(0,-3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যার x-অক্ষের ছেদ অংশ 4।

    উদ্দীপকে প্রদত্ত (i) নং রেখা ও (iii) নং বৃত্তের ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয়ের জন্য, আমরা প্রথমে একটি সাধারণ সূত্র ব্যবহার করব। যদি একটি বৃত্তের সমীকরণ \(S=0\) এবং একটি সরলরেখার সমীকরণ \(L=0\) হয়, তবে তাদের ছেদবিন্দুগামী যেকোনো বৃত্তের সমীকরণ হবে \(S + kL = 0\), যেখানে \(k\) একটি ধ্রুবক।

    দেওয়া আছে,     
    (iii) নং বৃত্তের সমীকরণ: $x^2+y^2-1=0$     
    (i) নং রেখার সমীকরণ: $5x - 2y - 11 = 0$

    অতএব, (i) নং রেখা ও (iii) নং বৃত্তের ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ হলো:     
    $x^2+y^2-1+k(5x-2y-11)=0$     
    $\Rightarrow x^2+y^2+5kx-2ky-1-11k=0...\left(\mathrm{iv}\right)$

    আমরা জানি, $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ আকারের বৃত্তের কেন্দ্র হয় $(-g,-f)$।     
    (iv) নং সমীকরণকে আদর্শ আকারের সাথে তুলনা করে পাই:     
    $2g=5k\Rightarrow g=\frac{5k}{2}$     
    $2f=-2k\Rightarrow f=-k$     
    সুতরাং, (iv) নং বৃত্তের কেন্দ্র $(-\frac{5k}{2},k)$।

    প্রশ্নমতে, এই বৃত্তের কেন্দ্র (ii) নং রেখার উপর অবস্থিত।     
    (ii) নং রেখার সমীকরণ: $4x - 10y + 13 = 0$     
    কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(-\frac{5k}{2},k)$ (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:     
    $4(-\frac{5k}{2})-10\left(k\right)+13=0$     
    $\Rightarrow -10k-10k+13=0$     
    $\Rightarrow -20k+13=0$     
    $\Rightarrow 20k=13$     
    $\Rightarrow k=\frac{13}{20}$

    এখন, \(k\) এর মান (iv) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:     
    $x^2+y^2+5\left(\frac{13}{20}\right)x-2\left(\frac{13}{20}\right)y-1-11\left(\frac{13}{20}\right)=0$     
    $\Rightarrow x^2+y^2+\frac{13}{4}x-\frac{13}{10}y-1-\frac{143}{20}=0$     
    সমীকরণটিকে 20 দ্বারা গুণ করে পাই:     
    $20x^2+20y^2+65x-26y-20-143=0$     
    $\Rightarrow 20x^2+20y^2+65x-26y-163=0$

    সুতরাং, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ হলো $20x^2+20y^2+65x-26y-163=0$।