2m দৈর্ঘ্য ও 1mm ব্যাসার্ধের ইস্পাতের খণ্ডে 15N বল প্রয়োগ করায় স্বাভাবিক অবস্থায় 2mm দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি হয় এবং এটি স্প্রিং এ রূপান্তর করলে 3mm প্রসারণ হয়। অপর একটি ধাতব স্প্রিং-এ 4cm প্রসারণে 6 Joule শক্তি সঞ্চিত হয়। (ব্যাসার্ধের পরিবর্তন উপেক্ষা করা হয়েছে।)

স্থিতিস্থাপকতার একটি গুরুত্বপূর্ণ গুণাঙ্ক হলো ইয়ং এর গুণাঙ্ক (Young's Modulus)। এটি পীড়ন (stress) ও বিকৃতির (strain) অনুপাত নির্দেশ করে এবং একটি উপাদানের স্থিতিস্থাপক ধর্ম পরিমাপ করে। কোনো তারের ইয়ং এর গুণাঙ্ক নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

\[Y = \frac{\text{পীড়ন}}{\text{বিকৃতি}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}\]

যেখানে, \(F\) = প্রযুক্ত বল, \(A\) = প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল, \(\Delta L\) = দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন এবং \(L\) = আদি দৈর্ঘ্য।

উদ্দীপকে উল্লিখিত প্রথম তারটির জন্য দেওয়া তথ্যসমূহ হলো:

    
• আদি দৈর্ঘ্য, \(L = 2\) m
    
• ব্যাসার্ধ, \(r = 1\) mm \( = 1 \times 10^{-3}\) m
    
• প্রযুক্ত বল, \(F = 15\) N
    
• দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি, \(\Delta L = 2\) mm \( = 2 \times 10^{-3}\) m

প্রথমে তারটির প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে:

প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল, \(A = \pi r^2 = \pi (1 \times 10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6}\) m\(^2\)

এখন, ইয়ং এর গুণাঙ্ক নির্ণয়ের সূত্রে মান বসিয়ে পাই:

\[Y = \frac{F \times L}{A \times \Delta L} = \frac{15 \text{ N} \times 2 \text{ m}}{(\pi \times 10^{-6} \text{ m}^2) \times (2 \times 10^{-3} \text{ m})}\]

\[Y = \frac{30}{2\pi \times 10^{-9}} = \frac{15}{\pi \times 10^{-9}}\]

\[Y \approx \frac{15}{3.14159265} \times 10^9 \text{ N/m}^2\]

গণনা করে পাওয়া যায়,

\[Y \approx 4.7746 \times 10^9 \text{ N/m}^2\]

সুতরাং, উদ্দীপকের প্রথম তারটির ইয়ং এর গুণাঙ্ক হলো প্রায় \(4.77 \times 10^9 \text{ N/m}^2\)। এই মান ইস্পাতের স্থিতিস্থাপকতার একটি পরিমাপ নির্দেশ করে, যা এর দৃঢ়তা এবং বাহ্যিক বলের প্রতি প্রতিরোধ ক্ষমতা প্রকাশ করে।

কোনো স্প্রিং-এর অনমনীয়তা বা স্প্রিং ধ্রুবক (Stiffness or spring constant) হলো এর বিকৃতির বিরুদ্ধে প্রতিরোধের একটি পরিমাপ। সহজভাবে বললে, একটি স্প্রিংকে একক পরিমাণ প্রসারিত বা সংকুচিত করতে যে বলের প্রয়োজন হয়, সেটিই হলো তার অনমনীয়তা। এর একক নিউটন প্রতি মিটার (N/m)। অনমনীয়তা যত বেশি হবে, স্প্রিংটি তত বেশি দৃঢ় বা অনমনীয় হবে এবং এটিকে প্রসারিত বা সংকুচিত করতে তত বেশি বল প্রয়োগ করতে হবে। গাণিতিকভাবে, হুকের সূত্রানুযায়ী \(F = kx\) এবং সঞ্চিত শক্তি \(E = \frac{1}{2}kx^2\) সূত্র ব্যবহার করে স্প্রিং ধ্রুবক নির্ণয় করা যায়।

উদ্দীপকে উল্লিখিত প্রথম স্প্রিংটির জন্য, এটি একটি ইস্পাতের খণ্ড যা স্প্রিং-এ রূপান্তরিত হয়েছে। এতে 15N বল প্রয়োগ করায় এর 3mm প্রসারণ হয়।

প্রথম স্প্রিং-এর ক্ষেত্রে,

প্রয়োগকৃত বল (F) = 15 N

প্রসারণ (x) = 3 mm = \(3 \times 10^{-3}\) m

অনমনীয়তা (k₁) নির্ণয়ের সূত্র, \(k_1 = \frac{F}{x}\)

\(k_1 = \frac{15 \text{ N}}{3 \times 10^{-3} \text{ m}}\)

\(k_1 = 5000 \text{ N/m}\)

অপরদিকে, দ্বিতীয় ধাতব স্প্রিংটির ক্ষেত্রে 4cm প্রসারণে 6 Joule শক্তি সঞ্চিত হয়।

দ্বিতীয় স্প্রিং-এর ক্ষেত্রে,

সঞ্চিত শক্তি (E) = 6 J

প্রসারণ (x) = 4 cm = \(4 \times 10^{-2}\) m

অনমনীয়তা (k₂) নির্ণয়ের সূত্র, \(E = \frac{1}{2} k_2 x^2\)

সুতরাং, \(k_2 = \frac{2E}{x^2}\)

\(k_2 = \frac{2 \times 6 \text{ J}}{(4 \times 10^{-2} \text{ m})^2}\)

\(k_2 = \frac{12}{16 \times 10^{-4}}\)

\(k_2 = \frac{12}{0.0016}\)

\(k_2 = 7500 \text{ N/m}\)

গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, প্রথম স্প্রিংটির অনমনীয়তা \(k_1 = 5000 \text{ N/m}\) এবং দ্বিতীয় স্প্রিংটির অনমনীয়তা \(k_2 = 7500 \text{ N/m}\)। যেহেতু \(k_2 > k_1\), তাই দ্বিতীয় স্প্রিংটির অনমনীয়তা প্রথম স্প্রিংটির চেয়ে বেশি। অর্থাৎ, দ্বিতীয় স্প্রিংটি অধিকতর দৃঢ় বা অনমনীয়।