30° কোণে আনত একটি পাহাড়ের ঢাল বেয়ে 72 km/h সমবেগে একটি বাস ওপরে উঠছে। এমন সময় হঠাৎ বৃষ্টি 6 ms^-1 সমবেগে খাড়া নিচে পড়তে শুরু করলো। বৃষ্টি যখন প্রায় শেষ তখন অনুভূমিকভাবে বায়ুপ্রবাহ শুরু হলো।

দুটি ভেক্টরকে বিপ্রতীপ ভেক্টর (Antiparallel Vector) বলা হয় যদি তাদের দিক পরস্পর বিপরীত হয় এবং তারা একই রেখা বরাবর অথবা পরস্পর সমান্তরাল রেখা বরাবর ক্রিয়া করে।

বিপ্রতীপ ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ সর্বদা 180° হয়। এদের মান সমান হতে পারে আবার নাও হতে পারে। যদি দুটি ভেক্টর \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) বিপ্রতীপ হয়, তাহলে তাদের মধ্যে সম্পর্ককে \(\vec{A} = -k\vec{B}\) হিসেবে প্রকাশ করা যেতে পারে, যেখানে \(k\) একটি ধনাত্মক স্কেলার রাশি। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি বস্তুকে পূর্বদিকে 5 N বল দ্বারা টানা হয় এবং একই সাথে পশ্চিমদিকে 3 N বল দ্বারা টানা হয়, তবে এই দুটি বল ভেক্টর পরস্পর বিপ্রতীপ ভেক্টর।

দুটি ভেক্টর রাশির যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান হওয়ার শর্ত হলো, ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্বভাবে ক্রিয়াশীল হওয়া। অর্থাৎ, তাদের মধ্যবর্তী কোণ 90° হতে হবে।

ব্যাখ্যা:

ধরি, দুটি ভেক্টর রাশি \(\vec{P}\) এবং \(\vec{Q}\) এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\)।

ভেক্টর যোগফলের মান:

সামান্তরিক সূত্রানুসারে, \(\vec{P}\) এবং \(\vec{Q}\) ভেক্টরদ্বয়ের যোগফল \(\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}\) এর মান হবে:

\[R = |\vec{P} + \vec{Q}| = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ \cos\theta}\]

ভেক্টর বিয়োগফলের মান:

ভেক্টর \(\vec{P}\) থেকে \(\vec{Q}\) বিয়োগ করা মানে \(\vec{P}\) এর সাথে \((-\vec{Q})\) যোগ করা। \(\vec{P}\) ও \((-\vec{Q})\) এর মধ্যবর্তী কোণ হবে \((180^\circ - \theta)\)।

অতএব, ভেক্টরদ্বয়ের বিয়োগফল \(\vec{S} = \vec{P} - \vec{Q}\) এর মান হবে:

\[S = |\vec{P} - \vec{Q}| = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ \cos(180^\circ - \theta)}\]

যেহেতু \(\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta\), সেহেতু:

\[S = |\vec{P} - \vec{Q}| = \sqrt{P^2 + Q^2 - 2PQ \cos\theta}\]

শর্ত:

প্রশ্নানুসারে, ভেক্টর যোগফলের মান ও বিয়োগফলের মান সমান। অর্থাৎ, \(R = S\)।

\[\sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ \cos\theta} = \sqrt{P^2 + Q^2 - 2PQ \cos\theta}\]

উভয়পাশে বর্গ করে পাই:

\[P^2 + Q^2 + 2PQ \cos\theta = P^2 + Q^2 - 2PQ \cos\theta\]

\[2PQ \cos\theta = -2PQ \cos\theta\]

\[2PQ \cos\theta + 2PQ \cos\theta = 0\]

\[4PQ \cos\theta = 0\]

যেহেতু \(P\) এবং \(Q\) অশূন্য ভেক্টর (যদি শূন্য ভেক্টর হয় তাহলে মান এমনিতেই সমান হবে), তাই \(4PQ \neq 0\)।

সুতরাং, \(\cos\theta = 0\)।

এর অর্থ হলো, \(\theta = 90^\circ\)।

সুতরাং, দুটি ভেক্টর রাশির যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান হবে যদি ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্বভাবে ক্রিয়াশীল থাকে।

দেওয়া আছে:

    
• বাসের বেগ, \(v_b = 72 \text{ km/h}\)
    
