৩। তাসকিম স্যার শ্রেণিকক্ষে ICT বিষয়ের সংখ্যা পদ্ধতি নিয়ে আলোচনা করছিলেন। ক্লাসের এক পর্যায়ে স্যার সোহেল ও রোহানকে জিজ্ঞেস করলেন তোমরা ১ম সাময়িক পরীক্ষায় ICT বিষয়ে কত নম্বর পেয়েছিলে? সোহেল বলল ${\left(105\right)}_8$ এবং রোহান বলল ${\left(4\mathrm{F}\right)}_{16}$ পিছনে বসে থাকা মিতা বলল স্যার আমিতো ${\left(100111\right)}_2$ নম্বর পেয়েছি। 

বাইনারি (Binary) শব্দটি 'bi' থেকে এসেছে, যার অর্থ দুই। এই সংখ্যা পদ্ধতিতে দুটি প্রতীক বা অঙ্ক (০ এবং ১) ব্যবহার করা হয়, তাই এর বেজ বা ভিত্তি হলো ২। কম্পিউটার এবং অন্যান্য ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্স ডিভাইস বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতি ব্যবহার করে কাজ করে কারণ এর মাধ্যমে ইলেক্ট্রনিক সিগন্যালকে সহজে অন (১) এবং অফ (০) অবস্থায় প্রকাশ করা যায়।

এটি একটি পজিশনাল (Positional) সংখ্যা পদ্ধতি, যেখানে প্রতিটি অঙ্কের মান তার অবস্থানের উপর ভিত্তি করে পরিবর্তিত হয়। বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতির মাধ্যমে সকল প্রকার ডেটা যেমন - টেক্সট, ছবি, অডিও, ভিডিও ইত্যাদি কম্পিউটারে উপস্থাপন ও প্রক্রিয়া করা হয়।

6 + 5 + 3 = 1110 সমীকরণটি বাইনারি (Binary) সংখ্যা পদ্ধতিতে সত্য হতে পারে। এখানে 1110 একটি বাইনারি সংখ্যা, যার দশমিক (Decimal) মান হলো ১৪। এই সমীকরণটি সাধারণ দশমিক গণিতের ব্যতিক্রম, যা নির্দেশ করে যে এখানে ভিন্ন একটি সংখ্যা পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়েছে।

যখন আমরা এই দশমিক সংখ্যাগুলোকে বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতিতে যোগ করি, তখন তাদের ফলাফল বাইনারি 1110 হয়। এর কারণ হলো, দশমিক সংখ্যাগুলোর যোগফল 14 এবং তার বাইনারি সমতুল্য 1110।

প্রথমে দশমিক সংখ্যাগুলোকে বাইনারিতে রূপান্তর করা যাক:

\(6_{10} = 110_2\)

\(5_{10} = 101_2\)

\(3_{10} = 011_2\)

এবার বাইনারি যোগ করা যাক:

      \(110_2\)

      \(101_2\)

\(+ \ 011_2\)

\(\overline{\ \ \ \ 1110_2}\)

সুতরাং, `6 + 5 + 3 = 1110` সমীকরণটি বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতিতে সম্পূর্ণ সঠিক।

বাইনারি সংখ্যা \(100111_2\) কে দশমিকে রূপান্তর করলে তার মান হবে \(39_{10}\)। বাইনারি সংখ্যাকে দশমিকে রূপান্তরের জন্য সংখ্যাটির প্রতিটি অঙ্ককে তার স্থানীয় মান (২ এর ঘাত) দ্বারা গুণ করে প্রাপ্ত গুণফলগুলোকে যোগ করতে হয়।

যেকোনো ভিত্তির একটি সংখ্যাকে দশমিক সংখ্যায় রূপান্তরের ক্ষেত্রে ঐ সংখ্যার প্রতিটি অঙ্কের সাথে তার নিজ নিজ স্থানীয় মান গুণ করে প্রাপ্ত গুণফলগুলোর সমষ্টি নির্ণয় করতে হয়। বাইনারি সংখ্যার ক্ষেত্রে স্থানীয় মান ২ এর ঘাত হিসেবে বিবেচিত হয়, যা ডান দিক থেকে বাম দিকে \(2^0, 2^1, 2^2, \ldots\) এভাবে বৃদ্ধি পায়।

উদ্দীপকে মিতার প্রাপ্ত নম্বরটি হলো \(100111_2\)। এই বাইনারি নম্বরটিকে দশমিকে রূপান্তর করতে হলে, এর প্রতিটি বিটকে (অঙ্ক) ২-এর উপযুক্ত ঘাত দ্বারা গুণ করে যোগ করতে হবে, যেমন:

\(100111_2 = 1 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0\)
\( = 1 \times 32 + 0 \times 16 + 0 \times 8 + 1 \times 4 + 1 \times 2 + 1 \times 1\)
\( = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1\)
\( = 39_{10}\)

সুতরাং, দশমিকে মিতার প্রাপ্ত নম্বর হলো ৩৯।

হ্যাঁ, সোহেল ও রোহানের প্রাপ্ত নম্বরের মধ্যে পার্থক্য যোগের মাধ্যমে নির্ণয় করা সম্ভব। কম্পিউটারে বিয়োগ প্রক্রিয়া সরাসরি না হয়ে যোগের মাধ্যমে সম্পন্ন হয়, বিশেষ করে দুইয়ের পরিপূরক পদ্ধতি (2's Complement Method) ব্যবহার করে। এই পদ্ধতিতে একটি ধনাত্মক সংখ্যার ঋণাত্মক মানকে তার দুইয়ের পরিপূরকে রূপান্তর করে যোগ করা হয়, যা বিয়োগফলের সমতুল্য ফলাফল দেয়।

উদ্দীপক অনুসারে, সোহেলের প্রাপ্ত নম্বর \(105_8\) এবং রোহানের প্রাপ্ত নম্বর \(4F_{16}\)। পার্থক্য নির্ণয়ের জন্য প্রথমে সংখ্যা দুটিকে একই ভিত্তি, যেমন দশমিক বা বাইনারিতে রূপান্তর করতে হবে।

    
• সোহেলের নম্বর (অক্টাল থেকে দশমিকে): \(105_8 = 1 \times 8^2 + 0 \times 8^1 + 5 \times 8^0 = 64 + 0 + 5 = 69_{10}\)
    
• রোহানের নম্বর (হেক্সাডেসিমাল থেকে দশমিকে): \(4F_{16} = 4 \times 16^1 + F \times 16^0 = 4 \times 16 + 15 \times 1 = 64 + 15 = 79_{10}\)

সোহেল ও রোহানের নম্বরের পার্থক্য হলো \(79 - 69 = 10_{10}\)। এই পার্থক্য যোগের মাধ্যমে নির্ণয় করতে, আমরা \(79 + (-69)\) হিসাব করব। এর জন্য, \(69_{10}\) সংখ্যাটির দুইয়ের পরিপূরক বের করে \(79_{10}\) এর সাথে যোগ করতে হবে। ৮-বিট রেজিস্টার ধরে পাই:

    
• \(79_{10} = 01001111_2\)
    
• \(69_{10} = 01000101_2\)
    
• \(69_{10}\) এর একের পরিপূরক (1's complement): \(10111010_2\)
    
• \(69_{10}\) এর দুইয়ের পরিপূরক (2's complement): \(10111010_2 + 1 = 10111011_2\)

এখন, \(79_{10}\) এর বাইনারি রূপের সাথে \(69_{10}\) এর দুইয়ের পরিপূরক যোগ করে পাই:

    \(01001111_2\) (রোহানের নম্বর)
+  \(10111011_2\) (সোহেলের নম্বরের দুইয়ের পরিপূরক)
------------------
 \(100001010_2\)

এখানে সর্বোচ্চ বিটে একটি ক্যারি বিট (9ম বিট) উৎপন্ন হয়েছে, যা বিয়োগফলটি ধনাত্মক নির্দেশ করে এবং এটি সাধারণত বাতিল করা হয়। অবশিষ্ট ৮-বিট ফলাফল হলো \(00001010_2\)। এই বাইনারি সংখ্যাটিকে দশমিকে রূপান্তর করলে \(2^3 + 2^1 = 8 + 2 = 10_{10}\) পাওয়া যায়, যা সরাসরি বিয়োগফলের (৭৯ - ৬৯ = ১০) সমান।

সুতরাং, কম্পিউটারের সংখ্যা পদ্ধতি ও যুক্তিবিদ্যায় (digital logic) বিয়োগের কাজ যোগের মাধ্যমে অত্যন্ত দক্ষতার সাথে সম্পন্ন করা হয়। এটি সিস্টেমের জটিলতা কমায় এবং হার্ডওয়্যারের বাস্তবায়ন সহজ করে। তাই, সোহেল ও রোহানের প্রাপ্ত নম্বরের মধ্যে পার্থক্য যোগের মাধ্যমে নির্ণয় করা সম্পূর্ণরূপে সম্ভব এবং ডিজিটাল সিস্টেমে এটিই আদর্শ পদ্ধতি হিসেবে বিবেচিত।