$2sin2\theta -co{s}^2\theta =1$কে কার্তেসীয় সমীকরণে রূপান্তর কর।

দেওয়া আছে, তিনটি বিন্দু হলো:

\(P(1, 2)\)

\(Q(2, 3)\)

\(R(-a, -1)\)

ত্রিভুজ PQR এর ক্ষেত্রফল = 4 বর্গ একক।

আমরা জানি, তিনটি বিন্দু \( (x_1, y_1), (x_2, y_2) \) এবং \( (x_3, y_3) \) দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হলো:

ক্ষেত্রফল \( = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|\) বর্গ একক।

P(1, 2), Q(2, 3) এবং R(-a, -1) বিন্দুগুলোর জন্য:

\( 4 = \frac{1}{2} |1(3 - (-1)) + 2(-1 - 2) + (-a)(2 - 3)| \)

\( 8 = |1(3 + 1) + 2(-3) + (-a)(-1)| \)

\( 8 = |1(4) - 6 + a| \)

\( 8 = |4 - 6 + a| \)

\( 8 = |a - 2| \)

অতএব, দুটি সম্ভাব্য মান হতে পারে:

১ম ক্ষেত্র: \( a - 2 = 8 \)

\( a = 8 + 2 \)

\( a = 10 \)

২য় ক্ষেত্র: \( a - 2 = -8 \)

\( a = -8 + 2 \)

\( a = -6 \)

এখন, প্রতিটি ক্ষেত্রে PQ এর উপর লম্ব এবং R বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ নির্ণয় করা যাক।

P এবং Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক: P(1, 2), Q(2, 3)

PQ সরলরেখার ঢাল \( (m_{PQ}) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 2}{2 - 1} = \frac{1}{1} = 1 \)

যেহেতু নির্ণেয় রেখাটি PQ এর উপর লম্ব, এর ঢাল \( (m_{perp}) \) হবে:

\( m_{perp} = -\frac{1}{m_{PQ}} = -\frac{1}{1} = -1 \)

১ম ক্ষেত্র: যখন \( a = 10 \)

এক্ষেত্রে R বিন্দুর স্থানাঙ্ক \( R(-10, -1) \)।

R(-10, -1) বিন্দুগামী এবং \( -1 \) ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ হলো:

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

\( y - (-1) = -1(x - (-10)) \)

\( y + 1 = -1(x + 10) \)

\( y + 1 = -x - 10 \)

\( x + y + 1 + 10 = 0 \)

\( x + y + 11 = 0 \)

২য় ক্ষেত্র: যখন \( a = -6 \)

এক্ষেত্রে R বিন্দুর স্থানাঙ্ক \( R(-(-6), -1) = R(6, -1) \)।

R(6, -1) বিন্দুগামী এবং \( -1 \) ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ হলো:

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

\( y - (-1) = -1(x - 6) \)

\( y + 1 = -x + 6 \)

\( x + y + 1 - 6 = 0 \)

\( x + y - 5 = 0 \)

অতএব, নির্ণেয় রেখার সমীকরণ হলো \( x + y + 11 = 0 \) অথবা \( x + y - 5 = 0 \)।