$(2+2\sqrt{3}i)$ মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর।

\(F(x) = 27x^2 + 6x - (m+2) = 0\) সমীকরণটির একটি মূল অপর মূলটির বর্গের সমান হলে, \(m\) এর সম্ভাব্য মানগুলো হলো -1 অথবা 6।

এই সমস্যাটি সমাধান করতে প্রথমে দ্বিঘাত সমীকরণের মূল ও সহগের সম্পর্ক (Vieta's formulas) ব্যবহার করা হয়। যদি সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) এবং \(\alpha^2\) হয়, তবে মূলদ্বয়ের যোগফল ও গুণফলকে \(m\) এর সাথে সম্পর্কযুক্ত করে \(\alpha\) এর মান নির্ণয় করা হয়। প্রাপ্ত \(\alpha\) এর মান ব্যবহার করে \(m\) এর একাধিক সম্ভাব্য মান বের করা সম্ভব।

যদি দুইটি দ্বিঘাত সমীকরণের একটি সাধারণ মূল থাকে, তবে সেই মূল উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করবে। অর্থাৎ, সাধারণ মূলের মান সমীকরণদ্বয়ে বসালে উভয় সমীকরণের বামপক্ষ শূন্য হবে। এই ধারণার উপর ভিত্তি করে সমীকরণদ্বয় থেকে সাধারণ মূলের জন্য একটি সম্পর্ক স্থাপন করা হয়।

ধরি, \(P(x)=0\) এবং \(Q(x)=0\) সমীকরণ দুইটির একটি সাধারণ মূল হলো \(\alpha\)। তাহলে, \(\alpha\) দ্বারা উভয় সমীকরণ সিদ্ধ হবে।

প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় হলো:

\(r\alpha^2 - 2n\alpha + 4m = 0 \quad \ldots(i)\)

\(m\alpha^2 + n\alpha + r = 0 \quad \ldots(ii)\)

বজ্রগুণন পদ্ধতি (cross-multiplication method) ব্যবহার করে, আমরা পাই:

\(\frac{\alpha^2}{(-2n)(r) - (4m)(n)} = \frac{\alpha}{(4m)(m) - (r)(r)} = \frac{1}{(r)(n) - (-2n)(m)}\)

\(\frac{\alpha^2}{-2nr - 4mn} = \frac{\alpha}{4m^2 - r^2} = \frac{1}{rn + 2mn}\)

প্রথম ও তৃতীয় অনুপাত থেকে:

\(\alpha^2 = \frac{-2nr - 4mn}{rn + 2mn} = \frac{-2n(r + 2m)}{n(r + 2m)} = -2 \quad \ldots(iii)\) (যদি \(n(r+2m) \ne 0\) হয়)

দ্বিতীয় ও তৃতীয় অনুপাত থেকে:

\(\alpha = \frac{4m^2 - r^2}{rn + 2mn} = \frac{(2m - r)(2m + r)}{n(r + 2m)} \quad \ldots(iv)\) (যদি \(n(r+2m) \ne 0\) হয়)

এখন, (iv) নং সমীকরণকে বর্গ করে পাই:

\(\alpha^2 = \left(\frac{(2m - r)(2m + r)}{n(r + 2m)}\right)^2 \quad \ldots(v)\)

(iii) ও (v) নং সমীকরণ থেকে পাই:

\(-2 = \frac{((2m - r)(2m + r))^2}{(n(r + 2m))^2}\)

\(-2n^2 (r + 2m)^2 = (2m - r)^2 (2m + r)^2\)

\((2m - r)^2 (2m + r)^2 + 2n^2 (r + 2m)^2 = 0\)

\((r + 2m)^2 [(2m - r)^2 + 2n^2] = 0\)

সুতরাং, হয় \((r + 2m)^2 = 0\) অথবা \((2m - r)^2 + 2n^2 = 0\)।

যদি \((r + 2m)^2 = 0\) হয়, তাহলে \(r + 2m = 0\), যা \(2m + r = 0\)।

অতএব, প্রমাণ করা হলো যে, \((2m - r)^2 + 2n^2 = 0\) অথবা \(2m + r = 0\)।

বিশেষ দ্রষ্টব্য: যদি \(n(r+2m) = 0\) হয়, অর্থাৎ \(n=0\) অথবা \(r+2m=0\) হয়, তবে: যদি \(r+2m=0\) হয়, তাহলে \(2m+r=0\) যা একটি প্রমাণ। যদি \(n=0\) হয়, তাহলে মূল সমীকরণদ্বয় থেকে \(\alpha^2 / (-2nr - 4mn)\), \(\alpha / (4m^2 - r^2)\), \(1 / (rn + 2mn)\) এর হরে \(n\) থাকার কারণে এই ক্ষেত্রে বজ্রগুণন পদ্ধতি সরাসরি ব্যবহার করা যায় না। তবে, প্রথম ধাপেই \(2m+r=0\) অথবা \((2m-r)^2+2n^2=0\) শর্তটি সিদ্ধ হবে।