• বৃষ্টির প্রকৃত উল্লম্ব বেগ (বায়ুপ্রবাহ ছাড়া), \(v_{r\_natural} = 6 \text{ m/s}\) (নিচের দিকে)
    
• পাহাড়ের ঢালের আনতি কোণ \( = 30^\circ\)

ধাপ ১: বাসের বেগকে \(\text{m/s}\) এককে রূপান্তর এবং উপাংশে বিভাজন।

বাসের বেগ, \(v_b = 72 \text{ km/h} = 72 \times \frac{1000}{3600} \text{ m/s} = 20 \text{ m/s}\)

যদি অনুভূমিক দিককে ধনাত্মক \(x\)-অক্ষ (\(\hat{i}\)) এবং উল্লম্ব উর্ধ্বমুখী দিককে ধনাত্মক \(y\)-অক্ষ (\(\hat{j}\)) ধরা হয়, তবে বাসের বেগের উপাংশগুলি হবে:

    
• অনুভূমিক উপাংশ, \(v_{bx} = v_b \cos 30^\circ = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \text{ m/s}\)
    
• উল্লম্ব উপাংশ, \(v_{by} = v_b \sin 30^\circ = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \text{ m/s}\)

সুতরাং, বাসের বেগ ভেক্টর, \( \vec{v_b} = (10\sqrt{3} \hat{i} + 10 \hat{j}) \text{ m/s} \)

ধাপ ২: বায়ুপ্রবাহের উপস্থিতিতে বৃষ্টির প্রকৃত বেগ (ভূ-পৃষ্ঠের সাপেক্ষে) নির্ণয়।

বৃষ্টির প্রকৃত উল্লম্ব বেগ \( = 6 \text{ m/s}\) নিচের দিকে। তাই ভেক্টর রূপে, \( \vec{v_{r\_natural}} = -6 \hat{j} \text{ m/s}\)

ধরি, বায়ুপ্রবাহের বেগ অনুভূমিক। এর মান \(v_a\) এবং দিক অনুভূমিক \(\hat{i}\) বরাবর। অর্থাৎ, \( \vec{v_a} = v_a \hat{i} \)

বায়ুপ্রবাহের উপস্থিতিতে বৃষ্টির প্রকৃত বেগ (ভূ-পৃষ্ঠের সাপেক্ষে), \( \vec{v_r} = \vec{v_{r\_natural}} + \vec{v_a} \)

সুতরাং, \( \vec{v_r} = (v_a \hat{i} - 6 \hat{j}) \text{ m/s}\)

ধাপ ৩: বাসচালকের সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ নির্ণয়।

বাসচালকের সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ, \( \vec{v_{rb}} = \vec{v_r} - \vec{v_b} \)

\[ \vec{v_{rb}} = (v_a \hat{i} - 6 \hat{j}) - (10\sqrt{3} \hat{i} + 10 \hat{j}) \] \[ \vec{v_{rb}} = (v_a - 10\sqrt{3}) \hat{i} + (-6 - 10) \hat{j} \] \[ \vec{v_{rb}} = (v_a - 10\sqrt{3}) \hat{i} - 16 \hat{j} \]

ধাপ ৪: বায়ুপ্রবাহের মান ও দিক নির্ণয়।

প্রশ্নানুসারে, বাসচালক খাড়া নিচের দিকে বৃষ্টি পড়তে দেখছে। এর অর্থ হলো, বাসচালকের সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগের অনুভূমিক উপাংশ শূন্য হবে।

অর্থাৎ, \( v_a - 10\sqrt{3} = 0 \)

\[ v_a = 10\sqrt{3} \text{ m/s} \]

সংখ্যাগত মান: \( 10\sqrt{3} \approx 10 \times 1.73205 \approx 17.32 \text{ m/s}\)

যেহেতু \(v_a\) এর মান ধনাত্মক, বায়ুপ্রবাহের দিক বাসের অনুভূমিক গতির দিকের সাথে একই। অর্থাৎ, বাস যেদিকে অনুভূমিকভাবে এগিয়ে যাচ্ছে (আমাদের ধরা ধনাত্মক \(x\)-দিক), বায়ুপ্রবাহও সেদিকেই।

উপসংহার:

বায়ুপ্রবাহের প্রকৃত মান \(10\sqrt{3} \text{ m/s}\) (প্রায় \(17.32 \text{ m/s}\)) এবং এর দিক বাসের অনুভূমিক গতির দিকের সাথে একই।