(3{)}^3-6(3{)}^2+11\times 3-6$

                  $=27-54+33-6=60-60=0$

                  $\therefore f\left(2\right) = f\left(3\right)$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^3-6x^2+11x-6$

এখন, $f\left(x\right) = 0$

বা, $x^3-6x^2+11x-6=0$

বা $x^3-x^2-5x^2+5x+6x-6=0$

বা $x^2(x-1)-5x(x-1)+6(x-1)=0$

বা, $(x-1)(x^2-5x+6)=0$

বা, $(x-1)(x^2-2x-3x+6)=0$

বা, $(x-1)\left\{x\right(x-2)-3(x-2\left)\right\}=0$

বা, $(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0$

হয়, $x - 1 = 0$

$\therefore x = 1$                      অথবা, $x - 2 = 0$                         অথবা, $x - 3 = 0$

                                                        $\therefore x = 2$                                             x = 3

অতএব, x এর মান 1 বা 2 বা 3 এরূ জন্য f(x) = 0 হবে।

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=\frac{1+x^2+x^4}{x^2}$

       $\therefore g\left(y^{-2}\right)=\frac{(1+(y^{-2}{)}^2+(y^{-2}{)}^4}{(y^{-2}{)}^2}$

      $=\frac{1+y^{-4}+y^{-8}}{y^{-4}}=\frac{1+{\displaystyle \frac{1}{y^4}}+{\displaystyle \frac{1}{y^8}}}{{\displaystyle \frac{1}{y^4}}}=\frac{{\displaystyle \frac{y^8+y^4+1}{y^8}}}{{\displaystyle \frac{1}{y^4}}}$

$=\frac{1+y^4+y^8}{y^8}\times \frac{y^4}{1}=\frac{1+y^4+y^8}{y^4}$

আবার, $g\left(y^2\right)=\frac{(1+(y^2{)}^2+\left(y^2{)}^4\right)}{(y^2{)}^2}=\frac{1+y^4+y^8}{y^4}$

$\therefore g\left(y^{-2}\right)=g\left(y^2\right)$  (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, A = {2, 3, 4} এবং B = {4, 6, 9}

$A\times B=\{2,3,4\}\times \{4,6,9\}$

$= (2,4),(2,6),(2,9),(3,4),(3,6),(3,9),(4,4),(4, 6),.(4, 9)\}$

∴ নির্ণেয় মান : A$\times$B= (2, 4), (2, 6), (2, 9), (3, 4) ,(3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 6), (4, 9)

প্রশ্নানুসারে, অন্বয়টি , $R= (x,y):x\in A,y\in B$ এবং $x^2=y\}$

ক-হতে প্রাপ্ত , $A\times B= (2,4),(2,6),(2,9),(3,4),(3,6),(3, 9), (4, 4), (4, 6), (4, 9)\}$

∴ প্রদত্ত সম্পর্ক অনুসারে R = {(2, 4), (3, 9)}

দেওয়া আছে, A = {2, 3, 4} এবং C = {3, 6, 7}

$\therefore$ $A\times C=\{2,3,4\}\times \{3,6,7\}$

                      $= \left\{\right(2, 3), (2, 6), (2, 7), (3, 3), (3, 6),(3, 7), (4, 3), (4, 6), (4, 2)$

প্রশ্নানুসারে,

                 অন্বয়টি, $R = \left\{\right(x, y): x \in A,y\in C$ এবং $x \le y\}$

∴ প্রদত্ত সম্পর্ক অনুসারে $R= (2,3),(2,6),(2,7),(3, 3), (3, 6); (3, 7), (4, 6), (4, 7)\}$

এখানে, $f\left(x\right) = \frac{3x + 2}{3x - 2}$

$\therefore f\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{3\left(-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)+2}{3\left(-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)-2}=\frac{-2+2}{-2-2}=\frac{0}{-4}=0$

নির্ণেয় মান 0.

