3, 4, ও 5 সে.মি ধার বিশিষ্ট তিনটি ছোট ঘনক গলিয়ে একটি বড় ঘনক তৈরি করা হয়। ছোট ঘনক গুলোর সমতলের ক্ষেত্রফল ও বড় খনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় করুন।

ধরি, ছোট ঘনক তিনটির ধার যথাক্রমে \(a_1\), \(a_2\) এবং \(a_3\)।

দেওয়া আছে, \(a_1 = 3\) সে.মি., \(a_2 = 4\) সে.মি. এবং \(a_3 = 5\) সে.মি.।

১. ছোট ঘনক তিনটির আয়তন নির্ণয়:

প্রথম ঘনকের আয়তন, \(V_1 = a_1^3 = (3)^3 = 27\) ঘন সে.মি.

দ্বিতীয় ঘনকের আয়তন, \(V_2 = a_2^3 = (4)^3 = 64\) ঘন সে.মি.

তৃতীয় ঘনকের আয়তন, \(V_3 = a_3^3 = (5)^3 = 125\) ঘন সে.মি.

ছোট ঘনক তিনটির মোট আয়তন, \(V_{মোট} = V_1 + V_2 + V_3 = 27 + 64 + 125 = 216\) ঘন সে.মি.

২. বড় ঘনকের ধারের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:

ছোট ঘনক তিনটি গলিয়ে একটি বড় ঘনক তৈরি করা হয়, তাই বড় ঘনকের আয়তন ছোট ঘনক তিনটির মোট আয়তনের সমান হবে।

বড় ঘনকের আয়তন, \(V_{বড়} = 216\) ঘন সে.মি.

ধরি, বড় ঘনকের ধারের দৈর্ঘ্য \(A\) সে.মি.।

তাহলে, \(A^3 = 216\)

\(A = \sqrt[3]{216}\)

\(A = 6\) সে.মি.

৩. ছোট ঘনকগুলোর মোট সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:

প্রথম ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল, \(S_1 = 6a_1^2 = 6 \times (3)^2 = 6 \times 9 = 54\) বর্গ সে.মি.

দ্বিতীয় ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল, \(S_2 = 6a_2^2 = 6 \times (4)^2 = 6 \times 16 = 96\) বর্গ সে.মি.

তৃতীয় ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল, \(S_3 = 6a_3^2 = 6 \times (5)^2 = 6 \times 25 = 150\) বর্গ সে.মি.

ছোট ঘনকগুলোর মোট সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল, \(S_{ছোট মোট} = S_1 + S_2 + S_3 = 54 + 96 + 150 = 300\) বর্গ সে.মি.

৪. বড় ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:

বড় ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল, \(S_{বড়} = 6A^2 = 6 \times (6)^2 = 6 \times 36 = 216\) বর্গ সে.মি.

৫. অনুপাত নির্ণয়:

ছোট ঘনক গুলোর সমতলের ক্ষেত্রফল ও বড় খনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত:

\(S_{ছোট মোট} : S_{বড়} = 300 : 216\)

উভয় পক্ষকে ১২ দ্বারা ভাগ করে পাই,

\(\frac{300}{12} : \frac{216}{12}\)

\(25 : 18\)