$\frac{3}{2}\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)$ এর মান নির্ণয় কর।

উদ্দীপক থেকে আমরা পাই \(A=p+q\) এবং \(B=p^2-q^2\)। প্রশ্নে প্রদত্ত মানানুসারে, \(A=\sqrt{7}\) এবং \(B=\sqrt{35}\) হলে \(\frac{1}{3} (p^3q + pq^3) = 1\) প্রমাণ করতে হবে। উদ্দীপকের এই শর্তাবলি ব্যবহার করে আমরা \(p\) এবং \(q\) এর সম্পর্কগুলো যাচাই করব।

প্রথমে, উদ্দীপকের শর্তানুযায়ী \(A\) ও \(B\) এর সংজ্ঞাকে প্রদত্ত মানের সাথে মিলিয়ে প্রয়োজনীয় মান নির্ণয় করি। আমরা জানি, \(B=p^2-q^2\) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে \(B=(p+q)(p-q)\) পাওয়া যায়। প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই, \(\sqrt{35} = \sqrt{7}(p-q)\)। সুতরাং, \(p-q = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{7}} = \sqrt{5}\)। এখন, \(p+q = \sqrt{7}\) এবং \(p-q = \sqrt{5}\) ব্যবহার করে \(pq\) এবং \(p^2+q^2\) এর মান নির্ণয় করি: \(pq = \frac{(p+q)^2 - (p-q)^2}{4} = \frac{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2}{4} = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) এবং \(p^2+q^2 = (p+q)^2 - 2pq = (\sqrt{7})^2 - 2 \times \frac{1}{2} = 7 - 1 = 6\)।

এখন, প্রশ্নানুসারে প্রদত্ত রাশিটির বামপক্ষ নিয়ে তাতে নির্ণীত মানগুলো বসিয়ে প্রমাণ করি: বামপক্ষ \(= \frac{1}{3} (p^3q + pq^3)\) \(= \frac{1}{3} pq(p^2 + q^2)\) উপরে নির্ণীত \(pq = \frac{1}{2}\) এবং \(p^2+q^2 = 6\) এই মানগুলো বসিয়ে পাই: \(= \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2}\right) \times (6)\) \(= \frac{1}{3} \times 3\) \(= 1\) সুতরাং, বামপক্ষ = ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

উদ্দীপকের (ii) নং হতে পাই,

\[x + \frac{1}{x} = 4\]

বামপক্ষ: \(\frac{x^8 - 1}{x^4} = \frac{x^8}{x^4} - \frac{1}{x^4} = x^4 - \frac{1}{x^4}\)

প্রথমে \(x^2 + \frac{1}{x^2}\) এর মান নির্ণয় করি।

আমরা জানি,

\[ \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \]

সুতরাং, \(x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2\)

প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই,

\[ x^2 + \frac{1}{x^2} = (4)^2 - 2 = 16 - 2 = 14 \]

এবার \(x - \frac{1}{x}\) এর মান নির্ণয় করি।

আমরা জানি,

\[ \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \]

প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই,

\[ \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = (4)^2 - 4 = 16 - 4 = 12 \]

যেহেতু \(x > 0\), সুতরাং \(x - \frac{1}{x} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \)

এখন, প্রমাণীয় রাশি \(x^4 - \frac{1}{x^4}\) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি এবং মান বসাই।

\[ x^4 - \frac{1}{x^4} = \left(x^2\right)^2 - \left(\frac{1}{x^2}\right)^2 = \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)\left(x^2 - \frac{1}{x^2}\right) \]

আমরা জানি, \(x^2 - \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x - \frac{1}{x}\right)\)

মানগুলো বসিয়ে পাই,

\[ x^4 - \frac{1}{x^4} = \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) \left(x + \frac{1}{x}\right) \left(x - \frac{1}{x}\right) \]

\[ = (14) \times (4) \times (2\sqrt{3}) \]

\[ = 56 \times 2\sqrt{3} = 112\sqrt{3} \]

সুতরাং, \(\frac{x^8 - 1}{x^4} = 112\sqrt{3}\) (প্রমাণিত)