১ম উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, $(q-r).{\log }_k\left(a\right)+(r-p) lo{g}_{k}b+(p-q){\log }_{k}c=0$

দেওয়া আছে,

$x^4=y^2............. \left(i\right)$

এবং  $x=2y............ \left(ii\right)$

ii) নং থেকে x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$(2y{)}^y=y^{2y}$

$$\begin{gathered} 2^y. y^y=y^{2y} \\ \frac{y^{2y}}{y^y}=2^y \\ {y}^{2y-y}=2^y \\ {y}^y=2^y \\ y=2 \end{gathered}$$

y = 2 এর খান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

$x = 2 \times 2 = 4$

নির্ণেয় সমাধান: (x, y) = (4, 2)

দেওয়া আছে,

$$\begin{gathered} 3^x=9^y \\ {3}^x=3^{2y} \\ x=2y \end{gathered}$$

$2^x+3^y=11............ \left(i\right)$

এবং  $2^x-3^y=-7.........\left(ii\right)$

(i) নং ও (ii) নং যোগ করে পাই,  $2. 2^x-4$

$2^{1+x}=4$

$$\begin{gathered} 2^{1+x}=2^2 \\ 1+x=2 \end{gathered}$$

x = 2 - 1 = 1

(i) নং এ x = 1 বসিয়ে পাই  $2^1+3^y=11$

$3^y=11-2=9$

$3^y=3^2$

$y = 2$

নির্ণেয় (x, y) = (1, 2)

দেওয়া আছে,

$7^{3y-1}={\left(\sqrt[3]{343}\right)}^{y-1}$

$7^{3y-1}=\left\{{\left(343\right)}^{\frac{1}{3}}\right\}{ }^{y-1}$

$7^{3y-1}=7^{y-1}$

$3y - 1 = y - 1$

$2y = 0$

$y = 0$

নির্ণেয় মান, y = 0

মনে করি, দশক স্থানীয় অঙ্ক × এবং একক স্থানীয় অঙ্ক y।

সংখ্যাটি = 10x + y

প্রথম শর্তমতে,

$\frac{10x+y}{x+y}=8$

$10x+y=8x+8y$

$2x - 7y = 0.............\left(1\right)$

দ্বিতীয় শর্তমতে,

$10x +y-45 =10y+x$

$9x-9y-45=0$

$x - y- 5=0$

$y = x - 5........... \left(2\right)$

সমীকরণ (1) এ y = x - 5 বসিয়ে পাই,

$$\begin{gathered} 2x - 7x + 35 = 0 \\ - 5x =- 35 \\ x=\frac{-35}{-5} \\ =7 \end{gathered}$$

x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে,

y = 7.5 = 2

y = 2

সংখ্যাটি = 10 $\times$ 7 + 2

= 70+2

= 72

নির্ণেয় সংখ্যাটি 72.

দেওয়া আছে, a = 2b এবং a^b = b^a

এখন, a^b = b^a

(2b)^b = b^2b

2b = b²

b² = - 2b = 0

b(b - 2) = 0

হয়, b $\ne$0

কারণ, b > 0

অথবা, b - 2 = 0

b = 2

b = 2 হলে, a = 2 $\times$ 2 = 4

নির্ণেয় (a, b) = (4, 2)