$1^2+2^2+3^2+.......+{10}^2$ = কত?

সমান্তর ধারার প্রথম পদ \( a = 3 \) এবং সাধারণ অন্তর \( d = 4 \) দেয়া আছে।

সমান্তর ধারার প্রথম \( n \) পদসমূহের সমষ্টি (\( S_n \)) নিম্নরূপ নির্ণয় করা হয়:

\[
S_n = \frac{n}{2} \times (2a + (n-1)d)
\]

এখন, \( S_n = 903 \), \( a = 3 \), এবং \( d = 4 \) কে যুক্ত করে আমাদের সমীকরণ হবে:

\[
903 = \frac{n}{2} \times (2 \times 3 + (n-1) \times 4)
\]

এখন এই সমীকরণটি সহজ করা যাক:

\[
903 = \frac{n}{2} \times (6 + 4n - 4)
\]
\[
903 = \frac{n}{2} \times (4n + 2)
\]
\[
903 = \frac{n}{2} \times 2(2n + 1)
\]
\[
903 = n(2n + 1)
\]

এখন উভয়পাশে \( 903 \) কে সমাধান করতে পারি:

\[
2n^2 + n - 903 = 0
\]

এখন আমরা কোয়াড্রাটিক সমীকরণের সূত্র ব্যবহার করব:

\[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

এখানে, \( a = 2 \), \( b = 1 \), \( c = -903 \)।

প্রথমে ডিস্ক্রিমিনেন্ট (\( D \)) বের করি:

\[
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 2 \times (-903) = 1 + 7212 = 7213
\]

এখন \( n \) এর মান বের করি:

\[
n = \frac{-1 \pm \sqrt{7213}}{4}
\]

\( \sqrt{7213} \) এর মান বের করি:

\[
\sqrt{7213} \approx 84.9 \text{ (প্রায়)}
\]

তাহলে,

\[
n = \frac{-1 \pm 84.9}{4}
\]

এখন দুইটি সম্ভাব্য মান বের করতে পারিঃ

1. \( n = \frac{-1 + 84.9}{4} \approx \frac{83.9}{4} \approx 20.975 \)
2. \( n = \frac{-1 - 84.9}{4} \) (এইটি নেতিবাচক হবে, তাই গর্হিত)

সুতরাং, \( n \) কে গাণিতিকভাবে গুণগত হিসেবে নিখুঁত সংখ্যা হিসাবে নিতে হবে, যা 21।

অতএব, \( n \) এর মান হল:

\[
\boxed{21}
\]