এখানে, $f\left(x\right) = \frac{3x + 2}{3x - 2}$

              $\therefore f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3 {\displaystyle \frac{1}{x }}+ 2}{3 {\displaystyle \frac{1}{x}} - 2} =\frac{ {\displaystyle \frac{3}{x}}+ 2}{({\displaystyle \frac{3}{x }}- 2}$

বা, $\frac{f\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)+ 1 }{f\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right) - 1}= \frac{({\displaystyle \frac{3}{x}}+ 2 + {\displaystyle \frac{3}{x}}- 2)}{{\displaystyle \frac{3}{x }}+ 2 - {\displaystyle \frac{3}{x}}+ 2)}$

নির্ণেয় মান $\frac{3}{2x}$

এখানে, $g\left(x\right)=x^4+9x^2+11kx+6k$

$\therefore g(-1)=(-1{)}^4+9*(-1{)}^2+11k(-1)+6k$

                        $= 1 + 9 - 11k + 6k = 10 - 5k$

এখন, $g(- 1) = 0$

$\therefore 10 - 5k = 0$

বা, $k = \frac{10}{5}= 2$

অর্থাৎ $k = 2$ হলে $g(- 1) = 0$ হবে।

দেওয়া আছে, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

                        $B=\{x\in N:x$ জোড় সংখ্যা এবং $x<7$ }

অর্থাৎ যেসব স্বাভাবিক জোড় সংখ্যা 7 অপেক্ষা ছোট, তাদের সেট। 7 অপেক্ষা ছোট স্বাভাবিক জোড় সংখ্যাসমূহ হচ্ছে 2, 4, 6.

∴ B = {2, 4, 6}

দেওয়া আছে, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

$A=\{x\in N:x$ মৌলিক সংখ্যা এবং $x\le 7\}$

অর্থাৎ যেসব স্বাভাবিক মৌলিক সংখ্যা 7 এর সমান বা ছোট, তাদের সেট। 7 এর সমান বা ছোট স্বাভাবিক মৌলিক সংখ্যাসমূহ হচ্ছে 2, 3, 5, 7.

$\therefore A=\{2,3,5,7\}$

ক হতে প্রাপ্ত, B = {2, 4, 6}

এখন , $A\cup B=\left\{ 2,3,5,7\right\} \cup \{2,4,6\}=\{2,3,4,5,6,7\}$

$A\text{'}=U-A=\{1,2,3,4,5,6,7\}-\{2,3,5,7\}=\{1,4,6\}$

এবং, $B\text{'}=U-B=\{1,2,3,4,5,6,7\}-\{2,4,6\}=\{1,3,5,7\}$

বামপক্ষ= $=\left(AB\right)\text{'}=U-\left(AUB\right)$

                   $=\{1,2,3,4,5,6,7\}-\{2,3,4,5,6,7\}=\left\{1\right\}$

ডানপক্ষ= $A\text{'}\cap B\text{'}= \left\{1,4,6 \right\}\cap \{1,3,5,7\}=\left\{1\right\}$

$\therefore \left(AUB\right)\text{'} = A\text{'}\cap B\text{'}.$(দেখানো হলো)

খ-হতে প্রাপ্ত, A = {2, 3, 5, 7}

ক-হতে প্রাপ্ত, B = {2, 4, 6}

শর্তানুসারে, অন্বয়  $R=\{(x,y):x\in A,y \in B$ এবং $y=x+1\}$

এখানে, $A\times B=\{2,3,5,7\}\times \{2,4,6\}$

                          $= (2,2),(2,4),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4);(5;6),(7,2)(7,4),(7,6)$

$\therefore R=\left\{\right(3,4),(5,6\left)\right\}$

নির্ণেয় অন্বয়: $\left\{\right(3, 4), (5, 6\left)\right\}$

$7.\dot{3}$$\dot{2}$ $=\frac{732-7}{99}=\frac{725}{99}$

$0.2\dot{7}$$=\frac{27-2}{90}=\frac{25}{90}=\frac{5}{18}$

$7.\dot{3}\dot{2}÷0.2\dot{7} =\frac{725}{99}÷\frac{5}{18}=\frac{725}{99}\times \frac{18}{5}=\frac{290}{11}=26.\dot{3}\dot{6 }$

নির্ণেয় ভাগফল : $26.\dot{3} \dot{6}$