(1, 1) বিন্দু হতে $3\sqrt{5}$ একক দূরত্বে AB এর সমান্তরাল রেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

ধরি, প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি \(A = \begin{bmatrix} p-2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}\)

ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হবে যদি এর নির্ণায়ক (determinant) শূন্য হয়।

ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক,

\(\text{det}(A) = (p-2)(5) - (3)(4)\)

\(= 5(p-2) - 12\)

\(= 5p - 10 - 12\)

\(= 5p - 22\)

ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্সের জন্য,

\(5p - 22 = 0\)

\(5p = 22\)

\(p = \frac{22}{5}\)

দৃশ্যকল্পে প্রদত্ত A(-4, 0) এবং B(0, 4) বিন্দুদ্বয় থেকে C বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করা যাক। যেহেতু C, AB এর মধ্যবিন্দু, C এর স্থানাঙ্ক হবে \( \left(\frac{-4+0}{2}, \frac{0+4}{2}\right) = (-2, 2) \) । এখন, O(0, 0) এবং C(-2, 2) বিন্দুগামী OC সরলরেখার ঢাল হবে \( m_{OC} = \frac{2-0}{-2-0} = \frac{2}{-2} = -1 \) ।

ধরা যাক, নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের ঢাল \( m \) । প্রশ্নমতে, এই রেখাদ্বয় OC রেখার সাথে 45° কোণ উৎপন্ন করে। দুইটি সরলরেখার ঢাল \( m_1 \) ও \( m_2 \) হলে তাদের মধ্যবর্তী কোণ \( \theta \) এর জন্য সূত্রটি হলো: \( \tan\theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| \) । এখানে \( \theta = 45^\circ \), OC রেখার ঢাল \( m_{OC} = -1 \) এবং নির্ণেয় রেখার ঢাল \( m \) ।

সূত্রে মান বসিয়ে পাই: \( \tan 45^\circ = \pm \frac{m - (-1)}{1 + m(-1)} \) \( 1 = \pm \frac{m + 1}{1 - m} \)
প্রথম ক্ষেত্রে (+ চিহ্ন নিয়ে): \( 1 = \frac{m + 1}{1 - m} \) \( 1 - m = m + 1 \) \( 2m = 0 \) \( m_1 = 0 \)
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে (- চিহ্ন নিয়ে), যদি \( 1-m \neq 0 \) হয়: \( -1 = \frac{m + 1}{1 - m} \) \( -(1 - m) = m + 1 \) \( -1 + m = m + 1 \) \( -1 = 1 \), যা অসম্ভব।
এখানে আমাদের বুঝতে হবে যে OC রেখার ঢাল \(-1\) হওয়ায়, এটি X-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(135^\circ\) কোণ উৎপন্ন করে। যদি নির্ণেয় রেখা OC রেখার সাথে \(45^\circ\) কোণ উৎপন্ন করে, তাহলে নির্ণেয় রেখাটি X-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(135^\circ - 45^\circ = 90^\circ\) অথবা \(135^\circ + 45^\circ = 180^\circ\) কোণ উৎপন্ন করবে।
যখন X-অক্ষের সাথে কোণ \(180^\circ\) হয়, তখন ঢাল \( \tan 180^\circ = 0 \) । এটি আমাদের প্রথম ক্ষেত্রে প্রাপ্ত \( m_1=0 \) এর সাথে মিলে যায়। যখন X-অক্ষের সাথে কোণ \(90^\circ\) হয়, তখন ঢাল \( \tan 90^\circ \) অসংজ্ঞায়িত হয়, অর্থাৎ রেখাটি উল্লম্ব।
সুতরাং, একটি রেখার ঢাল \( m_1 = 0 \) এবং অপর রেখাটির ঢাল অসংজ্ঞায়িত।
প্রথম রেখার সমীকরণ (1, -3) বিন্দুগামী ও ঢাল \( m_1 = 0 \): \( y - (-3) = 0 \cdot (x - 1) \) \( y + 3 = 0 \)
দ্বিতীয় রেখাটি (1, -3) বিন্দুগামী এবং উল্লম্ব (ঢাল অসংজ্ঞায়িত): এক্ষেত্রে, রেখাটির সমীকরণ হবে \( x = 1 \) (যেহেতু এটি একটি উল্লম্ব রেখা যা \( x \)-স্থানাঙ্ক 1 দিয়ে যায়)।
অতএব, রেখা দুইটির সমীকরণ হলো \( \mathbf{y + 3 = 0} \) এবং \( \mathbf{x = 1} \) ।