$17x^2+18xy-7y^2-16x-32y-18=0$ এর রূপান্তরিত সমীকরণ নির্ণয় করুন, যেখানে x,y এবং xy অনুপস্থিত এবং দুই জায়গাতেই অক্ষদ্বয় আয়তাকার।

স্থানাংক জ্যামিতি (Coordinate Geometry)

জ্যামিতির যে শাখায় বিন্দুর অবস্থান সংখ্যা বা স্থানাংকের সাহায্যে নির্ণয় করা হয় তাকে স্থানাংক জ্যামিতি বলে। এখানে জ্যামিতিক চিত্রকে বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে বিশ্লেষণ করা হয়।

কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থা (Cartesian Coordinate System)

দুটি পরস্পর লম্ব সংখ্যারেখার সাহায্যে সমতলে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্ণয় করা হয়। অনুভূমিক রেখাকে x-অক্ষ এবং উল্লম্ব রেখাকে y-অক্ষ বলা হয়।

x-অক্ষ ও y-অক্ষের ছেদবিন্দুকে মূলবিন্দু (Origin) বলা হয়।

$O(0,0)$

স্থানাংক (Coordinates)

সমতলে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশকারী সংখ্যাজোড়কে স্থানাংক বলে।

যদি কোনো বিন্দু P এর স্থানাংক হয়:

$P(x,y)$

তবে x কে ভুজ (Abscissa) এবং y কে কোটি (Ordinate) বলা হয়।

চতুর্ভাগ (Quadrants)

x-অক্ষ ও y-অক্ষ সমতলকে চারটি ভাগে বিভক্ত করে, যেগুলোকে চতুর্ভাগ বলে।

• ১ম চতুর্ভাগে x ও y উভয়ই ধনাত্মক
• ২য় চতুর্ভাগে x ঋণাত্মক এবং y ধনাত্মক
• ৩য় চতুর্ভাগে x ও y উভয়ই ঋণাত্মক
• ৪র্থ চতুর্ভাগে x ধনাত্মক এবং y ঋণাত্মক

দুই বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব

যদি দুটি বিন্দু হয়:

$A(x_1,y_1)$

এবং

$B(x_2,y_2)$

তবে তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব:

$D=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

মধ্যবিন্দু সূত্র (Midpoint Formula)

দুটি বিন্দুর মধ্যবিন্দু:

$M=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$

বিভাগ সূত্র (Section Formula)

যদি কোনো বিন্দু দুটি বিন্দুকে m : n অনুপাতে বিভক্ত করে, তবে বিভাজক বিন্দুর স্থানাংক:

$(\frac{m{x}_2+n{x}_1}{m+n},\frac{m{y}_2+n{y}_1}{m+n})$

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

তিনটি বিন্দু

$A(x_1,y_1)$

,

$B(x_2,y_2)$

এবং

$C(x_3,y_3)$

দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:

$A=\frac{1}{2}\left|x_1\right(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2\left)\right|$

সরলরেখার ঢাল (Slope of a Straight Line)

দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে অতিক্রান্ত সরলরেখার ঢাল:

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

সরলরেখার সমীকরণ

ঢাল m এবং একটি বিন্দু

$(x_1,y_1)$

দেওয়া থাকলে সরলরেখার সমীকরণ:

$y-y_1=m(x-x_1)$

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• মূলবিন্দুর স্থানাংক সবসময় (0,0)
• x-অক্ষের উপর সব বিন্দুর y = 0
• y-অক্ষের উপর সব বিন্দুর x = 0
• দূরত্ব সূত্র পিথাগোরাসের উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে গঠিত
• ঢাল ধনাত্মক হলে রেখা উপরের দিকে ওঠে এবং ঋণাত্মক হলে নিচের দিকে নামে

মনে রাখার উপায়

স্থানাংক জ্যামিতিতে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সূত্রগুলো হলো:

• দূরত্ব সূত্র
• মধ্যবিন্দু সূত্র
• ঢাল সূত্র
• সরলরেখার সমীকরণ