৩২৫ কে দুইটি ভিন্ন উপায়ে দুইটি বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ কর।

৪ ক্রমের ম্যাজিক বর্গ গঠন করা হলো:

প্রাপ্ত পার্থক্যগুলো লক্ষ্য করলে দেখা যায় ১ এর স্থানে ২ এবং ৩ এর স্থানে ২ হলে, পার্থক্যসমূহ সমান হতো এবং প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর একটি প্যাটার্ন, পাওয়া যেত। এক্ষেত্রে ৮ এর স্থানে সংখ্যাটি হবে (৭ + ২) বা ৯ এবং অন্যান্য সংখ্যাগুলো অপরিবর্তিত থাকবে।
$\therefore$উপযুক্ত সংখ্যাটি = ৯
অর্থাৎ ৮ এর পরিবর্তে উপযুক্ত সংখ্যা ৯ বসালে প্যাটার্নটি হবে:
৩, ৫, ৭, ৯, ১১, ১৩।

লক্ষ করি, প্রতিবার পার্থক্য ২ করে বাড়ছে।
$\therefore$প্যাটার্নটির ১ম পদ = ৩ = ২ × ১ + ১
২য় পদ = ৫ = ২ × ২ + ১
৩য় পদ = ৭ = ২ × ৩ + ১
৪র্থ পদ = ৯ = ২ × ৪ + ১
……………………………………………………..
একইভাবে, ক-তম পদ = ২ × ক + ১
= ২ক + ১
$\therefore$প্যাটার্নটির সংখ্যাগুলোকে (২ক + ১) বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা প্রকাশ করা যায়।
অতএব, প্রাপ্ত প্যাটার্নটি (২ক + ১) বীজগণিতীয় রাশিকে সমর্থন করে।

লক্ষ করি, প্রতিবার পার্থক্য ৫।
$\therefore$তালিকার পরবর্তী দুইটি সংখ্যা হবে যথাক্রমে ২৬ + ৫ = ৩১
এবং ৩১ + ৫ = ৩৬
পরবর্তী সংখ্যা দুইটির জ্যামিতিক প্যাটার্ন সমান দৈর্ঘ্যের রেখাংশ দ্বারা অঙ্কন করা হলো:

তালিকার ১ম সংখ্যা = ৬ = ৫ × ১ + ১
২য় সংখ্যা = ১১ = ৫ × ২ + ১
৩য় সংখ্যা = ১৬ = ৫× ৩ + ১
৪র্থ সংখ্যা = ২১ = ৫ × ৪ + ১
একইভাবে, ক-তম সংখ্যা = ৫ × ক + ১ = ৫ক + ১
$\therefore$তালিকার বীজগণিতীয় রাশি = ৫ক + ১
তালিকার ৫৫তম সংখ্যা = ৫ × ৫৫ + ১ = ২৭৫ + ১ = ২৭৬
এখন, তালিকার প্রথম ৫৫টি সংখ্যার সমষ্টি = ৬ + ১১ + ১৬+২১+২৬+ …………. + ২৭৬
এখানে, ১ম সংখ্যা = ৬, শেষ সংখ্যা ২৭৬ এবং পদ সংখ্যা = ৫৫
সমষ্টি = (১ম সংখ্যা + শেষ সংখ্যা) × পদ সংখ্যা / ২

$=\frac{\left(৬+২৭৬\right)\times ৫৫}{২}=\frac{২৮২\times ৫৫}{২}=৭৭৫৫$
$\therefore$তালিকার প্রথম ৫৫টি সংখ্যার সমষ্টি ৭৭৫৫ ।

(ক^২ + ৩) দ্বারা প্রকাশিত বীজগাণিতিক রাশির
৪র্থ পদ = ৪^২ + ৩ = ১৬ + ৩ = ১৯
৫ম পদ = ৫^২ + ৩ = ২৫ + ৩ = ২৮
$\therefore$(ক^২ + ৩) বীজগাণিতিক রাশিটির ৪র্থ ও ৫ম পদের পার্থক্য = ২৮ - ১৯ = ৯
নির্ণেয় ক^২ + ৩ বীজগাণিতিক রাশির ৪র্থ ও ৫ম পদের পার্থক্য ৯।