$2x-\frac{2}{x}=3$ হলে প্রমাণ করুন যে $8\left(x^3-\frac{1}{x^3}\right)=63$

মনে করি, আসল ৮ টাকা

মুনাফা = ৮ এর $\frac{৩}{৮}$ টাকা = ৩ টাকা

মুনাফা-আসল = (৮ + ৩) টাকা = ১১ টাকা

মুনাফা-আসল ১১ টাকা হলে আসল ৮ টাকা

∴        “             ১     ”       “        ”      $\frac{৮}{১১}$ "

∴       “          ৫৫০০  ”      “       ”   $\frac{৮ \times ৫৫০০}{১১}$

= ৪০০০ টাকা

∴ মুনাফা = (৫৫০০ – ৪০০০) টাকা বা ১৫০০ টাকা

৪০০০ টাকার ৩ বছরের মুনাফা ১৫০০ টাকা

∴ ১         “       ১     ”          "       $\frac{১৫০০}{৪০০০ \times ৩}$ "

∴ ১০০     “      ১     ”          "   $\frac{১৫০০\times ১০০}{৪০০০ \times ৩}$ "

$=\frac{২৫}{২}$ টাকা $=১২\frac{১}{২}$ টাকা

উত্তর: আসল ৪০০০ টাকা, মুনাফার হার $১২\frac{১}{২}\%$

মনে করি, বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার।

সুতরাং বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল  a² বর্গমিটার।

10% বৃদ্ধি পেলে প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য হয়= (a + a এর 10%)

= 1.10a মিটার।

বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল (1.10a)² বর্গমিটার = 1.21a² বর্গমিটার

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় (1.21a² – a²) = 0.21a² বর্গমিটার

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পাবে $\frac{0.21a^2}{a^2}$$\times$ 100% = 21%

উত্তর: 21%

মনে করি, শার্টের মূল্য ক টাকা

তাহলে, প্যান্টের মূল্য (৫২৫ – ক) টাকা

১০% বৃদ্ধিতে শার্টের মূল্য = ক + ক এর ১০% = $\frac{১১ক}{১০}$

৫% হ্রাসে প্যান্টের মূল্য = (৫২৫-ক)-{(৫২৫- ক) এর ৫%}

$=\frac{৯৯৭৫- ১৯ক}{২০}$

প্রশ্নমতে, $\frac{১১ক}{১০}+\frac{৯৯৭৫ – ১৯ক}{২০}=৫২৫$

বা, $\frac{২২ক+৯৯৭৫-১৯ক}{২০}$ = ৫২৫

বা, ৩ক = ১০৫০০ - ৯৯৭৫

বা, ৩ক = ৫২৫

∴ ক = ১৭৫

সুতরাং শার্টের মূল্য ১৭৫ টাকা

তাহলে, প্যান্টের মূল্য (৫২৫ - ১৭৫) টাকা = ৩৫০ টাকা

উত্তর: প্যান্টের মূল্য ৩৫০ টাকা এবং শার্টের মূল্য ১৭৫ টাকা

নৌকাটি স্রোতের অনুকূলে ১ ঘন্টায় যায় ১৫ কি.মি.

নৌকাটি স্রোতের প্রতিকূলে ১ ঘন্টায় যায় ৫ কি.মি.

আমরা জানি,

নৌকার গতিবেগ = স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ + স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ/২

$=\frac{১৫+৫}{২}$ কি.মি/ঘন্টা

= ১০ কি.মি./ঘন্টা

স্রোতের বেগ = স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ – স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ/২

$=\frac{১৫ - ৫}{২}$ কি.মি/ঘন্টা

= ৫ কি.মি./ঘন্টা

উত্তর: নৌকার বেগ ১০ কি.মি/ঘন্টা, স্রোতের বেগ ৫ কি.মি/ঘন্টা